问哪些公钥密码体制不是基于数论的？

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是。到目前为止，使用麦克利希密码体制的二元Goppa码已经经受住了密码分析。它的硬度取决于解码。我要指出的是，某些类别的代码已被违反。

另一个常见的例子是默克尔背包密码系统。不幸的是它坏了。在背包问题的基础上，构造一个安全的密码系统是极有可能。我至少想提一下这方面的工作。

除了McEliece (迈克已经提到)，还有基于哈希的签名(如这一个)；这些签名算法仅基于哈希函数的一些安全假设(以及典型的哈希函数，尽可能远离数值理论问题)。

我目前正在研究“基于SAT的公钥密码方案” (PDF)，其中提出了一种基于布尔可满足性问题的公钥密码方案，该方案是NP-完全的。这看起来很有趣，而且作者还提供了GitHub上的一个实现。公钥是私钥满足的SAT公式。