问查找最优旋转

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在计算机视觉中，有一种叫做RANSAC的技术可以做你想做的事情。您可以使用一组最小的点对应关系来查找单个四元数/变换矩阵，而不是查找所有可能的四元数。然后，您将评估所有点的拟合质量，丢弃那些不够拟合的点。如果你没有足够好的匹配项，也许你的原始集合中有一个糟糕的匹配项。因此，您将放弃该尝试，并再次尝试。如果你确实得到了足够好的匹配，你将对所有的inlier点进行最小二乘回归拟合，以获得一个新的转换矩阵，然后迭代，直到你对结果满意。

或者，你可以把你所有的四元数归一化，找出它们之间的点积。点积应该始终是正的；如果它不是用于任何给定的计算，那么您应该对两个四元数中的一个的所有分量求反，然后重新计算。然后，您有了四元数之间的距离度量，您可以聚类或查找间隙。

这里有两个问题：

• 如何计算任意数量点的“最佳拟合”？
• 如何决定接受哪些点，拒绝哪些点？

对第一个问题的一般回答是，“做一个least squares拟合”。在这方面，四元数可能比Euler角度更好；请尝试以下方法：

foreach point pair (a -> b), ideal rotation by unit quaternion q is:
   b = q a q*   ->   q a - b q = 0

因此，寻找适合q的最小二乘法

minimize sum[over i] of |q a_i - b_i q|^2
under the constraint:  |q|^2 = 1

如上所述，除了约束之外，最小二乘问题是线性的，这应该比欧拉角公式更容易解决。

对于第二个问题，我可以看到两种方法：

• 如果你的点不是太远，你可以尝试运行所有点的最小二乘求解器，然后返回，抛出“离群值”(那些平方误差最大的点对)，然后再试一次。
• 如果非常不一致的点正在抛出上述过程，你可以尝试随机选择3或4对的小子集，并找到适合每个点的最小二乘解。如果一大组这样的结果有相似的旋转，总误差很低，你可以用它来识别“好”的配对(从而消除坏的配对)；然后返回并找到适合所有好配对的最小二乘。