Johnson-Cook模型及其曲线拟合

Johnson-Cook本构和失效模型是由Johnson和Cook在上个世纪80年代提出，被广泛应用于冲击与载荷领域。Johnson-Cook模型最大的特点是形式简单，且同时考虑了应变硬化，应变率强化，以及温度软化效应的影响。

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Johnson-Cook塑性模型的数学表式如下：

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其中，a是起始屈服应力，单位是压强。b是硬化常熟，单位是压强。n是无量纲的硬化系数。n的取值决定着材料的塑性流动方向和材料模型：（1）当n=1，材料为理想线弹性材料；（2）当n=0，材料为非线性弹性材料；（3）当0<n<1，材料为弹塑性材料。c 和 m 为无量纲的模型参数，分别关联应变率与热软化效应。T*=(T-Tr)/(Tm-Tr)为无量纲化温度，其中，Tr，Tm分别为参考温度和材料的熔点，T为当前温度。

参数a，b和n可以通过参考应变率和参考温度下光滑圆棒拉伸试验获得(当然，通过薄壁圆管的扭转试验也可以得到)。a，b和n通过拟合等效应力应变数据获得。

Johnson-Cook模型参数拟合

实际应用中，Johnson-Cook参数需要根据材料测试数据，通过参数拟合的方式得到。CurveFitter提供了Johnson-Cook塑性模型的曲线拟合公式，只需要输入塑性应变与应力值，即可以得到拟合的参数值。关于CurveFitter详情，参见《一款好用且免费的曲线拟合工具CurveFitter》与《曲线拟合的核心计算方法与CurveFitter的更新》二文。

操作方式如下：

1. 从左侧列表中选择Johnson-Cook曲线方程。

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2. 右侧表格窗口导入 塑性应变-应力 曲线数据。导入后，可以看到曲线窗口显示对应曲线。

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3. 点击主窗口中的“Solve”按钮。即可得到拟合的参数，对于本次给定的数据，得到a=475.1, b=787.2, 和n=0.763，拟合的误差几乎为0（R2=1）。同时曲线窗口显示了曲线与测试数据，两个曲线高度重合，表明参数拟合精度很高。输出窗口显示了曲线拟合求解器的计算细节。

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值得注意的是，曲线拟合并没有考虑单位，在应用这些参数时，需要确定有限元软件的应力单位与测试数据的应力单位一致，这里测试数据使用的是MPa。这里忽略了应变率与温度数据，因此只计算了a，b，和n三个参数。

Johnson-Cook失效模型

除了塑性模型，Johnson-Cook也有对应的失效模型，同样考虑了应力，应变率，温度的影响。常用于可延展性金属。失效应变表达式如下：

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其中：D1～D5是材料常数，D1～D3可以通过执行参考应变率和参考温度下不同应力三轴度实验来获得。应变率影响常数D4能通过参考温度下不同应变率拉伸试验获得，同样温度影响常数D5能通过参考应变率下不同温度拉伸试验获得。在D1～D3已知的前提下，拟合断裂应变-温度实验数据可以得到温度影响参数D5。

总结

Johnson-Cook是一种应用于金属结构的塑性与失效模型，由于形式描述简单，待求参数少，在工程上得到广泛的应用。对于手册上没有给定参数的材料，需要通过对测试数据参数拟合得到核心参数，CurveFitter可以快速精确的计算出参数，并用于后续的有限元分析中。