问非均匀有理B样条(NURBS)基

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B样条和贝齐尔是大致相同事物的平行发明。贝齐尔试图从拟合切线的想法开始。B样条从基函数的概念开始。NURB样条(实际上是有理的部分)只是B样条的推广，所以你可以描述精确的二次曲线*，因为它们在工程上特别感兴趣。

首先，让我们从一个简单的NURB样条术语开始。这些曲线的基本原理与贝齐尔有一点不同。首先是跨度的概念。一个跨度大致相当于一个完整的Bezier样条，除非在nurbs中，你可以有任意数量的跨度。

图1:一个立方体NURBS跨度。这在配方上有点不典型。

每个跨度由曲线度+1个控制点**组成。每条曲线都可以由任意数量的点组成。每一个连续的跨度都重复使用前一个跨度中的点数，方法是删除一个点，在列表中多取一个点。因此，做更复杂的曲线就像在曲线上附加更多的点一样容易。

注意:图像曲线有点不典型的参数化，我将在下一节解释这意味着什么。当我带着结的概念。这只是一个更简单的方法来解释曲线如何粘合在一起。

图2: 2立方跨度后，每个跨度使用4点。它们合在一起形成一条曲线。他们彼此分享最多的观点。

到目前为止，我们可能已经回答了关于增加复杂性的第二个问题。但我想补充一点，这个方案比bezier曲线更能保证连续性。此外，还可以使形成船体的点阵循环。形成一个封闭的曲线。

图3:一个封闭的立方体NURBS曲面的跨度和它的点数一样多。每种颜色只有一个跨度。

Parametrization

直到这一点，人们可以说，串在一起的跨度是一个技巧，就像“缝纫”的贝塞尔曲线。但两者有区别。曲线沿其长度是参数化的。因此，曲线不是分开的，它们不像贝齐尔那样，在每个跨度上插值0到1。相反，底层曲线有一个可缓冲的参数范围。该参数存储在一个称为纽结的东西中，每个节点都可以在序列中具有任意的递增值。所以你可以参数化整个曲线u范围到0-1或0到12。参数化也不一定是一致的。

这种参数化改变了曲线的形状。这有什么用呢？你可以调整曲线上的张力。或者你可以将曲线的长度编码成U参数。一个特殊的用途是使NURBS曲线完全或部分地像Bezier曲线(例如，bezier曲线在末端，而不是在中间)。

图4:相同的点，不同的结序。绿色NURBS曲线对应于参数范围为0-2而不是0-1的Bezier曲线。

好的，结是什么？它们只是基函数的范围。4点三次B样条具有4个插值函数，需要8节。只有3个功能重叠的区域才能画出一条线。

图像5: 2个不同的基函数，一个贝塞尔样和一个统一的分段参数化，扩展到0-1范围.

现在我们已经描述了问题1的答案，范围没有定义，你可以根据你认为合适的范围来扩展基础函数。最后，节点向量简单地给出基函数的参数范围。还有一件事决定了曲线的形状，那就是权向量。但另一个故事要在其他地方讲述。

*这种理性在这种情况下意味着NURBS曲线不一定是多项式，因为你不能用多项式来描述一个圆。

**我们可以定义其他类型的点。