关系代数：**描述关系数据库操作的集合，其运算对象和结果都是关系(表)**。Edgar F. Codd 在1970 提出的原始关系运算包括：选择（Select）、投影（Project）、笛卡尔积（Cartesian Product）、并集（Union）、差集（Difference）以及重命名（Rename）。随着关系模型的不断发展，更多的关系代数运算被提出，常用的关系代数运算如下表所示：
| 运算类型          | 运算名称         | 符号       | 输入类型 | 数学公式定义                                                                 | 说明                                                                 |
|--------------------|------------------|------------|----------|-----------------------------------------------------------------------------|----------------------------------------------------------------------|
| 基本关系代数运算   | 选择(Select)             | $\sigma$      | 一元     | $ \sigma_{P}(R) = \{ t \mid t \in R \land P(t) \} $                      | 从关系R中筛选满足条件P的元组                                        |
|   | 投影(Project)             | $\Pi$         | 一元     | $ \Pi_{A_1,A_2,\ldots}(R) = \{ t[A_1,A_2,\ldots] \mid t \in R \} $      | 从关系R中提取指定列，并去重                                         |
|    | 并(Union)               | $\cup$        | 二元     | $ R \cup S = \{ t \mid t \in R \lor t \in S \} $                        | 合并两个关系的元组，关系属性数量一致，Union去重，Union All不去重                                        |
|    | 差(Difference)               | −          | 二元     | $ R - S = \{ t \mid t \in R \land t \notin S \} $                       | 返回在关系R但不在关系S中的元组，关系属性数量一致                                              |
|    | 笛卡尔积         | $ \times$       | 二元     | $ R \times S = \{ (r,s) \mid r \in R \land s \in S \} $                 | 生成所有可能的元组组合，元组数为$R \times S$                |
|  | 重命名(Rename)           | $\rho$          | 一元     |  $ \rho_{S(A_1,A_2,..A_n)}(R) $                       | 将关系R重命名为关系S，属性名为$A_1...  A_n$                                  |
| 附加关系代数运算   | 交(Intersection)            |  $\cap$       | 二元     | $ R \cap S = \{ t \mid t \in R \land t \in S \}= R - (R - S) $                                              | 返回同时属于R和S的元组，可用差运算表示                                             |
|    |  $\theta$-连接(Join)             |   $\bowtie_\theta$       | 二元     | $ R \bowtie_{P} S = \sigma_{P}(R \times S) = \left\{ (t, q) \mid t \in R  \land q \in S  \land P(t, q) \right\}$                            | 笛卡尔积后筛选满足选择谓词P的元组, $\theta$是=为**等值连接**         |
|    | 自然连接         |  $\bowtie$          | 二元     | $R \bowtie S = \left\{ (r, s) \mid r \in R \land s \in S \land r.\text{同名属性} = s.\text{同名属性} \right\}$                  | 特殊的**等值连接**，同名属性做等值连接，结果去除重复同名属性               |
|    | 左外连接(Left Join)         | ⟕          | 二元     | $R ⟕ S = \left( R \bowtie S \right) \cup \left( \left( R - \Pi_R(R \bowtie S) \right) \times \{\text{null}\} \right)$                                                                | 保留R所有元组，S无匹配时填充空值                               |
|    | 右外连接(Right Join)        | ⟖          | 二元     | $ R ⟖ S = (R \bowtie S) \cup \left( \{\text{null}\} \times (S - \Pi_S(R \bowtie S)) \right) $            | 保留S所有元组，R无匹配时填充空值                               |
|   | 全外连接         | ⟗          | 二元     | $ R ⟗ S = R ⟕ S \cup R ⟖ S $                                            | 保留R和S所有元组，无匹配时填充空值，是左外连接与右外连接的并集                                |
|   | 除(Divide)           | ÷          | 二元     | $ R \div S = \left\{ t \mid t \in \Pi_A(R) \ \land \ (\forall q \in S,\ (t, q) \in R) \right\} $             | 返回R中满足与S所有元组组合存在的元组，A为R-S的属性集合   |
|  | 赋值(Assignment)       | ←          | 一元   | $ T ← \text{表达式} $                                                    | 将表达式结果保存到临时关系变量T中                                    |
| 扩展关系代数运算   | 去重(Distinct)             | $\delta$      | 一元     | $ \delta(R) $                                    | 去除关系R中的重复元组                                                |
|   | 广义投影         |  $\Pi$        | 一元     | $ \Pi_{f_1(A_1),f_2(A_2)...}(R) $                                                  | 允许在投影中使用$f$表达式         |
|    | 聚集(Aggregate)      |  $\mathcal{G}$        | 一元     | $ \mathcal{G}_{F_1(A_1),F_2(A_2)...}(R) $ (F为聚集函数，如count, sum等)                    | 对关系应用聚集函数，如计算总数、平均值                       |
|    | 分组(GroupBy)   |  $\mathcal{G}$         | 一元     | $ _{G_1,G_2..}\mathcal{G}_{F_1,F_2,..}(R) $（G为分组属性，F为聚集函数）                         | 按属性分组后应用聚集函数                                            |
|    | 排序(Sort)             | $\tau$          | 一元     | $ \tau_{A_1,A_2,...}(R) $                                                         | 按指定属性排序输出元组，默认升序                                   |

**备注**：$\bowtie$  通常当做Inner Join 内连接表示。

关系代数：描述关系数据库操作的集合，其运算对象和结果都是关系(表)。Edgar F. Codd 在1970 提出的原始关系运算包括：选择（Select）、投影（Project）、笛卡尔积（Cartesian Product）、并集（Union）、差集（Difference）以及重命名（Rename）。随着关系模型的不断发展，更多的关系代数运算被提出，常用的关系代数运算如下表所示：

Spark SQL(二)：基本概念-关系代数

后台开发工程师

数据库

大数据

关系代数是数据库操作的核心理论，包含选择、投影、并集等基本运算，以及连接、分组等扩展运算。这些运算以表为对象，实现数据查询与处理，是SQL语言的理论基础。掌握关系代数能优化数据库查询效率，提升数据处理能力。

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