问python中np.random.multinomial和size选项的问题

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我的问题是:我让N的人在三个对象之间进行选择-- [1,2,3]和概率[p_1,p_2,p_3]，比如p_1+p_2+p_3=1。让我们将X_1,X_2,X_3称为N人员中一个示例中所选对象的计数(例如，X_1是选择对象1的人数)。

向量X_1,X_2,X_3服从多项式分布和维基百科一样。众所周知，cov(X_1,X_2) ( X_1，X_2)=-N*p_1*p_2。

我想验证这个协方差公式。我做了两个实验得到了不同的结果。我不明白为什么。

尝试使用A I编码(使用p_1=0.4,p_2=0.2,p_3=0.4和N=50)：

q=np.random.multinomial(50, [0.4,0.2,0.4],size=1000)
df=pd.DataFrame(q,columns=["X_1","X_2","X_3"])
cov_matrix=np.cov([df["X_1"],df["X_2"],df["X_3"]])

在我的具体例子中，我得到了cov(X_1,X_2)=-4.44586486：它非常类似于我所期望的-N*p_1*p_2=-50*0.4*0.2=-4

尝试B (在这里，我依次创建多项绘制的示例)，我编码了：

s=[1]*1000 # 1000 as the size
df["constant"]=s
df["X_1"]= df.apply(lambda x: np.random.multinomial(50, [0.4,0.2,0.4])[0],axis=1)
df["X_2"]= df.apply(lambda x: np.random.multinomial(50, [0.4,0.2,0.4])[1],axis=1)
df["X_3"]= df.apply(lambda x: np.random.multinomial(50, [0.4,0.2,0.4])[2],axis=1)
cov_matrix=np.cov([df["X_1"],df["X_2"],df["X_3"]])

在我的具体案例中，我得到了cov(X_1,X_2)=-0.087452：它与我所期望的(即4)非常不同。

在我看来，A和B之间唯一的区别是，在A size=1000中，而在B中，我为数据数据的每一行创建了一个平局。

为什么我会得到不同的结果？我犯了哪些错误？有一个类似的问题这里，但答案并不是很有帮助。