问数学中的Riffling卡

EN

我知道的老问题，但奇怪的是，没有人提出一个实际的数学解决方案。

 countrifflecards[deck_] := Module[{n = Length@deck, ct, rifdeck},
      ct = 0;
      rifdeck = 
        Riffle @@ 
          Partition[ # , Ceiling[ n/2], Ceiling[ n/2], {1, 1}, {} ] &;
      NestWhile[(++ct; rifdeck[#]) &, deck, #2 != deck &,2 ]; ct]

这处理偶数和奇数案件：

 countrifflecards[RandomSample[ Range[#], #]] & /@ Range[2, 52, 2]

{1，2，4，3，6，10，12，4，8，18，6，11，20，18，28，5，10，12，36，12，20，14，12，23，21，8}

 countrifflecards[RandomSample[ Range[#], #]] & /@ Range[3, 53, 2]

{2，4，3，6，10，12，4，8，18，6，11，20，18，28，5，10，12，36，12，20，14，12，23，21，8，52}

您可以很容易地显示，如果您添加一张卡到奇数-大小写，额外的卡将停留在底部，不改变顺序，因此奇数的结果只是n+1偶数的结果。

 ListPlot[{#, countrifflecards[RandomSample[ Range[#], #]]} & /@ 
      Range[2, 1000]]

​

​

引用MathWorld

.=.原顺序为1，2，4，3，6，10，12，4，8，18，6，11，.(Sloane's A002326)，它只是2 (mod - n-1)的乘法阶.例如，从2**8=1 (mod 51) (Golomb 1961)开始，一个由52张牌组成的扑克牌在经过八次洗牌后返回到原来的状态。需要1，2，3，……的最少数目的卡2n。重新回到甲板的原始状态是1，2，4，3，16，5，64，9，37，6.(斯隆的A114894)

当n是奇数时，情况就没有得到解决。

请注意，这篇文章还包含了一个Mathematica notebook，其中包含了一些函数，可以用来探索“外乱”。

如果我们有一个奇数的纸牌n==2m-1，并且如果在每次洗牌过程中，第一组包含m卡，第二组m-1卡，而这些组被加入，使得同一组中没有两张牌彼此相邻，那么所需的洗牌次数等于MultiplicativeOrder[2, n]。

为了说明这一点，我们注意到，在一次洗牌之后，处于位置的k已经转移到2k for 0<=k<m和2k-2m+1 for m<=k<2m-1，而k就是这样的0<=k<2m-1。编写模块n==2m-1 --这意味着新的职位是Mod[2k, n] for all 0<=k<n。因此，对于每一张卡片返回到它原来的位置，我们需要N洗牌，其中N是这样的，对于所有的0<=k<n，Mod[2^N k, n]==Mod[k, n]都是这样的，因此N是MultiplicativeOrder[2, n]的任何倍数。

请注意，由于对称性，如果我们以相反的方式分割甲板，结果将是完全相同的，也就是说，第一组总是包含m-1卡，第二组m卡。我不知道如果你交替的话会发生什么，例如，对于奇数洗牌，第一组包含m卡，对于偶数洗牌m-1卡。