问模phi(n)方程

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从你的方程式来看，我们可以写：\begin{eqnarray*} x+ a_1 &=& \frac{1}{y_1} \mod \phi(n) \x+ a_2 &=& {y_2} \mod \phi(n) \ \end{eqnarray*} \\end{eqnarray*} a_1 - a_2 &=& \frac{1}{y_1} - \frac{1}{y_2}mod \phi(n) \ \end{eqnarray*}，导致：\begin{eqnarray*} (a_1 - a_2) y_1 y_2 - y_2 + y_1 &=& 0 \mod \phi(n) \ \end{eqnarray*}

因此，我们可以计算$f = (a_1 - a_2) y_1 y_2 - y_2 + y_1$，上面的方程告诉你$f$是$\phi(n)$的倍数。在这一点上，您可以取一个相对于$f$素数的随机素数整数(取一个随机素数$e$，用$f$计算GCD；如果它与$$不同，则用一个新的随机素数重新开始)。这个值$e$将是“一个RSA公共指数”。然后可以计算$d = e^{-1} \bmod $，即相应的"RSA私有指数“。

给定一对公共/私有指数$(d，e)$，我们可以使用描述这里的方法(更正式的参考是Dan的20年来对RSA密码体制的攻击)考虑模数$n$。一旦考虑了$n$，就可以计算$phi(n)$，此时您可以恢复$x = y_1^{-1} - a_1 \bmod \phi(n)$。