问在matlab中进行优化:求解约束方程

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你说优化算法需要调整q，使“真实”问题最小化，同时上面的方程也成立。

请注意，fifth Euclid axoim确保所有行始终与所有其他行相交，除非两个q相等但相应的y0不相等。最后一种情况非常少见(在浮点上下文中)，我将在这里跳过它，但为了增加健壮性，您最终应该将其包括在内。

现在，首先，从矩阵的角度考虑。您的约束可以通过矩阵方程来表示：

y = tan(q)*x + y0

其中q、y和y0是[Nx1]矩阵，x是未知标量。注意y = c*ones(N,1)，例如，只包含相同常量的矩阵。这实际上是一个非线性约束--也就是说，它不能表示为

A*q <= b   or   A*q == b

用A表示设计矩阵，用b表示解向量。因此，您必须编写一个定义此非线性约束的函数，并将其传递给fmincon等优化器。来自the documentation：

fmincon优化使得c(x)≤0和ceq(x) =0。如果不存在边界，则设置lb = []和/或ub = []。

请注意，您实际上是在朝着正确的方向前进。您可以使用以下等式求解任意一对直线q(n),y0(n)和q(m),y0(m)的交点的x-location：

x(n,m) = (y0(n)-y0(m)) / (q(m)-q(n))

您的nonlcon函数应该为所有可能的对n,m找到x，并检查它们是否都相等。您可以很方便地这样做，如下所示：

function [c, ceq] = nonlcon(q, y0)
    % not using inequalities
    c = -1; % NOTE: setting it like this will always satisfy this constraint

    % compute tangents 
    tanq = tan(q);

    % compute solutions to x for all pairs 
    x = bsxfun(@minus, y0, y0.') ./ -bsxfun(@minus, tanq, tanq.');

    % equality contraints: they all need to be equal 
    ceq = diff(x(~isnan(x))); % NOTE: if all(ceq==0), converged.

end

请注意，您实际上并没有显式地求解q (或者根本不需要交叉点的y坐标) --这都是fmincon的工作。

您将需要做一些实验，因为有时定义

x = x(~isnan(x));
ceq = norm(x-x(1)); % e.g., only 1 equality constraint

这会更快(需要计算的导数更少)，但其他问题确实需要

x = x(~isnan(x));
ceq = x-x(1); % e.g., N constraints

或者类似的把戏。这真的取决于问题的其余部分，优化器会发现每种情况有多难。