问用复合场反演$GF(2^{10})$

EN

你知道如何反演复数吗？如果是，那么你也知道你的问题的答案：

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{z\cdot\bar{z}},

其中\bar{z}是z (如果z=x+y\cdot i与x, y\in\mathbb{R}，则\bar{z}=x-y\cdot i)和z\cdot\bar{z}=x^2+y^2\in\mathbb{R}的复共轭。

复共轭是阶2的场自同构，即它是由自身构成的恒等式(\bar{\bar{z}}=z)。对于字段，\mathbb{F}_{2^{10}}平方是10阶的字段自同构(称为Frobenius自同构)，称为z\in\mathbb{F}_{2^{10}}的z^{2^{10}} = z。所以，如果你取由\sigma ( Frobenius自同构的第5次方)定义的场自同构\mathbb{F}_{2^{10}}，你就会得到阶2的自同构，就像复数一样。实数的作用(在复共轭下固定)由场\mathbb{F}_{32} (其元素固定在\sigma下)起作用。

如果你知道一个不可约多项式f的度5超过\mathbb{F}_2，你可以用它来定义字段\mathbb{F}_{32}为\mathbb{F}_2[X]/(f(X))。若要获得\mathbb{F}_{2^{10}}作为\mathbb{F}_{32}上的度2的扩展字段，可以在\mathbb{F}_2上取不可约多项式g(T) = T^2+T+1，它在\mathbb{F}_{32}上保持不可约性，因为2不除以5 (\mathbb{F}_{32}没有顺序4的子字段，因为它的顺序32阻止它成为\mathbb{F}_4上的向量空间)：\mathbb{F}_{2^{10}} = \mathbb{F}_{32}[T]/(g[T])。

您可以将任何元素z\in\mathbb{F}_{2^{10}}编写为z = x+y\cdot T，其中T^2 = 1+T保存T\in\mathbb{F}_{2^{10}} (因为T是g的根)。现在

使用该z^{-1} = \frac{\sigma(z)}{z\cdot\sigma(z)} = \frac{\sigma(x+y\cdot T)}{(x+y\cdot T)\cdot\sigma(x+y\cdot T)} = \frac{x+y\cdot \sigma(T)}{(x+y\cdot T)\cdot(x+y\cdot\sigma(T)},的x,y\in\mathbb{F}是由\sigma修复的。由于T^4 = (T^2)^2 = (T+1)^2 = T^2 + 1 = T + 1 + 1 = T (T在4 of \mathbb{F}_{2^{10}}的子字段中)，我们得到\sigma(T) = ((T^4)^4)^2 = T^2 = T+1，因此

z^{-1} = \frac{x+y\cdot(T+1)}{(x+y\cdot T)\cdot(x+y\cdot(T+1))} = \frac{x+y\cdot(T+1)}{x^2 + x\cdot y\cdot (T+1) + y\cdot T\cdot x + y\cdot T\cdot y\cdot(T+1)} = \frac{x+y\cdot(T+1)}{x^2 + x\cdot y + y^2},使用T^2 + T = 1。

分母是\mathbb{F}_{32}的一个元素，它是非零的(您知道为什么吗？)，所以如果您知道如何反演\mathbb{F}_{32}的元素，就可以反转D55的元素。