不稳定希尔伯特矩阵单位向量
不稳定希尔伯特矩阵单位向量
提问于 2015-11-09 06:24:49
设H(n)是n阶的希尔伯特矩阵。
设e = (0,...,0,1) -单位向量。
让e_im := H(n) * e来吧。
我使用了一些计算机代数系统来解决H(n) * x_1 = e_im问题。
设r = (r_1,...,r_n)是一个小的随机向量。
让(e + r)_im := H(n) * (e + r)来吧。
我使用了一些计算机代数系统来解决H(n) * x_2 = (e + r)_im问题。
为什么residial || H(n) * x_1 - e_im ||如此小，而|| H(n) * x_2 - (e + r)_im||却如此之大？
我使用numpy和scipy.linalg，这是我的代码：
H = scipy.linalg.hilbert(500)
e = numpy.zeros((500, 1))
e[499] = 1
e_im = H.dot(e)
x_1 = scipy.linalg.solve(H, e_im)
r = 0.0001 * numpy.random.rand(500, 1)
e_plusr_im = e + r
x_2 = scipy.linalg.solve(H, e_plusr_im)
Residials = [scipy.linalg.norm(H.dot(x_1) - b_1, 2), scipy.linalg.norm(H.dot(x_2) - b_2, 2)]回答 1
Stack Overflow用户
发布于 2015-11-09 08:55:07
这是众所周知的数值线性代数现象。大多数线性代数课程材料)。
矩阵的condition number kappa(A) = ||A|| ||A^-1||告诉在一般情况下矩阵求逆放大了多少误差。这里：
>>> import scipy.linalg
>>> import numpy as np
>>> H = scipy.linalg.hilbert(500)
>>> np.linalg.cond(H)
4.6335026663215786e+20根据经验，对于64位浮点数，(确定性)浮点误差的相对幅度为1e-16。条件数太大了，以至于结果误差的相对大小> 1，所以你可能会失去所有的精度，除非你很幸运，并且解决方案和中间计算有精确的浮点表示。如果手动添加噪波，它也会被放大。
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https://stackoverflow.com/questions/33599726
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