旋转矢量转换为旋转矩阵的罗德里格斯公式
我试图理解三维旋转矢量到旋转矩阵的转换。假设我有一个三维旋转向量a，b，g。从Trucco等人的“3D计算机视觉入门技术”中，我相信我可以把它表示为每个轴x，y，z的旋转矩阵的乘积。
但是更多的时候，我看到这种从旋转矢量到矩阵的转换，使用的是罗德里格斯公式，在下面的图像中给出了A.17
我正在Matlab中测试这两种方法(我使用的是执行罗德里格斯函数的Matlab图像处理工具箱中内置的rotationVectorToMatrix函数)，对于小角色，我得到的结果非常接近。
alpha = 1 * (pi/180);
beta = 2 * (pi/180);
gamma = 3 * (pi/180);
R = [(cos(beta) * cos(gamma)) (-cos(beta)*sin(gamma)) sin(beta);
sin(alpha) * sin(beta) * cos(gamma) + cos(alpha)*sin(gamma) ...
-sin(alpha) * sin(beta) * sin(gamma) + cos(alpha) * cos(gamma) ...
-sin(alpha) * cos(beta); ...
-cos(alpha)*sin(beta)*cos(gamma) + sin(alpha)*sin(gamma) ...
cos(alpha) * sin(beta) * sin(gamma) + sin(alpha) * cos(gamma) ...
cos(alpha) * cos(gamma)]
Rm = rotationVectorToMatrix([alpha beta gamma])'我得到了
R =
0.9980 -0.0523 0.0349
0.0529 0.9984 -0.0174
-0.0339 0.0193 0.9985
Rm =
0.9980 -0.0520 0.0353
0.0526 0.9985 -0.0165
-0.0344 0.0184 0.9992但是，当我的角度变大时，它们会有点发散，例如，如果我做了
alpha = 10 * (pi/180);
beta = 20 * (pi/180);
gamma = 30 * (pi/180);我得到了
R =
0.8138 -0.4698 0.3420
0.5438 0.8232 -0.1632
-0.2049 0.3188 0.8529
Rm =
0.8089 -0.4578 0.3689
0.5166 0.8530 -0.0742
-0.2807 0.2506 0.9265再一次，我只是想得到一个更好的理解，这些方法是从旋转向量转换成矩阵等价的吗？我应该一直用罗德里格斯的方法吗？如果是的话，为什么？谢谢你的帮助。
回答 1
Stack Overflow用户
发布于 2021-02-19 19:19:09
“旋转矢量”假定角度是同时的。因此，使用欧拉角是不合适的比较，假设顺序的角度。对于小角度，你会得到一些接近，但对于较大的角度，它将得到显著的差异。
一个恰当的比较将是四元数，它也假设同时的角度，在同样的意义上，一个旋转矢量。所以就像
V = [alpha beta gamma];
angle = norm(V);
q = [cos(angle/2) sin(angle/2)*V/angle];那就拿这个做比较。例如，
quat2dcm(q)编辑
如果您没有MATLAB航天工具箱，那么您可以手动完成此转换。航天工具箱使用标量向量顺序，右链，右手汉密尔顿惯例.因此，转换将是：
qw = q(1); qv = q(2:4); % note qv is a row vector here
skew = @(v)[0 -v(3) v(2);v(3) 0 -v(1);-v(2) v(1) 0];
dcm = (qw^2 - qv*qv')*eye(3) + 2*qv'*qv - 2*qw*skew(qv) % right-chain Hamilton机器人工具箱使用的是左链约定，因此，如果您要比较工具箱中的函数，则需要翻转交叉乘积项的符号。例如，
dcm = (qw^2 - qv*qv')*eye(3) + 2*qv'*qv + 2*qw*skew(qv) % left-chain Hamilton如果你比较左撇子四元数惯例(又名JPL)，交叉乘积项会在翻转符号上倾斜。所以它归结为
% right-chain right-handed Hamilton OR left-chain left-handed JPL
dcm = (qw^2 - qv*qv')*eye(3) + 2*qv'*qv - 2*qw*skew(qv)
% left-chain right-handed Hamilton OR right-chain left-handed JPL
dcm = (qw^2 - qv*qv')*eye(3) + 2*qv'*qv + 2*qw*skew(qv)右链是指在三重四元数旋转操作(通常用于两个不同坐标系之间的被动坐标系转换)中，未修改的四元数出现在右侧：
vnew = q^-1 * v * q左链是指在三重四元数旋转操作中，未修改的四元数出现在左侧(通常用于在同一坐标系内的主动矢量旋转)：
vnew = q * v * q^-1右撇子意味着四元数的虚单位像正则交叉积项一样相乘。例如，
i * j = k
j * k = i
k * i = j左撇子意味着四元数的虚单位像正则交叉积项的负数一样相乘。也就是说，就像一个左手坐标系。例如，
i * j = -k
j * k = -i
k * i = -j当然，如果您使用的是向量-标量顺序的四元数，则需要从上面取出标量和向量部分。
https://stackoverflow.com/questions/66279458
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