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大学生数学竞赛非数专题四(3)
专题四 多元函数积分学 (3) 4.3 三重积分的计算 4.8 (南京大学1993年竞赛题) 求 \displaystyle \underset{\Omega}{\iiint}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz ,其中 \Omega 是由曲面 z=\sqrt{x^2+y^2} , z=\sqrt{1-x^2-y^2} 所围成的立体 【解析】:可以利用球坐标或者柱坐标进行求解 【法一】:利用球坐标,令 x=r\sin\varphi\cos \theta , y=r\sin\varphi\sin\thet
用户9628320
2022-11-23
401
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大学生数学竞赛非数专题四(2)
专题四 多元积分学 (2) 4.2 交换二重积分的次序 4.5 (北京市1994年竞赛题) 设 f(x,y) 是定义在区域 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 上的二元函数, f(0,0)=0 ,且在 (0,0) 处 f(x,y) 可微,求极限 \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}} \dfrac{\displaystyle\int_{0}^{x^2}dt\int_{x}^{\sqrt{t}}f(t,u)du}{1-e^{-\frac{x^2}{4
用户9628320
2022-11-23
287
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大学生数学竞赛非数专题四(1)
专题四 多元函数积分学(1) 4.1 二重积分的计算 4.1 (浙江省2001年竞赛题) 计算 \displaystyle \underset{\sqrt{x}+\sqrt{y} \leq 1}{\iint}\sqrt[3]{\sqrt{x}+\sqrt{y}}dxdy . 【解析】:化为先对 y 后 x 的二次积分,有 \begin{align*}\displaystyle \underset{\sqrt{x}+\sqrt{y} \leq 1}{\iint}\sqrt[3]{\sqrt{x}+\sqrt
用户9628320
2022-11-23
403
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大学生数学竞赛非数专题三(7)
专题三 一元积分学 (7) 3.7 定积分不等式的证明 3.20 (浙江省2011年数学竞赛题) 设 f(x) 在 [0,1] 连续,且 -a \leq f(x) \leq b ,同时 \displaystyle \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx=ab ,证明: \displaystyle 0 \leq \frac{1}{b-a}\int_{0}^{1}f(x)dx \leq \frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2 【解析】:由 -a \leq f
用户9628320
2022-11-23
350
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大学生数学竞赛非数专题三(6)
专题三 一元积分学 (6) 3.6 定积分的计算 3.17(江苏省2008年竞赛题) 求 \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cos^{2}xdx 【解析】:利用降幂公式以及倍角公式,有 \begin{align*}\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cos^{2}xdx&=\dfrac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin2x)^{2}\frac{1+\c
用户9628320
2022-11-23
407
0
大学生数学竞赛非数专题三(5)
专题三 一元积分学 (5) 3.5 变限积分的应用 知识点:变限积分的几个公式 3.14 (南京大学1995年竞赛题) 求 \displaystyle\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt{x}\int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}} . 解:根据积分的放缩,有 \displaystyle\int_{x}^{x+1}\dfrac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}}\leq \int_{x}^{x+1}\df
用户9628320
2022-11-23
382
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大学生数学竞赛非数专题三(4)
今天的题目就到这里了,这两题综合利用了极限的定义,以及积分中值定理,另外还有放缩法,综合性强,大家好好体验,有问题留言,谢谢大家的支持。
用户9628320
2022-11-23
297
0
大学生数学竞赛非数专题三(3)
专题三 一元积分学 (3) 3.3 利用定积分的定义求极限 3.9 (莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题) 求 \displaystyle\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\left[\frac{2^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\dotsb+\frac{2^\frac{n}{n}}{n+\frac{1}{n}}\right] 解:首先令 \displaystyle
用户9628320
2022-11-23
398
0
大学生数学竞赛非数专题三(2)
今天的题目就到这里了,主要就是积分基本方法的应用,注意常见函数的不定积分,其次注意分部积分的基本规则,反复凑微分,换元,将复杂的积分简单化,一步一步求解,求出结果,加以简化。有问题留言。
用户9628320
2022-11-23
505
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大学生数学竞赛非数专题二(8)
今天题目就到这里了,主要就是运用单调性证明问题,当一次求导不确定时,反复求导可以解决一些问题,其次也要注意中值定理的应用。有问题的欢迎留言。
用户9628320
2022-11-23
237
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大学生数学竞赛非数专题三(1)
今天的题目就到这里了,感谢大家的关注,主要就是换元求原函数的思想,其次注意函数的连续性,都是基本操作,大家可以多看两遍,熟悉一下基本的操作,熟能生巧,希望大家每天都有一份收获。有问题留言。
用户9628320
2022-11-23
311
0
大学生数学竞赛非数专题二(7)
1单调性 2极值 3最值 4凹凸性、拐点 5作函数图像 6渐近线:水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线
用户9628320
2022-11-23
358
0
大学生数学竞赛非数专题二(6)
好了,题目就到这里了,注意洛必达应用的条件,以及e的重要极限,注意积累。有问题留言.
用户9628320
2022-11-23
289
0
大学生数学竞赛非数专题二(5)
今天的题目就到这里了,这几个题目利用麦克劳林公式以及泰勒展开,综合运用,大家自己好好体验。有问题留言!
用户9628320
2022-11-23
344
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大学生数学竞赛非数专题二(4)
今天的题目就到这里了,主要就是中值定理构造函数进行条件计算的问题,注意构造函数的用法,还有函数的连续性的性质,注意最大值以及最小值。其次就是介值定理的应用。谢谢大家的支持。
用户9628320
2022-11-23
439
0
大学生数学竞赛非数专题二(3)
今天的题目就到这里了,主要就是莱布尼茨公式的应用,注意两个函数的设法,一般利用函数点的值以及高阶导数区分;另外一个就是常见导数的公式,还有一个求参数方程的二阶导数公式,其他的二阶导数看是否连续,按照导数的定义做可以了。有问题留言!
用户9628320
2022-11-23
484
0
大学生数学竞赛非数专题二(2)
好了,今天的题目就到这里了,最近,个人认证通过了。第一题利用了二项式的展开式定理,后面主要是凑要求的式子,综合利用变形求得,最后直接变形就可以得出结果。(注意二项式定理的逆用)。第二题主要考察函数求导,注意乘法的公式的应用,再利用导数存在的必要条件,求出单个函数在某点左右(该点导数不存在)的导数值,最后带入即可。第三题是考察参数式的导数问题,首先求导数,先变为直角坐标,然后进行求导,注意切线垂直的应用,带入检验即可。有问题留言,谢谢大家的支持!
用户9628320
2022-11-23
482
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大学生数学竞赛非数专题二(1)
今天的题目都比较有趣,都是一些常见的套路,证明可导一般要用到连续,而证明导数的存在更重要的是解决左右导数的问题,同时对于极限的求法又是一个关键点。大家可以仔细看看,有问题留言!谢谢
用户9628320
2022-11-23
343
0
大学生数学竞赛非数专题一(8)
今天的题目就到这里了,关于介值定理以及零点定理都是常见的套路,一般证明唯一的话,再加上一个单调性就可以,其次证明极限用夹逼准则,注意放缩法的应用,注意左右夹逼的同一性,这个要进行练习。其次还有极限的求法,列方程求解。单调有界准则重要证明的是单调和有界,单调一般时采用函数或者作差或者相除,再利用常见的不等式进行放缩,有界可以利用假设归纳法或者函数法,求它的值的范围。
用户9628320
2022-11-23
325
0
大学生数学竞赛非数专题一(7)
定理2:初等函数在有定义的区间均是连续的 补充一下:闭区间连续函数的几个性质
用户9628320
2022-11-23
316
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