2022-07-31：给出一个有n个点，m条有向边的图， 你可以施展魔法，把有向边，变成无向边， 比如A到B的有向边，权重为7。施展魔法之后，A和B通过该边到达彼此的代价都是7。...求，允许施展一次魔法的情况下，1到n的最短路，如果不能到达，输出-1。 n为点数, 每条边用(a,b,v)表示，含义是a到b的这条边，权值为v。...点的数量 <= 10^5，边的数量 <= 2 * 10^5，1 <= 边的权值 <= 10^6。 来自网易。 答案2022-07-31： 单元路径最短算法。dijkstra算法。 点扩充，边扩充。...("测试结束"); } // 为了测试 // 相对暴力的解 // 尝试每条有向边，都变一次无向边，然后跑一次dijkstra算法 // 那么其中一定有最好的答案 fn min1(n: i32, roads...("-----------") break } } fmt.Println("测试结束") } // 为了测试 // 相对暴力的解 // 尝试每条有向边，都变一次无向边，然后跑一次dijkstra
2022-11-07：给你一个 n 个节点的 有向图 ，节点编号为 0 到 n - 1 ，其中每个节点 至多 有一条出边。...图用一个大小为 n 下标从 0 开始的数组 edges 表示，节点 i 到节点 edgesi 之间有一条有向边。如果节点 i 没有出边，那么 edgesi == -1 。...请你返回图中的 最长 环，如果没有任何环，请返回 -1 。输入：edges = 3,3,4,2,3。输出：3。答案2022-11-07：一个环指的是起点和终点是 同一个 节点的路径。用强联通分量。...[3, 3, 4, 2, 3]; let ans = Solution::longest_cycle(edges); println!...[2, -1, 3, 1]; let ans = Solution::longest_cycle(edges); println!
使用DFS对图进行遍历时，对于每条边(u,v)，当该边第一次被发现时，根据到达节点 v 的颜色来对边进行分类(正向边和交叉边不做细分)： (1)白色表示该边是一条树边； (2)灰色表示该边是一条反向边；...(3)黑色表示该边是一条正向边或者交叉边。...最常见的作用的是判断一个有向图是否存在环，如果对有向图进行DFS遍历发现了反向边，那么一定存在环，反之没有环。此外，对于无向图，如果对它进行DFS遍历，肯定不会出现正向边或者交叉边。...X 内部有一条边指向另一个强连通分支 Y，那么强连通分支 Y 内部肯定不存在一条边指向另一个强连通分支 Y，否则它们能够整合在一起形成一个新的更大气的强连通分支！...这也就是说强连通分支图肯定是一个有向无环图！
那么Gpi是一棵广度优先树，且| Epi | = | Vpi | – 1 定理： 假设DFS应用于一个有向图或无向图，该过程同一时候建立的pi域满足条件：其前驱子图 Gpi = {Vpi， Epi}是一棵广度优先树...5、 边的分类：依据DFS产生的深度优先森林，能够将边分成四类——树边，正向边，反向边。交叉边。 6、 深度优先搜索的发现和完毕时间具有括号性质。...则边(u,v)就是正向边，反之就是交叉边。 9、 以上分类对于无向图来说。可能会有歧义。 在对无向图G进行深度优先搜索的过程中，G的每条边要么是树边，要么是反向边。...一个有向图的极大强连通子图称为其强连通分枝。 2、 非常多有关有向图的算法都从分解步骤開始，这样的分解可把原始的问题分成数个子问题。当中每一个子子问题相应 一个强连通分支。...从还有一方面看，收缩那些其关联顶点都处于G的同一强连通分支内的边，就可以得到图Gscc。 5、 引理：设C和C′是有向图G = (V, E)中的两个不同的强连通分支。
（通过循环实现） 以有向图为例 假设按照字母的顺序来遍历所有的顶点，即V=[a,b,c,d,e,f]，原始的图为 第一步探索a到b的边，发现b还有边，一直往下走，直到d为止，d没有往下走的边，第一个DFS-Visit...连接u到它的祖先顶点v的边，比如图中的(d,b) 交叉边。生成的树中，两个顶点不存在父子关系。...图G存在环，当且仅当图中存在一条反边。证明如下： 存在环，证明有反边。...首先s到t必然存在树边，然后t到s是一条反边，那必然成环 2....Job调度 Job本身是个无环的有向图，各个顶点之间必定存在着一定的顺序，执行的时候等前面的执行完才能再执行排在后面的 它使用的算法称作拓扑排序，拓扑排序内部使用的就是DFS，输出为完成时的顶点的逆序
路径长度：一条路径上经过的边的数量。 环：某条路径包含相同的顶点两次或两次以上。 有向无环图：没有环的有向图，简称DAG。...连通网：带权值的连通图叫做连通网。 生成树：将图中所有顶点以最少的边连通的子图。生成树包含全部n个顶点，有且仅有n-1条边，在添加边则必定成环。...树与图的关系：树的定义：有且只有一个结点的入度为0，其他节点的入度为1。树是一个无向连通图，其中任何两个顶点只通过一条路径连接。 换句话说，一个任何没有简单环路的连通图都是一棵树。 ?...冗余连接 题目描述（力扣684）： 在本问题中, 树指的是一个连通且无环的无向图。 输入一个图，该图由一个有着N个节点 (节点值不重复1, 2, …, N) 的树及一条附加的边构成。...返回一条可以删去的边，使得结果图是一个有着N个节点的树。如果有多个答案，则返回二维数组中最后出现的边。答案边 [u, v] 应满足相同的格式 u < v。
含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称为该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条有向边。...如果一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，则此图必是非连通图。 强连通图、强连通分量：在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。...若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对于生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会变成一个回路。在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。...深度优先生成树 image.png 对于连通图调用DFS才可以产生深度优先生成树（有向图&无向图），否则产生的将是深度优先生成森林。和BFS类似，基于邻接表存储产生的深度优先生成树是不唯一的。...这意味着对于生成树来说，若砍去它的一条边，就会使生成树变成非连通图若给它增加一条边，就会形成图中的一条回路。 假设G=(V， E)是一个带权连通无向图，U是顶点集V的一个空子集。
强连通是有向图的特定概念。有向图中，任意两点之间都可以连通，则认定此有向图为强连通图，如下图。 连通分量用来记录连通通道的数量，有向图中的连通分量指强连通分量。...如上图，有一个强连通分量，也称此图为强连通性有向图。 如下图所示有向图结构，有向图本身不具有强连通性，但存在子图具有强连通性，则称子图即为原图的强连通分量。 当然，具有强连通性的子图可能不只一个。...如公共祖先、割点、割边……当然还有本文的强连通分量的求解。 理解Tarjan算法求解强连通分量的工作机制之前，先搞明白有向图的 DFS 生成树中的 4 种边。...按深度搜索路线，一路下去，后面应该是2、5、4。下图给出了当搜索到4号节点时，每一个节点的时间戳和回溯值以及栈中的状态。此时栈中由栈底到栈顶存储着一条DFS搜索树：1->2->5->4。...回溯到1号节点后，会开始第二条分支，在再次搜索到4号节点时，同样会发现4号节点也被访问。难道说4号节点和1号节点在同一个强连通分量上吗？4->2是回边，而1->4是横叉边。
这种叫做无向图，里面的边叫做无向边。 图有各种形状和大小。边可以有权重（weight），即每一条边会被分配一个正数或者负数值。考虑一个代表航线的图。各个城市就是顶点，航线就是边。...目前讨论的都是简单图。在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。...在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n* (n-1) 条边。...所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图， 它含有图中全部的n 个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。...从这里也可知道，如果一个图有n 个顶点和小子n-1条边，则是非连通图，如果多于n-1 边条，必定构成一个环， 因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。
在上一篇博客判断有向图是否有圈中从递归的角度简单感性的介绍了如何修改深度优先搜索来判断一个有向图是否有圈。...下面是一个无向图和它对应的深度优先生成树： ? ? 不难发现，该树的先序遍历过程就是DFS过程，利用该树我们可以更好的理解DFS。...有向图的深度优先生成树 我们知道有向图同样可以和无向图一样进行深度优先搜索。...比如上图第一种情况parent[3] = 1，故边(3, 1)为回退边，而第3种情况节点3无父节点，故为横边。 到此我们就知道了如下法则：一个有向图是无圈图当且仅当它没有回退边。...查找强连通分量(SCC: Strong Connected Components) 有向图的深度优先生成树除了可以用于判断有向图是否有边，还可以用来查找强连通分量。
通俗点说，就是一个图G最少要去掉多少个点会变成非连通图或者平凡图。当然对于一个完全图来说Kn来说，它的连通度就是n-1。...因为无向图DFS搜索树中不存在横叉边，所以若有多个子树，这些子树间不会有边相连。 (2)u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边 （即 为 在搜索树中的父亲），并使得 DFN(u)<=Low(v)....（因为删去 后 以及 的子树不能到达 的其他子树以及祖先）。 实现时，因为有重边的问题，所以需要将一条无向边拆为两条编号一样的有向边，用邻 接表进行存储。...（一定注意考虑重边的可能性） 一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？ 方法为首先求出所有的桥，然 后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。...一条无向边(u,v)是桥,当且仅当(u,v)为树枝边,且满足DFS(u) < Low(v)。
本章节开始的所有图和树，如果没有额外声明，都是采用邻接表存储的，点的下标为 1 \sim n ，无向边存储以两条有向边等价存储 树与图的深度优先遍历 树的深度优先遍历 深度优先遍历，就是在每个点...，我们可以统计许多关于树和图的信息 图的连通块划分 树的深度优先遍历，每从 x 开始一次遍历，就会访问 x 能够到达的所有点和边 因此通过多次深度优先遍历，可以划分出一张无向图中的各个连通分块...，为 O(N + M) 拓扑排序 给定一个有向无环图DAG，若一个图中所有点构成的序列 A 满足：对于图中的每条边 (x,y) ， x 在 A 中都出现在 y 之前，则称 A 是该有向无环图顶点的一个...x,y) ，把 deg[y] 减 1 ，若被减为 0 ，则把 y 入队 重复第 3 ~ 4 步，直到队列为空，此时 A 即为所求 拓扑排序可以检测 “一个有向图是否有环”：对任意有向图执行上述拓扑排序...0; } 习题 可达性统计 题目描述 给定一张 N 个点 M 条边的有向无环图，分别统计从每个点出发能够到达的点的数量。
欢迎 点赞✍评论⭐收藏前言数据结构是计算机科学中的一个重要概念，它描述了数据之间的组织方式和关系，以及对这些数据的访问和操作。常见的数据结构有：数组、链表、栈、队列、哈希表、树、堆和图。...树（Tree）：是一种非线性数据结构，它由一系列的节点组成，每个节点可以有若干个子节点。树的特点是可以动态地插入或删除节点，常见的树结构包括二叉树、平衡树和搜索树等。...无向图：每个节点之间的边没有方向，可以双向通行。例如，A节点和B节点之间存在一条边，即A->B和B->A都可以。有向图：每个节点之间的边有方向，只能单向通行。...具体地，数组中每个元素的值为1表示存在边；为0表示不存在边。当图是有向图时，邻接矩阵是一个方阵，且只需要考虑一条边的方向。...通过分析这个图，可以分析出用户之间的关系、社交影响力等信息。地图导航：地图导航也是一个图结构，每个道路交叉口就是一个节点，道路就是边。通过分析这个图，可以找出最优的路线。
完全图 无向完全图中，节点两两之间都有连线，n个结点的连线数为(n-1)+(n-2)+...+1=n(n-1)/2；有向完全图中，节点两两之间都有互通的两个箭头，...接下来，从队列中取出一个节点并访问它的所有邻接节点，将它们入队列。重复这个过程，直到队列为空。DFS和BFS都可以用来遍历无向图和有向图。...它们之间的主要区别在于访问节点的顺序不同，DFS优先访问深度较大的节点，而BFS优先访问离起始节点近的节点。4.图的最小生成树最小生成树是一个连通无向图的生成树中，边的权值和最小的生成树。...普里姆算法：选择一个起始顶点，将起始顶点标记为已访问；在已访问的顶点集合中，选择一条与未访问顶点相连的最小权值边，并将该边的另外一个顶点标记为已访问；重复步骤2，直到所有顶点都标记为已访问，最小生成树构建完成...如果属于不同的连通分量，则将该边加入最小生成树，否则舍弃该边；重复步骤2，直到最小生成树的边数等于图的顶点数减一。
无向完全图： 有向完全图： 含有n个顶点的无向完全图有多少条边？ n×(n-1)/2条边 含有n个顶点的有向完全图有多少条弧？...有8个结点的无向图最多有 条边。...有8个结点的无向连通图最少有 条边。...有8个结点的有向完全图有 条边。...如果n个顶点的图是一个环，则它有 n 棵生成树。 （以任意一顶点为起点，得到n-1条边） 4. n个顶点e条边的图，若采用邻接矩阵存储，则空间复杂度为 O(n2) 。 5.
弧：若E 是有方向的,则称 为顶点 v 和顶点 w 之间存在一条有向边，也称为弧。 无向图：由顶点集和边集构成的图。...、 完全图 - 顶点：n，边：e - 无向完全图：含有 e=n(n-1)/2 条边的无向图 - 有向完全图：含有 e=n(n-1) 条弧的有向图 [在这里插入图片描述] 稀疏图：e<nlogn 稠密图...- 有向图 - 强连通图：任意两个顶点之间都存在一条有向路径 - 强连通分量：极大强连通子图 [在这里插入图片描述] 极小连通子图： 该子图是G 的连通子图，在该子图中删除任何一条边，子图不再连通...（n个顶点，n-1条边） 生成树：包含无向图G 所有顶点的极小连通子图。 生成森林：对非连通图，由各个连通分量的生成树的集合。...] 无向图的邻接表 同一个顶点发出的边链接在同一个边链表中，每一个链结点代表一条边(边结点）。
总第120篇 前言 图是不同于前面两种数据结构的另一种新的数据结构，线性表中元素与元素之间是被串起来的，每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继，是一种一对一的数据结构；在树的结构中，数据元素之间有明显的层次关系...有向图和无向图：根据用来链接两个顶点之间的边是否有方向（箭头指向）分为有向图和无向图。...有向完全图和无向完全图：若有向图中有n个顶点，则最多有n(n-1)条边（图中任意两个顶点都有两条边相连，且顶点A-B与顶点B-A是两条边），将具有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图。...若无向图中有n个顶点，则最多有n(n-1)/2条边（任意两个顶点之间都有一条边，且顶点A-B与顶点B-A是同一条边），将具有n(n-1)/2条边的无向图称为无向完全图。...回路：若一条路径的第一个顶点和最后一个顶点相同，则这条路径是一条回路。 权和网：图中每条边都可以附带一个对应的数，这种与边相关的数称为权，权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或者花费的代价。
所以图的分类可以分为四种: 无向无权图 有向无权图 无向有权图 有向有权图 对于图的算法有一些只适合于某一类图，比如最小生成树算法只适用于有权图，拓扑排序算法只适用于有向图，最短路径算法虽然适用于所有类型的图...虽然树是一种无环图，但一个无环图不一定是树。 ? 由上图可知，它是一个有2个联通分量的图，但可以肯定的是1个联通的无环图是树。 ?...但在一个有向图中，一个顶点的度的概念不同。所以我们可以看到下图中0这个顶点有两个邻边0-1、0-3，所以0这个顶点的度就是2. 无权无向图的邻接矩阵 ? ?...但是一个有环图并不一定是一个稠密图。假如一个有环无向图有3000个顶点，每个顶点的度为3，那么这个图有3000 * 3 / 2 = 4500条边。...那这个图最多可以有3000 * 2999 / 2 = 4498500条边，它表示每一个顶点都跟剩下的2999个顶点相连，所以每一个顶点的度为2999。
YbtOJ 884「线性基」连通的图 题目链接：YbtOJ #884 小 A 有一张 n 个点，n+k-1 条边的无向连通图。...他想知道有多少种方案删去图中若干条边（包括一条边都不删），满足剩下的图依然连通。 由于方案数可能很大，你只需输出答案对 998244353 取模的结果。...1\le n\le 10^5，1\le k\le10 Solution 比较神奇的题。 任意找出一棵生成树，给每条非树边设置一个单独的权值 2^i。...对所有树边，规定它的权值为所有覆盖它的非树边的权值异或和。要实现这一过程，只需利用树上差分给每条非树边覆盖的树边打上异或标记，最后 dfs 遍历一遍做个子树异或和即可求出所有树边的权值。...（不能说明线性基内若干数异或和与它相同，则异或上它之后就得到了 0） 现在我们求出了每条边的权值，由于这里同种权值的边并没有区分，且不可能同时加入（显然两个相同权值异或为 0），我们可以直接用桶存下每种权值的边数
若图G中的每一条边都有方向，则称G为有向图。 图的常见术语 顶点的度 依附于某顶点v的边数称为该顶点的度，记作TD(v)。 有向图中还有入度和出度的概念。...就是顶点之间的连线。 路径上所包含的边数m-1为该路径的长度。如图中V1到V3之间的路径长度为2。 有向图的路径是有向的，其中每一条边均为有向边。 带权图的路径长度为所有边上的权值之和。...若有向图中任意两点之间都是连通的，则称该有向图是强连通的。 有向图中最大连通子图被称为有向图的强连通分量。强连通的有向图只有一个强连通分量，就是它本身。...生成树 若图G为包含n个顶点的连通图，则G中包含其全部n个顶点的一个极小连通子图被称为G的生成树。 G的生成树一定包含且仅包含G的n-1条边。 左图为图G，右图为G的生成树。...有了邻接矩阵我们就可以对数组vertex中的顶点元素进行操作。 如果通过邻接矩阵表示具有n个顶点的图，则需要占用n×n个存储单元保存顶点之间边的信息，所以空间复杂度为 O(n^2) 。
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