二维FFT的归一化
在python中执行2D FFT时，我有一个关于规范化的简单问题。我的理解是，标准化因素可以通过使用数组来确定。
例如，在1d中，1，1，1的FFT会给出4+0j,0+0j,0+0j,0+0j，所以归一化因子应该是1/N=1/4。
在2D中，[1，1，1]的FFT会给出[4+0j,0+0j,0+0j,0+0j]，因此归一化应该是1/MN=1/(2*2)=1/4。
现在假设我们有一个3000×3000矩阵，每个元素都有一个高斯分布值，平均值为0。当我们对此(归一化因子= 1/(3000*3000))进行FFT和归一化处理时，我们得到了10^-7阶的平均幂。
现在我们使用1000×1000元素子区域(归一化因子= 1/(1000*1000))重复这一点。我们从这里得到的平均功率是10^-6。我想知道为什么会有10种不同的因素。平均权力不应该是一样的吗？我是不是错过了一个额外的归一化因子？
如果我们说因子的差异实际上是9，那么我可以猜测这来自元素的数量(3000 x 3000有9倍于1000 x 1000的元素)，但是这个额外因素的直观原因是什么呢？此外，我们如何确定绝对归一化因子，以获得“真实”的潜在平均力量？
任何洞察力都将受到极大的赞赏。提前感谢！
样本代码：
import numpy as np
a = np.random.randn(3000,3000)
af = np.fft.fft2(a)/3000.0/3000.0
aP = np.mean(np.abs(af)**2)
b = a[1000:2000,1000:2000]
bf = np.fft.fft2(b)/1000.0/1000.0
bP = np.mean(np.abs(bf)**2)
print aP,bP
>1.11094908545e-07 1.00226264535e-06回答 1
Stack Overflow用户
发布于 2014-09-08 18:49:21
首先，需要注意的是，这个问题与1D和2DFFT之间的差异无关，而是与数组中元素数的总功率和平均功率尺度有关。
当您说9的因子来自a中的9x比b多的元素时，您是完全正确的。可能令人困惑的是，您注意到您已经通过np.fft.fft2(a)/3000./3000.和np.fft.fft2(b)/1000./1000.进行了标准化--实际上，这些规范化是获得空间和频率域中的总功率(而不是平均功率)所必需的。要得到平均值，您必须再次除以数组大小。
你的问题实际上是关于Parseval定理，它说，在两个领域(空间/时间和频率)的总幂是相等的。它的声明，对DFT来说是这。注意，尽管右边有1/N，但这不是平均功率，而是总功率。1/N的原因是DFT的标准化惯例。
在Python中，这意味着对于时间/空间信号sig，Parseval等效可以声明为：
np.sum(np.abs(sig)**2) == np.sum(np.abs(np.fft.fft(sig))**2)/sig.size
下面是一个完整的例子，从一些玩具案例开始(一维和二维数组填充了一个1s)，并以您自己的案例结束。注意，我使用了.size属性numpy.ndarray，它返回数组中的元素总数。它相当于你的/1000./1000.等。希望这有帮助！
import numpy as np
print 'simple examples:'
# 1-d, 4 elements:
ones_1d = np.array([1.,1.,1.,1.])
ones_1d_f = np.fft.fft(ones_1d)
# compute total power in space and frequency domains:
space_power_1d = np.sum(np.abs(ones_1d)**2)
freq_power_1d = np.sum(np.abs(ones_1d_f)**2)/ones_1d.size
print 'space_power_1d = %f'%space_power_1d
print 'freq_power_1d = %f'%freq_power_1d
# 2-d, 4 elements:
ones_2d = np.array([[1.,1.],[1.,1.]])
ones_2d_f = np.fft.fft2(ones_2d)
# compute and print total power in space and frequency domains:
space_power_2d = np.sum(np.abs(ones_2d)**2)
freq_power_2d = np.sum(np.abs(ones_2d_f)**2)/ones_2d.size
print 'space_power_2d = %f'%space_power_2d
print 'freq_power_2d = %f'%freq_power_2d
# 2-d, 9 elements:
ones_2d_big = np.array([[1.,1.,1.],[1.,1.,1.],[1.,1.,1.]])
ones_2d_big_f = np.fft.fft2(ones_2d_big)
# compute and print total power in space and frequency domains:
space_power_2d_big = np.sum(np.abs(ones_2d_big)**2)
freq_power_2d_big = np.sum(np.abs(ones_2d_big_f)**2)/ones_2d_big.size
print 'space_power_2d_big = %f'%space_power_2d_big
print 'freq_power_2d_big = %f'%freq_power_2d_big
print
# asker's example array a and fft af:
print 'askers examples:'
a = np.random.randn(3000,3000)
af = np.fft.fft2(a)
# compute the space and frequency total powers:
space_power_a = np.sum(np.abs(a)**2)
freq_power_a = np.sum(np.abs(af)**2)/af.size
# mean power is the total power divided by the array size:
freq_power_a_mean = freq_power_a/af.size
print 'space_power_a = %f'%space_power_a
print 'freq_power_a = %f'%freq_power_a
print 'freq_power_a_mean = %f'%freq_power_a_mean
print
# the central 1000x1000 section of the 3000x3000 original array:
b = a[1000:2000,1000:2000]
bf = np.fft.fft2(b)
# we expect the total power in the space and frequency domains
# to be about 1/9 of the total power in the space frequency domains
# for matrix a:
space_power_b = np.sum(np.abs(b)**2)
freq_power_b = np.sum(np.abs(bf)**2)/bf.size
# we expect the mean power to be the same as the mean power from
# matrix a:
freq_power_b_mean = freq_power_b/bf.size
print 'space_power_b = %f'%space_power_b
print 'freq_power_b = %f'%freq_power_b
print 'freq_power_b_mean = %f'%freq_power_b_meanhttps://stackoverflow.com/questions/19444373
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