问一个数是“按”素数的顺序是什么意思？

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你(稍微)误读了这些陈述。我检查了该文件中所有13个单词"order“的出现情况，只看到”典型“语句，例如：

设\mathbb{G}是质数阶q的一组

“秩序”指群论中的两件事之一：

1. 一个组的顺序就是它中元素的数量。所以一组质数阶q就是一个群\mathbb{G}，其中|\mathbb{G}| = q。
2. 组g\in\mathbb{G}元素的顺序是必须重复g的组操作多少次才能获得标识。对于一个额外编写的组来说，它是最小的n，例如ng = 0。对于一个以乘法方式书写的组，它是最小的n，例如g^n = 1。

它们(某种程度上)是由群论中的一个结果联系在一起的，这个理论说\forall g\in\mathbb{G}, g^{|\mathbb{G}|} = 1。因此，元素的顺序总是划分组的顺序。这是Fermat小定理和Euler定理的推广。

你正在读的这篇论文似乎只是用顺序来表示这两件事中的第一件事。注意，素数组是特殊的，因为它们总是循环群。循环群最基本的例子是\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}，实际上每个循环群都是同构于这种形式的一组。请注意，这种同构通常不能有效计算，这很好，因为离散对数问题在\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}中很容易解决。