问最小变量和附加约束线性方程组

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我有一个线性方程组，我已经用Gauss消去法把它简化成一个列阶矩阵。我的系统有n个变量Xn (其中Xn在N0 (=正整数)中)有多个解，我想找出所有Xn的和是最小的解。

我怎么能这么做programmatically

例如，考虑这个线性方程组：

x1 +              + x5 + x6 = 2
     x2           + x5      = 1       
          x3           + x6 = 1
               x4 + x5 + x6 = 1

我想得到的最小解之一是：

x3 = x4 = x5 = 0
x1 = x2 = x6 = 1 

另一个会是

  x2 = x4 = x6 = 0
  x1 = x3 = x5 = 1

但我不想

 x1 = 2
 x2 = x3 = x4 = 1
 x5 = x6 = 0

这也是该系统的一个解决方案，但根据我的标准，即x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 =5，这不是最小的解决方案(而对于最初的两个解决方案，只有3)。

在多个最小解的情况下(如这里，解决方案1和2都是极小的)，只要它是最小解之一，我就不关心返回的最小解。