为什么在matlab中sin(pi)不是精确的，而sin(pi/2)是精确的？
我在计算matlab时遇到了一个问题。我知道"pi“是一个浮点数，并不精确。所以，在matlab中，sin(pi)不完全是零。我的问题是，如果"pi“不精确，那么为什么sin(pi/2)恰好等于1。
由于pi的原因，sin(pi) -->不是完全正确的。但是sin(pi/2)恰好等于1
我既好奇又困惑！
回答 2
Stack Overflow用户
发布于 2016-07-22 16:13:20
我不知道Matlab计算sin(x)的确切方法--但是你可以通过使用幂级数来计算它来研究它。
sin x = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! ...将其转换为一些Matlab代码，我们通过以下方式表示它：
clc
x = pi; % or x = pi/2
res = x;
factor = -1;
for ii=3:2:19
res = res + factor*power(x,ii)/factorial(ii);
factor = factor*-1;
fprintf ( 'iteration %2i sin(x)=%1.16f\n', (ii-1)/2, res );
end
res在x=pi和x=pi/2上运行这段代码，你可以看到x=pi/2收敛到正确的结果(在每秒误差内)相当快(9次迭代)-而x=pi的情况不会在相同的时间范围内收敛。
值得注意的是，在9次迭代时，在阶乘(19)中计算的最后一个阶乘。在这个序列中要计算的下一个阶乘是21。这是最后一个阶乘，由于双精度，它可以100%准确地表示(参见help factorial)。
所以我认为，对于pi/2，数学解收敛到1，比pi的情况快两倍精度。事实上，由于数学上的限制和可以存储在双精度结果中的准确性，圆周率的情况不能完全收敛。
已经说过了，sin(pi)在eps中，所以您应该将这一事实用于您的目的。
我已经复制了下面得到的结果(R2015b)：
Results for PI/2
iteration 1 sin(x)=0.9248322292886504
iteration 2 sin(x)=1.0045248555348174
iteration 3 sin(x)=0.9998431013994987
iteration 4 sin(x)=1.0000035425842861
iteration 5 sin(x)=0.9999999437410510
iteration 6 sin(x)=1.0000000006627803
iteration 7 sin(x)=0.9999999999939768
iteration 8 sin(x)=1.0000000000000437
iteration 9 sin(x)=1.0000000000000000
Final Result: 1.0000000000000000
Results for PI
iteration 1 sin(x)=-2.0261201264601763
iteration 2 sin(x)=0.5240439134171688
iteration 3 sin(x)=-0.0752206159036231
iteration 4 sin(x)=0.0069252707075051
iteration 5 sin(x)=-0.0004451602382092
iteration 6 sin(x)=0.0000211425675584
iteration 7 sin(x)=-0.0000007727858894
iteration 8 sin(x)=0.0000000224195107
iteration 9 sin(x)=-0.0000000005289183
Final Result: -0.0000000005289183Stack Overflow用户
发布于 2016-07-22 18:35:52
原因是，与0相比，sin(pi)=0.0，所以每个小错误，无论多么小，都是巨大的，因此是可见的。
不同的是，对于sin(pi/2)=1：如果算法产生的误差小于eps (在2.220446e-16附近)，您将不会看到这个错误，因为1+eps=1。
误差部分是输入不精确(pi值不精确)的结果，部分是计算过程中舍入的结果。人们必须深入研究代码才能得到正确的结果。
另一个重要因素是函数本身。考虑误差传播，通过查看pi和pi/2的泰勒级数，我们可以看到：
sin(pi+dx)=sin(pi)+cos(pi)dx+o(dx^2)=-dx+o(dx^2)
sin(pi/2+dx)=sin(pi/2)+cos(pi/2)dx+o(dx^2)=1+o(dx^2)很明显:如果dx是关于eps的，那么由于输入不精确而导致的错误将是关于eps*eps的，因此与1相比是不可见的。
https://stackoverflow.com/questions/38518995
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