python代码在区间(0 ~ 10)上用Euler方法求解以下常微分方程初值问题
我有个问题
编写一个python代码，用Euler方法在区间(0 ~ 10)上用10个时间步长求解以下初值问题--常微分方程。( A) y'= -y -y^2；y(0)=1，如果这个精确解是y(t) = 1/(-1+2e^t)，那么y(10)的绝对误差是多少。现在我已经写了这段代码
def pow_t(x,b):
t=1;
while (b):
t*=x
b=b-1
return t
def absolute():
y=[x for x in range(1,11)]
h=0.0001
for i in range(1,10) :
y[i]=y[i-1]+(h*(-1*y[i-1]-pow_t(y[i-1],2)))
print("y",i,"=",y[i])
exact = 0.0000227
approx = y[9]
absolute = exact - approx
print("abbsolute erroe = exact - approx ")
print("abbsolute erroe = ",absolute)
print(absolute())
我需要将y列表的第一个索引设置为1，然后通过for循环填充列表的其余部分，我如何编码呢？
回答 2
Stack Overflow用户
发布于 2022-01-15 19:07:39
您的输出基本上是正确的，但是移动了1(例如，您的y10是预期输出所称的y9)，而不是四舍五入到小数点后4位。
y有10个更新，但要打印11个值。这样做的方法是要么在循环之前打印第一个y，要么在循环之后打印最终的y。下面的代码显示了第二种方法：
y = 1
t = 0
h = 0.0001
iterates = [1]
for i in range(10):
print(f'y{i} = {y:.4f}')
y = y+h*(-y-y**2)
iterates.append(y)
t += h
print(f'y10 = {y:.4f}')注意，这段代码只使用标量变量y作为欧拉方法中的变量(而不是数组中的条目)。说到底，这是一个品味的问题，但这样的代码似乎更干净。
产出如下：
y0 = 1.0000
y1 = 0.9998
y2 = 0.9996
y3 = 0.9994
y4 = 0.9992
y5 = 0.9990
y6 = 0.9988
y7 = 0.9986
y8 = 0.9984
y9 = 0.9982
y10 = 0.9980它与预期的输出相匹配。
Stack Overflow用户
发布于 2022-01-15 17:48:14
如果您可以在开始之前知道封闭表单解决方案，这会有所帮助。
Equation: y' + y + y^2 = 0
Initial condition: y(0) = 1这是伯努利方程。
闭形解是：
y(t) = -e^C1 / (e^C1 - e^t)应用常量C1解的初始条件：
y(0) = -e^C1 / (e^C1 - 1) = 1C1的解决方案：
e^C1 = 1/2
C1 = ln(1/2)替换给出了最终的解决方案：
y(t) = 1/(2*(e^t - 1/2))绘制封闭形式的解决方案，并使用它来评估数值积分解决方案。
您可以在y(10)得到精确的解，以便与数值结果进行比较：
y(0) = 1
y(1) = 0.225399674
y(2) = 0.072578883
y(3) = 0.025529042
y(4) = 0.009242460
y(5) = 0.003380362
y(6) = 0.001240914
y(7) = 0.000456149
y(8) = 0.000671038
y(9) = 0.000061709
y(10) = 1/(2*(e^(10)) - 1/2)) = 0.000022700我爱Kotlin。我认为Python的简单性和简洁性相匹配，但给了我更多的Java和JVM的b/c。下面是Kotlin实现的样子：
fun main() {
var y = 1.0
var t = 0.0
val dt = 0.005
val tmax = 10.0
do {
println("y(${t.format(5)}) = ${y.format(10)}")
y += dt*(-y-y*y)
t += dt
} while (t < tmax)
}
fun Double.format(digits: Int) = "%.${digits}f".format(this)通过采取更小的步骤，您可以越来越好地与封闭表单解决方案达成一致。使用dt值来了解我的意思。
您正在使用一个显式的Euler集成方案，它可能会在步长上受到稳定性限制。您可以选择更精确和稳定的集成方案，如5阶龙格库塔。
https://stackoverflow.com/questions/70722927
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