问偏序集中的乘积和余积

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让我们先来看看产品的定义：

对象a和b的乘积是具有态射p :: c -> a和q :: c -> b存在的对象c，因此对于任何其他对象c' (具有态射p' :: c' -> a和q' :: c' -> b)，存在一个态射m :: c' -> c，使得p' = p . m和q' = q . m。

记住，偏序集中的态射基本上描述的是“小于或等于”的关系。

现在，两个对象之间的产品c ( a和b )必须是小于或等于a和b的对象。例如，让我们从图形中选择a作为e，选择b作为g：

    b   e -- this one is a
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g -- this one is b

简单地说，出现在脑海中的第一个对象--总是小于或等于任何其他对象--是最小的对象，在本例中是a。

现在，a是e和g产品的有效候选产品吗？让我们检查一下产品的定义：

是否有从a到e的态射？是的，这是存在的，可以写成pₐ = ce . ac (读为：“首先是从a到c的箭头，然后是从c到e的箭头”)。

有从a到g的病态吗？是的，这也存在，并且可以写成qₐ = cg . ac。

到目前为止，唯一的问题是，这是否是“最好的”候选，因为在没有其他对象存在的情况下，我们可以在a和另一个候选之间构造一个唯一的同构？

看一下图，我们可以看到对象c也满足了所需的条件，包括p = ce和q = cg。

剩下要做的就是按照上面的定义对这两个对象进行排序。我们发现从a到c都存在一个态射。这意味着c必须是最好的候选人，因为我们现在可以定义态射m = ac，例如pₐ = p . m = ce . ac和qₐ = q . m = cg . ac。

因此，偏序集中的两个对象的乘积实际上是最大的对象，它们都比两者都小(也称为最大下限)。值得注意的是，在总体排序中，这与函数min(a, b)相对应，因为每个对象都必须与任何其他对象关联(Wolfram称其为三分法)。

与产品定义类似，协积对应于大于或等于a和b的最小对象。在总的排序中，这对应于两个对象的最大值。你可以自己解决这个问题。