多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值与最小值：  定义：设函数z=f(x,y)z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)D，P0(x0,y0)为DD的内点。若存在P0P0的某个邻域U(P0)⊂DU(P0)⊂D。

若对于该邻域内异与P0P0的任何点(x,y)(x,y)，都有： f(x,y)<f(x0,y0) f(x,y)<f(x0,y0) 则称函数f(x,y)f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)有极大值f(x0,y0)f(x0,y0)，点(x0,y0)(x0,y0)称为函数f(x,y)f(x,y)的极大值点； 若对于该邻域内异与P0P0的任何点(x,y)(x,y)，都有： f(x,y)>f(x0,y0) f(x,y)>f(x0,y0) 则称函数f(x,y)f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)有极小值f(x0,y0)f(x0,y0)，点(x0,y0)(x0,y0)称为函数f(x,y)f(x,y)的极小值点； 极大值与极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。

定理1(必要条件)：设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)(x0,y0)处有极值，则有 fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0 fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0 定理2(充分条件)：设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)的某一邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0，令 fxx(x0,y0)=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=C fxx(x0,y0)=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=C 则有： 因为AC-B^2>0,A和C肯定是同号的，A<0,必有C<0,A>0,必有C>0, 所以，也可以用C的符号判断极大极小。 则f(xy)f(xy)在(x0,y0)(x0,y0)是否取得极值的条件如下： AC-B^2>0时，有极值，当A<<0时有极大值，当A>0时有极小值；   AC-B^2<0时，没有极值； AC-B^2=0时，另做讨论。