问维数约简中的距离保持

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混乱

混淆点可能是使用变量n来表示欧几里得距离的维数，后来又用它来表示点数。欧几里得距离最好写成

在原来的空间里，

在缩小的空间里。其中\boldsymbol{z}_a=(z_a^1,\cdots,z_a^k)是点\boldsymbol{x}_a=(x_a^1,\cdots,x_a^d)的W变换。编辑:在您的表示法中，Z[:, a]是X[:, a]的转换。

距离保持测度

定义了一种变换W的距离保持测度，将原空间中两点的距离与约化空间中相同两点的距离进行比较。

因此，可以将比较所有\binom{n}{2}成对距离的度量定义为：

对于常数k，较小的DP(W)意味着W更好地保存距离。

请注意，在此基础上可以定义各种距离保护措施。例如,

1. 将比较限制为原始空间中某个点的K最近邻，从而导致nK比较而不是\binom{n}{2}，或
2. 使用距离的Pearson相关性，而不是它们的差异，因为我们通常希望原始空间中的近(远)点也在缩小的空间中接近(远)，或者
3. 测量距离点的切线空间而不是点本身等。

我认为有一种比较远距离保留的更简单的方法：

1)如果您的原始数据很大，让我们假设从那里随机的N=10,000点。

2)对所有降维算法进行拟合，并对新采样的数据进行变换。

3)获取原始采样数据中各点之间的欧氏距离，然后在步骤2中获得其他新生成的转换数据格式。例如：

dist_orig = np.square(euclidean_distances(X_sampled, X_sampled)).flatten()
dist_pca = np.square(euclidean_distances(pca, pca)).flatten()
dist_tsne = np.square(euclidean_distances(tsne, tsne)).flatten()
dist_umap = np.square(euclidean_distances(umap, umap)).flatten()

4)运行spearman或其他相关度量，将原始采样欧氏空间与每一个约简空间进行比较。例如：

coef_pca, p_pca = spearmanr(dist_orig, dist_pca)
coef_tsne, p_tsne = spearmanr(dist_orig, dist_tsne)
coef_umap, p_umap = spearmanr(dist_orig, dist_umap)

5)看哪种方法具有最高的相关系数，从而保持了原始空间中各点之间的最佳距离。