问四元数与归一化

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任何产生四元数的运算都需要标准化，因为浮点进动误差会导致它不是单位长度。

出于性能原因，我建议不要使用标准例程自动执行规范化。任何有能力的程序员都应该意识到精度问题，并且能够在必要的时候将数量正常化--而且并不总是需要有一个单位长度的四元数。

向量运算也是如此。

这个答案是给将来遇到这个问题的人的，而不是给提问者的。

我不同意另外两个答案，只是偶尔将四元数正常化。使用四元数旋转/变换矢量或生成旋转/变换矩阵的标准公式隐式地假定四元数是标准化的。使用未归一化的四元数所产生的误差与四元数大小的平方成正比。二次错误增长是最好的避免。

如果你经常正常化，你不需要平方根。一阶近似很好地工作。以下是我在IEEE双打中使用的四元数，有点程式化：

double qmagsq = quat.square_magnitude();
if (std::abs(1.0 - qmagsq) < 2.107342e-08) {
    quat.scale (2.0 / (1.0 + qmagsq));
}
else {
    quat.scale (1.0 / std::sqrt(qmagsq));
}

注意，我使用的是一阶Padé近似2.0/(1.0+qmagsq)，而不是一阶Taylor展开0.5*(3.0-qmagsq)来估计1.0/std::sqrt(qmagsq)。这种近似，如果有效，则用简单的除法替换平方根调用。关键是要找出当这个近似是有效的，这就是那个神奇的数字2.107342e-08发挥作用的地方。

为什么是Padé近似？有两个原因。其一，对于接近1的qmagsq值，1+qmagsq损失的精度低于3-qmagsq。另一种是Padé近似将误差与Taylor展开相比减少了3倍。对于0到2之间的qmagsq值，此近似下的误差小于(1-qmagsq)^2 / 8。神奇的数字2.107342e-08代表这个错误超过一半的ULP为IEEE双倍。如果你正在采取合理的小步骤，四元数大小的平方将始终在这个限制之内。你永远不会给sqrt打电话。

如果您使用Lie组集成技术来传播四元数，那么这个“正常化始终”范式的一个例外可能是。如果您不知道这意味着什么，您可能会使用等效的q(t+Δt) = q(t) + dq(t)/dt*Δt来传播一个四元数。您仍然在使用Euler步骤，即使您使用的是一种高阶集成技术，而不是Lie组积分器。

如果一个单位四元数是通过对其一次导数进行数值积分得到的，则积分器可以利用一个简单的误差反馈将其自动归一化。

设q表示四元数的4×1列矩阵，dq表示它的时间导数。然后将dq+0.5(1-q.q)q/τ发送给积分器代替dq，并使用适当的时间常数τ将q.q连续规范化，q.q表示内积。

我模拟了一个保守的，清晰的Bricard机制，在无重力空间中漂浮了360万秒，几乎是42天。四元数代表浮基体的方向。总能量保持不变至百万分之一以内，时间常数τ为0.5秒。数值积分器DE采用绝对误差容差为10^-12，相对误差容差为零。

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四元数通常是通过数值积分得到的。如果积分器内部没有归一化，则会积累幅度和相位误差。归一化四元数沿单位球面移动，其第一次导数与该球面相切。如果四元数偏离单位球体，它将开始累积相位误差，而在积分器外正常化的相位误差是无法修正的。因此，为了减小相位误差，四元数必须在数值积分器内连续归一化。