问实对称向量的FFT不是实的和对称的

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@Yvon关于对称性的评论是完全正确的。您的输入信号看起来是对称的，但并不是因为对称性与原点0有关。在Matlab中使用线性空间来构造信号是一个很糟糕的选择。试图用fftshift来修复结果也是个坏主意。

改为使用：

k = 2*(0:N-1)/N - 1;

你就会得到你想要的结果。然而，变换后的值的虚部不会完全为零。有一些数字噪音。

>> max(abs(imag(Vf5)))
ans =
2.5535e-15

对Yvon问题的回答：

为什么？>> N= 1+2^4 N= 17 >> x=linspace(-1,1，( N) x= -1.0000 -0.8750 -0.7500 -0.6250 -0.5000 -0.3750 -0.2500 -0.1250 0 0.1250 0.2500 0.3750 0.5000 0.6250 0.7500 0.8750 1.0000 >> y=2*(0:N-1)/N-1 y= -1.0000 -0.8824-0.7647 -0.6471-0.5294 -0.4118 -0.2941 -0.1765 -0.0588 0.0588 0.1765 0.2941 0.4118 0.5294 0.6471 0.7647 0.8824-Yvon 1

您的示例不是对称(偶数)函数，而是反对对称(奇数)函数。然而，这并没有什么不同。

对于长度为N的反对称函数，下列语句为真：

f[i] == -f[-i] == -f[N-i]

我的索引从0到N1。

让我们看看i=2发生了什么。记住，计数以0开头，以16结尾。

x[2] = -0.75
-x[N-2] == -x[17-2] == -x[15] = (-1) 0.875 = -0.875
x[2] != -x[N-2]

y[2] = -0.7647
-y[N-2] == -y[15] = (-1) 0.7647
y[2] == y[N-2]

问题是，Matlab向量的原点从1开始，模(周期)向量从原点0开始。这种差异导致了许多误解。

解释linspace(-1，+1，N)不正确的另一种方法：

假设你有一个向量，它包含一个周期函数的单个周期，例如，一个Cosinus函数。这一个周期是无限多个周期之一。您的Cosinus向量的第一个值不能与您的向量的最后值相同。然而，这正是linspace(-1，+1，N)所做的。这样做，会产生一个序列，其中周期1的最后一个值与下一个句点2的第一个示例值相同。这不是您想要的结果。为避免这一错误，请使用t= 2*(0:N-1)/N - 1。距离ti+1-ti为2/N，最后的值必须是tN-1 = 1 - 2/N，而不是1。

对Yvon第二个评论的回答

无论你在DFT/FFT的输入向量中放入什么，理论上它都被解释为一个周期函数。但这不是重点。

DFT执行一个集成。

fft(m) = Sum_(k=0)^(N-1) (x(k) exp(-i 2 pi m k/N )

第一值x(k=0)描述长度1/N的第一积分间隔的幅度，第二值x(k=1)描述长度1/N的第二积分间隔的幅度，等等。

对称函数的最后一个积分区间以与第一个示例相同的值结束。这意味着，最后一个积分区间的起点是k=N1= 1-1/N，您的输入向量持有积分区间的起点。

因此，对称k=N的最后一点是函数的一个点，但它不是积分区间的起点，因此它不是输入向量的一个成员。

它是

Vf = fftshift(fft(ifftshift(V)));

也就是说，在时域需要ifftshift，这样样本被解释为对称函数的样本，然后在频域的fftshift使对称性变得明显。

这只适用于N奇数。甚至对N来说，对称函数的概念是没有意义的:没有办法使信号相对于原点是对称的(起源需要“两个样本之间”，这是不可能的)。

对于您的示例V，上面的代码给出了真实的和对称的Vf。下面的图是用semilogy(Vf)生成的，这样就可以看到小值和大值。(当然，您可以修改水平轴，使图形按其应有的频率以0为中心；但无论如何，图形是对称的。)

​

​

您在实现“对称”概念时遇到了问题。纯实，偶数(或“对称”)函数有一个傅里叶变换函数，它也是实的和偶数的。“偶数”是关于y轴或t=0线的对称性。

然而，在Matlab中实现信号时，您总是从t=0开始。也就是说，没有办法“定义”从时间起源之前开始的信号。

在互联网上搜索一段时间后，我会找到这个-- 在fft和ifft输入端正确使用fftshift和ifftshift。

就像Luis有指出一样，您需要在将信号输入fft之前执行ifftshift。这个原因从来没有在Matlab中被记录过，只是在这个线程中。由于历史原因，交换了fft和ifft的输出和输入。也就是说，不是从-N/2排序到N/2-1 (自然顺序)，而是将时域或频域信号从0排序到N/2-1，然后从-N/2排序到-1。这意味着，正确的编码方式是fft( ifftshift(V) )，，但大多数人在大多数情况下忽略了。为什么它被默默地忽略，而不是引起巨大的问题，最关心的是信号的振幅，而不是相位。由于圆形移位不影响振幅谱，这并不是一个问题(即使是Matlab的人谁写了文件)。

为了检查振幅相等-

Vf2 = fft(ifftshift(V));
Vf5 = fft(V);
Va2 = abs(fftshift(Vf2));
Va5 = abs(fftshift(Vf5));

>> min(abs(Va2-Va5)<1e-10)

ans =

     1

看看这段时间有多糟糕-

Vp2 = angle(fftshift(Vf2));
Vp5 = angle(fftshift(Vf5));

不管怎么说，正如我在评论中所写的，在将代码复制并粘贴到一个新鲜干净的Matlab中之后，它会给出0 1 0 1 0 0。

对于关于N=even和N=odd的问题，我的观点是，当N=even时，信号是不对称的，因为在时间起源的两边都有不相等的点数。