## 从模拟声音到二进制数据

人的声音、电压变化以及麦克风输出的电信号，在时间和幅度上通常都是连续变化的。计算机和数字通信系统无法直接保存无限精细的连续量，因此需要把模拟信号转换成有限长度的二进制序列。

PCM 是 Pulse Code Modulation 的缩写，中文通常称为脉冲编码调制。它将模拟信号转换为数字信号时，主要经历采样、量化和编码三个环节。

采样解决的是时间离散化问题。系统按照固定时间间隔测量一次模拟信号的瞬时幅度。题目给出每秒采样 8000 次，因此一秒钟会得到 8000 个样本。相邻两次采样的时间间隔为

$$
T_s=\frac{1}{8000}\ \text{s}
$$

换算成更直观的单位就是

$$
T_s=0.000125\ \text{s}=125\ \mu\text{s}
$$

也就是说，PCM 编码器每隔 125 微秒观察一次输入信号，并记录当时的幅度。

采样只把连续时间变成了离散时间，样本的幅度在理论上仍可能取无穷多个值。量化环节会把连续的幅度范围划分成若干有限区间，每个区间对应一个量化等级。题目规定每个样本量化为 128 个等级，表示采样值最终只能落入 128 种离散状态中的一种。

编码环节再给每一种量化状态分配一个二进制编号。这样，某次采样得到的幅度就能表示成一组由 0 和 1 组成的代码，并被计算机存储或通过数字信道传输。

由此可以建立一条很清晰的计算路径

$$
\text{每秒样本数}
\times
\text{每个样本的编码位数}
=
\text{每秒产生的比特数}
$$

这正是整道题的计算主线。

## 为什么 128 个量化等级需要 7 bit

二进制编码中，使用 $n$ 个 bit 可以表示的不同组合数量为

$$
L=2^n
$$

其中，$L$ 表示可区分的状态数量，$n$ 表示每个状态所需的二进制位数。

题目给出

$$
L=128
$$

由于

$$
128=2^7
$$

所以

$$
n=\log_2 128=7\ \text{bit}
$$

每一个采样值都需要用 7 个 bit 进行编码。

这个结论也可以直接通过二进制组合数量理解。1 个 bit 只能表示 0 和 1 两种状态，2 个 bit 可以表示 4 种状态，3 个 bit 可以表示 8 种状态。继续增加编码位数时，状态数量每次都会翻倍。

$$
2^1=2
$$

$$
2^2=4
$$

$$
2^3=8
$$

$$
2^4=16
$$

$$
2^5=32
$$

$$
2^6=64
$$

$$
2^7=128
$$

因此，从 `0000000` 到 `1111111`，一共恰好能够形成 128 种不同的二进制组合。每一种组合都可以对应一个量化等级。

这里很容易出现一个常见误判。有些人看到 128，可能会联想到 8 bit，因为计算机里经常使用一个字节保存数据。然而，一个字节等于 8 bit，只是常见的存储单位，并不代表所有 PCM 样本都必须占用完整的一个字节。题目仅要求区分 128 个等级，从信息表示能力看，7 bit 已经足够。

如果量化等级变成 129 个，7 bit 就不够了。虽然 $2^7=128$，但还缺少一种组合来表示第 129 个等级，此时必须提升到 8 bit。8 bit 最多可以表示

$$
2^8=256
$$

种不同状态。由此也能看到，编码位数必须取能够覆盖全部量化等级的最小整数。一般情况下应写为

$$
n=\lceil\log_2L\rceil
$$

符号 $\lceil\ \rceil$ 表示向上取整。本题中的 128 恰好是 2 的整数次幂，所以不需要额外进行向上取整。

## 数据速率为什么是 56 Kb/s

题目已经给出每秒采样 8000 次，而每一个样本需要 7 bit，因此一秒钟产生的二进制数据量为

$$
R_b=f_s\times n
$$

其中，$R_b$ 是 PCM 编码输出的数据速率，$f_s$ 是采样频率，$n$ 是每个样本的编码位数。

代入题目数据可得

$$
R_b=8000\times7
$$

$$
R_b=56000\ \text{bit/s}
$$

通信领域通常按照十进制换算速率单位，即

$$
1\ \text{Kb/s}=1000\ \text{bit/s}
$$

于是

$$
56000\ \text{bit/s}=56\ \text{Kb/s}
$$

答案就是 C。

这里的 `K` 在许多教材和试题中会写成大写形式，但按照国际单位制的规范，更严谨的写法是小写的 `k`，即 `56 kbit/s` 或 `56 kb/s`。这并不影响选择题答案。题目选项使用 `Kb/s`，按题目的符号体系选择 C 即可。

通信速率一般使用 1000 作为进位基础，而不是使用 1024。若把 56000 除以 1024，会得到约 54.6875，但那更接近二进制前缀 `Kibit/s` 的换算方式，不适用于本题。网络带宽、串行线路速率和 PCM 码流速率通常采用十进制单位。

## 3400 Hz 在题目中扮演什么角色

题目开头给出信道带宽为 3400 Hz，这个数据很容易干扰计算。有些人会直接使用

$$
3400\times7
$$

或者

$$
2\times3400\times7
$$

但这两种做法都没有正确使用题目已经明确给出的采样频率。

3400 Hz 描述的是模拟信号的频率范围或信道允许通过的有效频率范围。它与每秒传输多少个二进制位不是同一种物理量。

Hz 表示每秒发生多少个周期，主要描述频率或带宽。bit/s 表示每秒传输多少个二进制位，描述数字数据速率。两者存在联系，却不能在没有编码条件的情况下直接相等。

根据奈奎斯特采样思想，对于最高频率为 $f_{\max}$ 的基带有限带宽信号，为了在理想条件下从采样值重建原信号，采样频率至少应达到最高频率的两倍。也就是

$$
f_s\geq2f_{\max}
$$

当

$$
f_{\max}=3400\ \text{Hz}
$$

理论上的最低采样频率应不低于

$$
2\times3400=6800\ \text{Hz}
$$

题目采用 8000 次每秒的采样频率，满足

$$
8000>6800
$$

所以该采样频率能够满足这类话音信号的采样要求。奈奎斯特采样定理所表达的核心关系，也是采样率应当高于信号最高频率两倍，从而避免频谱混叠并保留信号重建所需的信息。[奈奎斯特—香农采样定理资料](https://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem)

3400 Hz 在本题中的主要作用，是说明为什么选取每秒 8000 次采样是合理的。真正参与码率计算的仍然是题目明确给出的 8000 次每秒，而不是用 3400 Hz 代替采样频率。

若题目没有给出采样频率，只告诉我们信号最高频率为 3400 Hz，并要求按照最低采样频率计算 PCM 数据速率，那么才可能采用

$$
f_s=2\times3400=6800\ \text{Hz}
$$

再结合 7 bit 编码计算

$$
R_b=6800\times7=47600\ \text{bit/s}
$$

不过当前题目明确规定每秒采样 8000 次，所以不能自行改成 6800 次。考试计算必须以实际给出的采样参数为准，而不是用理论最低值替换系统的真实采样率。

还要留意一个细节。某些教材会把 3400 Hz 称为话音信号最高频率，某些材料会把电话话音范围写成约 300 Hz 到 3400 Hz。此时严格计算频带宽度可能得到 3100 Hz，但传统数字电话系统仍普遍采用 8 kHz 采样率。试题中的表述通常是在说明话音信道的上限特征，无论如何都不会改变本题明确给出的 8000 次每秒。

## 与真实数字电话系统的对照

这道题与传统数字电话系统非常接近。国际电信联盟的 [ITU-T G.711 标准](https://www.itu.int/rec/T-REC-G.711)就是面向话音频率的 PCM 编码标准。传统电话话音通常以 8 kHz 的频率采样，也就是每秒取得 8000 个样本。

经典 G.711 系统对每个样本使用 8 bit 编码，因此它的基本码率为

$$
8000\times8=64000\ \text{bit/s}
$$

也就是

$$
64\ \text{kbit/s}
$$

公开的 G.711 技术资料也给出了 300 Hz 至 3400 Hz 的话音频段、8000 次每秒的采样率，以及每个压扩样本使用 8 bit 后形成 64 kbit/s 码流的关系。[G.711 参数说明](https://en.wikipedia.org/wiki/G.711)

本题把量化等级规定为 128 个，而不是 G.711 常见的 256 个。如果有 256 个等级，则每个样本所需位数为

$$
\log_2 256=8\ \text{bit}
$$

数据速率就是

$$
8000\times8=64\ \text{Kb/s}
$$

这正好对应选项 D。

然而，本题只有 128 个等级，因此每个样本只需 7 bit，码率也相应减少为

$$
8000\times7=56\ \text{Kb/s}
$$

这也解释了为什么 C 和 D 都被放入选项。D 利用了人们对标准数字电话 64 Kb/s 的熟悉感，诱使我们忽略题目已经把量化等级改成 128 个这一关键条件。

可以把每秒 8000 次采样想象成一条工厂生产线每秒生产 8000 件产品。128 个量化等级相当于每件产品需要贴上一个能够区分 128 种类别的标签。7 个二进制位刚好能够组成 128 种标签，所以每件产品贴 7 位标签。一秒钟生产 8000 件，每件携带 7 位信息，生产线每秒输出的标签总量自然就是 56000 bit。

这个例子没有改变通信模型，只是把采样和编码对应到了更容易观察的流程。采样频率决定每秒处理多少件，量化等级决定每件需要多长的编号，两者相乘便得到每秒输出多少位。

## 量化等级与声音质量之间的关系

量化等级并不只是一个用于计算码率的数字，它还会影响数字化信号的精细程度。

当量化等级较少时，一个量化区间会覆盖较大的模拟幅度范围。两个略有差别的实际幅度可能被归到同一个等级中，数字系统无法保留它们之间的细微差异。量化等级越多，幅度划分越细，量化误差通常越小，但每个样本需要的编码位数也越多。

本题的 128 个等级对应 7 bit。若提升到 256 个等级，每个样本增加到 8 bit，码率从 56 Kb/s 增长到 64 Kb/s。若使用 65536 个等级，也就是常见的 16 bit 线性量化，每个样本便需要 16 bit。在采样频率仍为 8000 Hz 的情况下，单声道原始 PCM 码率会达到

$$
8000\times16=128000\ \text{bit/s}
$$

也就是 128 kbit/s。

现实中的音频光盘使用更高的采样率和更大的量化位数。典型的 CD 音频使用每秒 44100 次采样、每个声道每个样本 16 bit，并采用双声道。它的原始 PCM 数据速率为

$$
44100\times16\times2
=1411200\ \text{bit/s}
$$

也就是约 1.4112 Mbit/s。

这组数据与本题使用的是同一个计算框架。差别只是 CD 音频还要乘以声道数。由此可以得到更一般的 PCM 数据速率公式

$$
R_b=f_s\times n\times C
$$

其中，$C$ 表示声道数。电话通常按照单声道计算，所以本题默认

$$
C=1
$$

代入后仍为

$$
R_b=8000\times7\times1=56000\ \text{bit/s}
$$

## 为什么不使用奈奎斯特无噪声信道公式

另一处常见混淆来自奈奎斯特无噪声信道容量公式

$$
C=2B\log_2M
$$

这个公式中的 $B$ 表示信道带宽，$M$ 表示每个码元可能采用的离散状态数，计算的是理想无噪声信道在给定码元状态数下的极限数据传输率。

本题虽然也出现了带宽和 128 个等级，但这里的 128 是 PCM 对模拟样本进行幅度量化时的量化等级数，并不等同于线路调制时每个码元的状态数。

量化等级描述的是一个采样值可以落入多少种幅度类别。调制状态数描述的是一个物理码元在通信线路上可以采用多少种信号状态。这两个概念处在不同处理环节，不能因为它们都采用数字 $M$ 或都涉及离散状态，就混为同一个参数。

若误用

$$
C=2B\log_2M
$$

并代入

$$
B=3400,\quad M=128
$$

会得到

$$
C=2\times3400\times7
=47600\ \text{bit/s}
$$

这个结果既不在选项中，也与题目明确规定的 8000 次每秒采样相冲突。它计算的是另一类问题，不是当前 PCM 编码器每秒产生的数据量。

识别这类题时，可以观察问题究竟在问什么。只要题目给出每秒采样次数和每个样本的量化等级，通常直接使用

$$
\text{PCM 码率}
=
\text{采样率}
\times
\text{每样本位数}
$$

若题目给出声道数，再乘以声道数。若给出的只是信号最高频率，而没有给采样率，才需要依据采样定理求出最低采样率。若讨论的是无噪声信道极限速率、码元速率和信号状态数，才考虑奈奎斯特信道容量公式。

## 四个选项分别对应什么误区

A 选项的 10 Kb/s 与题目中的采样频率和量化位数都无法形成合理对应，通常只是一个数量级干扰项。

B 选项的 16 Kb/s 容易让人联想到每个样本使用 2 bit，或者把某些低码率语音编码方案与原始 PCM 混在一起。128 个等级显然不可能只用 2 bit 表示，因为 2 bit 只能形成 4 种组合。

C 选项的 56 Kb/s 来自

$$
8000\times7=56000\ \text{bit/s}
$$

它完整使用了题目给出的采样次数和量化等级，是正确答案。

D 选项的 64 Kb/s 是标准数字电话中极具迷惑性的数值。每秒采样 8000 次这一条件确实与传统 G.711 电话系统一致，但 G.711 每个样本通常使用 8 bit，对应 256 种编码组合。本题明确给出 128 个量化等级，所以只能使用 7 bit，不能照搬 64 Kb/s。

回到题目本身，完整推导可以压缩为三行

$$
128=2^7
$$

$$
\text{每个样本需要 }7\ \text{bit}
$$

$$
8000\times7=56000\ \text{bit/s}=56\ \text{Kb/s}
$$

所以第 20 题应选择 **C．56 Kb/s**。3400 Hz 用来说明话音信号的频率范围以及 8 kHz 采样的合理性，128 个量化等级决定每个样本使用 7 bit，8000 次每秒决定每秒生成 8000 组样本代码。把这三个参数各自放回正确的位置，这道题就不会再受到 64 Kb/s 或奈奎斯特容量公式的干扰。


人的声音、电压变化以及麦克风输出的电信号，在时间和幅度上通常都是连续变化的。计算机和数字通信系统无法直接保存无限精细的连续量，因此需要把模拟信号转换成有限长度的二进制序列。

从 3400 Hz 话音信道到 56 Kb/s，彻底读懂 PCM 数据速率的计算逻辑

紫薇堂堂主

音视频

编程语言

网络与通信

PCM编码将模拟信号数字化，采样率8000次/秒，每个样本量化为128级需7bit编码，数据速率为8000×7=56000bit/s即56Kb/s。3400Hz带宽仅说明采样合理性，实际计算以题设8000Hz为准，正确答案选C。

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