【区间 DP】热门区间 DP 运用题

宫水三叶的刷题日记

发布于 2023-10-25 19:03:41

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发布于 2023-10-25 19:03:41

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题目描述

这是 LeetCode 上的「312. 戳气球」，难度为「困难」。

Tag : 「区间 DP」、「动态规划」

有 n 个气球，编号为 0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。

如果 i - 1 或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：

输入：nums = [3,1,5,8]

输出：167

解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167

示例 2：

输入：nums = [1,5]

输出：10

提示：

n = nums.length

1 <= n <= 300

0 <= nums[i] <= 100

区间 DP

定义

f[l][r]

为考虑将

(l, r)

范围内（不包含 l 和 r 边界）的气球消耗掉，所能取得的最大价值。

根据题意，我们可以对 nums 进行扩充，将其从长度为

的 nums 变为长度

n + 2

的 arr，其中

arr[1...n]

对应了原数组 nums，而

arr[0] = arr[n + 1] = 1

。

此时易知

f[0][n + 1]

即是答案，不失一般性考虑

f[l][r]

该如何转移，假设在

(l, r)

范围内最后剩下的气球的编号为

，此时的

f[l][r]

由「以

为分割点的两端所产生的价值」和「消耗

本身带来的价值」两部分组成：

f[l][r] = \max(f[l][k] + f[k][r] + arr[l] \times arr[k] \times arr[r]), k \in (l, r)

为了确保转移能够顺利进行，我们需要确保在计算

f[l][r]

的时候，区间长度比其小的

f[l][k]

和

f[k][r]

均被计算。

因此我们可以采用先枚举区间长度 len，然后枚举区间左端点 l（同时直接算得区间右端点 r）的方式来做。

Java 代码：

class Solution {
    public int maxCoins(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] arr = new int[n + 2];
        arr[0] = arr[n + 1] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) arr[i] = nums[i - 1];
        int[][] f = new int[n + 2][n + 2];
        for (int len = 3; len <= n + 2; len++) {
            for (int l = 0; l + len - 1 <= n + 1; l++) {
                int r = l + len - 1;
                for (int k = l + 1; k <= r - 1; k++) {
                    f[l][r] = Math.max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + arr[l] * arr[k] * arr[r]);
                }
            }
        }
        return f[0][n + 1];
    }
}

TypeScript 代码：

function maxCoins(nums: number[]): number {
    const n = nums.length
    const arr = new Array<number>(n + 2).fill(1)
    for (let i = 1; i <= n; i++) arr[i] = nums[i - 1]
    const f = new Array<Array<number>>(n + 2)
    for (let i = 0; i < n + 2; i++) f[i] = new Array<number>(n + 2).fill(0)
    for (let len = 3; len <= n + 2; len++) {
        for (let l = 0; l + len - 1 <= n + 1; l++) {
            const r = l + len - 1
            for (let k = l + 1; k <= r - 1; k++) {
                f[l][r] = Math.max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + arr[l] * arr[k] * arr[r])
            }
        }
    }
    return f[0][n + 1]
}