计算圆周率，得到与帐面不同的值
数学常数π(pi)是一个无理数，其数值约为3.1415928。π的精确值等于以下无限和:π=4/1-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+…通过计算前几个项的和，我们可以得到π的一个很好的逼近。编写一个函数approxPi()，该函数将浮点值误差作为参数，并通过逐项计算上述和，在误差范围内逼近常量π，直到当前和与前一和之间的差的绝对值(加上一个较少的项)不大于误差。一旦函数发现差值小于误差，它就应该返回新的和。请注意，此函数不应使用来自数学模块的任何函数或常量。您应该使用所描述的算法来近似π，而不是使用Python中内置的值。
我已经做了下面的程序，但由于某种原因，我得到了与书中的不同的价值。
def pi(error):
prev = 1
current = 4
i = 1
while abs(current - prev) > error:
d = 2.0* i +1
sign = (-1)**i
prev = current
current = current + sign * 4 / d
i = i +1
return current
output In [2]: pi(0.01)
Out[2]: 3.146567747182955但是我需要得到这个值
>>> approxPi(0.01)
3.1611986129870506
>>> approxPi(0.0000001)
3.1415928535897395回答 3
Stack Overflow用户
发布于 2015-10-12 05:28:04
你所使用的近似很难收敛，也就是说，你必须循环很多次才能得到一个合理的值。你看，差别是1/d，这就是精度。您必须循环5000次才能得到四位数，50 k次得到next，500 k得到next，等等(这是数字的指数时间复杂度)。
这可能是你在这里看到不一致的原因之一，你只是得到了四舍五入错误加起来的情况。因为您需要使用那么多的迭代，所以您将永远无法达到所使用的浮点数的全部精度。另一个不一致的原因是，您的引用可能使用了另一个退出条件，您的条件应该小于所提供的错误(理想情况下)，并且得到了它(3.146567747182955-pi <0.0 1)。实际上，您的引用似乎使用的是条件abs(current-prev) > 4*error。
您使用的公式是，pi=4arctan(1)，并使用McLaurin展开的arctan(x)对x的值，这是在收敛的极限。为了获得更好的性能，应该在扩展中使用较低的x。例如，可以使用pi=16arctan(1/5)-4 4arctan(1/239)(这为数字提供了线性时间复杂度)：
def pi(error):
a = 1.0/5
b = 1.0/239
prev = 1
current = 0.0
i = 0
while abs(current - prev) > error:
d = 2.0* i +1
sign = (-1)**i
prev = current
current = current + sign * (16*a - 4*b)/d
a = a*1.0/(5*5)
b = b*1.0/(239*239)
i = i +1
return currentStack Overflow用户
发布于 2015-10-12 05:13:00
我想您的函数和approxPi的停止规则是不同的。事实上，你的估计更好。如果您打印出当前的所有值，您将看到，当i= 50时，您的函数将产生所需的输出。但是，它超越了这一点，产生了一个更好的近似。
Stack Overflow用户
发布于 2015-10-12 05:54:12
因此，为了得到你正在寻找的答案，提出的问题在描述退出条件方面是错误的。
重新组织得到Pi = 4*(1/1 + 1/3 + 1/5 +.)，得到误差为0.01的3.1611986129870506，然后查看后面的项，并在术语< error时停止：
from itertools import count, cycle #, izip for Py2
def approxPi(error):
p = 0
for sign, d in zip(cycle([1,-1]), count(1, 2)): # izip for Py2
n = sign / d
p += n
if abs(n) < error:
break
return 4*p然后你得到正确的答案：
>>> approxPi(0.01)
3.1611986129870506
>>> approxPi(0.0000001)
3.1415928535897395使用您的代码(来自@PaulBoddington：Find the value of pi)
def pi(error):
prev = 0
current = 1
i = 1
while abs(current - prev) > error:
d = 2.0*i + 1
sign = (-1)**i
prev = current
current = current + sign / d
i += 1
return 4*current注意:这不是当前和以前和之间的区别，所以这个问题是错误的，但是它等于difference_between_sums < error*4。因此，要获得原始代码的正确出口，只需将错误乘以4，例如：
>>> pi(0.04)
3.1611986129870506https://stackoverflow.com/questions/33073467
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