2 的幂，以省去一些边界处理代码。...有很多方法，比如说高中学过的「特征方程」，或者算法分析常用的「主定理」等等，对于这个问题很容易解，这里就直接写答案了： 可见分治法解决这个问题的比较次数基本上是1.5n，比一开始的算法最坏情况下2n的比较次数要好一些...对于第一个求最大值和最小值的问题的分治算法和这道题基本一样，只是最后合并子问题答案的部分不同，而且更简单，读者可以尝试写一下第一题的分治解法。...如果可以利用分治解决问题，复杂度一般可以优化，比如以上两个问题，分治法复杂度都是1.5n，比一般解法要好。 其次，对于同时求最大值最小值的那个问题，怎么想到一次前进 2 步的呢？...本文终，用归纳思想解决很多问题都是十分有效且有趣的，大家有兴趣的话我可以考虑总结一些关于归纳思想解决的问题，尝试用新的思维方式理解算法。
2、蛮力法的优缺点 优点 逻辑清晰，编写程序简洁。 可以用来解决广域领域的问题。 对于一些重要的问题，它可以产生一些合理的算法。 可以解决一些小规模的问题。 可以作为其他高效算法的衡量标准。...3、蛮力法设计算法分为两类 一类是采用基本穷举思路，另一类是在穷举中应用递归。...maxSum = thisSum; } return maxSum; } 用蛮力法求解幂集问题的时间复杂度为 用蛮力法求解全排列的时间复杂度为 6、简要比较蛮力法和分治法 蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法...分治法采用分而治之思路，把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题 分成更小的子问题直到问题解决。分治法在求解问题时，通常性能比蛮力法好。...7、采用蛮力法求解时在什么情况下使用递归 幂集和全排列问题时候可以使用 结语 第四章蛮力法结束，下一章——第五章回溯法
我们来看看机器是怎么计算这段递归的，我们就以f(5)的计算为例子： 展开就是这么一个样子，树中的每个节点都在计算过程中出现，树的规模是指数级(f(6)比f(5)多了6个节点)，也就是运算时间是指数级...这个迭代的算法稍有算法功底的人就可以看的出来这是一个线性时间复杂度的算法。但是，我们之所以说是线性时间复杂度是建立在里面的所有加法、比较、赋值操作都是常数级时间。 ...关于求整数次幂显然有快速的算法，乘法的次数为对数级，这个我在之前好几篇博文里都有说到过，可以认为这个是基本算法。 an是n个a相乘，平凡的算法下我们要计算n-1个乘法。 ...例如我们要算a57， 57用二进制表示为111001，也就是 57=1+8+16+32 所以a57=a×a8×a16×a32 以上的分析表明，快速的求幂算法是存在的。...，那么我们就有理由怀疑斐波那契数列求项也存在快速算法。
但是既然说到幂运算了，不妨顺带说一下如何高效计算幂运算吧。 如何高效求幂 快速求幂的算法不止一个，就说一个我们应该掌握的基本思路吧。...利用幂运算的性质，我们可以写出这样一个递归式： 这个思想肯定比直接用 for 循环求幂要高效，因为有机会直接把问题规模（b的大小）直接减小一半，该算法的复杂度肯定是 log 级了。...，如果改写成迭代写法，那就是大名鼎鼎的快速幂算法。...至于如何改成迭代，很巧妙，这里推荐一位大佬的文章 让技术一瓜共食：快速幂算法。...至此，Super Pow 就算完全解决了，包括了递归思想以及处理模运算、幂运算的技巧，可以说这个题目还是挺有意思的，你有什么有趣的题目，可以留言分享一下。
但是既然说到幂运算了，不妨顺带说一下如何高效计算幂运算吧。 如何高效求幂 快速求幂的算法不止一个，就说一个我们应该掌握的基本思路吧。利用幂运算的性质，我们可以写出这样一个递归式： ?...这个思想肯定比直接用 for 循环求幂要高效，因为有机会直接把问题规模（b的大小）直接减小一半，该算法的复杂度肯定是 log 级了。...，如果改写成迭代写法，那就是大名鼎鼎的快速幂算法。...至于如何改成迭代，很巧妙，这里推荐一位大佬的文章 让技术一瓜共食：快速幂算法。...至此，Super Pow 就算完全解决了，包括了递归思想以及处理模运算、幂运算的技巧，可以说这个题目还是挺有意思的，你有什么有趣的题目，可以留言分享一下。
前言 大家好，我是bigsai，之前有个小老弟问到一个剑指offer一道相关快速幂的题，这里梳理一下讲一下快速幂！ 快速幂是什么？ 顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。...你可能疑问，求n次幂算n次叠乘不就行了？当n巨大无比时候，如果需要末尾有效尾数值等信息这个可能超出计算机运算范围。 有多快？...快速幂属于数论的范畴，本是ACM经典算法，但现在各厂对算法的要求越来越高，并且快速幂适用场景也比较低多并且相比朴素方法有了非常大的提高，所以掌握快速幂算法已经是一名更合格的工程师必备要求！...快速幂实现 至于快速幂已经懂了，我们该怎么实现这个算法呢？ ? 说的不错，确实有递归和非递归的实现方式，但是递归使用的更多一些。...，这样一直迭代到f(2),f(1)刚好都为1，所以这个斐波那契的计算为： ?
请注意，当且仅当 P(n, n) = 0 时，P(n) 才能被 n 整除 暴力破解（Brute-force） 第一个想法是采用上面的公式，并直接使用递归算法来实现它们。...快速求幂算法（Fast Exponentiation Algorithm） 线性时间复杂度是否就是目前的极限呢，看起来要计算第n项我们必须要知道第n-2项，以此类推还需要知道第n-4项等等，线性时间看起来已经是最优的了...，但实际上我们可以在O(logn)时间内实现计算过程，这需要采用分而治之的思想 回想如何将矩阵乘以向量，我们看到对于任何值 n ≥ 3，我们可以写出以下线性代数方程，它表示最后一个算法的一次迭代 \begin...}P(n) \P(n-1) \P(n-2) \\end{pmatrix} 所以现在，为了计算第 n 个 Perrin 数，我们只需要将 3 × 3 矩阵求幂 而在求幂的计算过程中，我们也可以进行简化，例如我们要求偶数次幂...M^{16}，其本质上就是求(((M^2)^2)^2)^2，这样我们就把需要进行n次的计算过程简化为了logn，对于奇数次幂，其处理也非常简单，我们只需要利用递归的方式对其进行归纳 很容易证明 FastExp
快速幂算法详解 前言 首先考虑这么一个问题 图片 对于这个问题，只要写一个简单的循环就能够搞定 // 普通求幂 long long QuickPow(long long a, long long b,...快速幂算法 快速幂，就是用效率更高（时间复杂度更低）的方法求幂，可以将时间复杂度优化至 O(logn) 递归快速幂 快速幂算法的关键在于对指数 b 的处理，我们很容易得到如下事实： 图片 根据上面的方程...，很容易通过二分的思想得到快速幂算法的递归版本 // 快速幂，递归写法 long long QuickPow(long long a, long long b, long long m) { if...为偶数，转化为 b / 2 long long mul = QuickPow(a, b / 2, m); return mul * mul % m; } } 迭代快速幂...下面说明一下快速幂的迭代写法 图片 举例如下 图片 具体代码实现如下： // 快速幂，迭代写法 long long QuickPow(long long a, long long b, long
将A位右移一个位，将B位左移一个位 重复步骤2，3直到A变成0，此时ret保存的即为A*B的结果 算法的c语言递归描述如下: int multiply(int A, int B) { if(A...大数相乘取模 现有三个大数A,B和m，求(A*B)\ mod\ m 如果我们直接使用乘法运算符将数字相乘后再取模则肯定会数据溢出，如求 314882150829468584 和 427197303358170108...相乘后对 2009731336725594113 取模的结果 这时可用大数相乘取模算法计算 原理: 图片 算法的c语言描述如下: typedef long long ll; ll f(ll a,ll...,B=2>>1=1 B的最后一位是1，则ret=ret*A=32,A=16*16=256,B=1>>1=0 B=0，跳出循环 上述过程即为 红色为每一次迭代ret的值,蓝色是每一次迭代A的值 或者再来一个例...快速幂取模 现有三个大数A和B，m，求(A^B)\ mod\ m 针对大数，若直接使用幂运算符计算再取模则很可能会数据溢出 原理: 这篇关于快速幂取模的原理推理写的很好 算法的c语言描述如下: typedef
快速幂属于数论的范畴，本是ACM经典算法，但现在各厂对算法的要求越来越高，并且快速幂适用场景也比较多并且相比朴素方法有了非常大的提高。所以掌握快速幂算法已经是一名更合格的工程师必备要求！...说的不错，确实有递归和非递归的实现方式，但是递归使用的更多一些。...如果还是不懂，可以用这个图来解释一下： ? 矩阵快速幂 你以为这就结束了？虽然快速幂主要内容就是以上内容，但是总有很多牛人能够发现很有趣的规律—矩阵快速幂。如果你没听过的话建议仔细看看了解一下。...，这样一直迭代到f(2),f(1)刚好都为1，所以这个斐波那契的计算为： ?...而这个矩阵有很多次幂，就可以使用快速幂啦，原理一致，你只需要写一个矩阵乘法就可以啦,下面提供一个矩阵快速幂求斐波那契第n项的后三位数的模板，可以拿这个去试一试poj3070的题目啦。
如此高的时间复杂度，我们定然是不会满意的，该算法有巨大的改进空间。我们是否可以在某种意义下对这个递归过程进行改进，来优化这个时间复杂度。...为消除递归算法中重复的递归实例，在各子问题求解之后，及时记录下其对应的解答。...比如可以从原问题出发自顶向下，每当遇到一个子问题，都首先查验它是否已经计算过，以此通过直接调阅纪录获得解答，从而避免重新计算。也可以从递归基出发，自底而上递推的得出各子问题的解，直至最终原问题的解。...是的，解决此类问题的最有效方法之一，就是将其分解为若干规模更小的子问题，再通过递归机制分别求解。这种分解持续进行，直到子问题规模缩减至平凡情况，这也就是所谓的分而治之策略。...，按照上面的思路，仍采用分而治之的模式进行求解。
首先来说说我们熟悉的 快速排序，这可是排序算法中的“高效率代表”，它的优势在于平均时间复杂度是 O(n log n)，比冒泡排序的 O(n^2)快得多。它的核心思想可以总结成一句话：分而治之。...当然不是，下面我就给你展示一下它的简洁代码。...其实，快速排序的精髓就在于递归地处理问题。每次选择一个基准元素，将数组分为左右两部分，然后通过递归对左右两部分继续排序。你可以看到，整个排序过程是通过“分而治之”的方式来高效进行的。...当我们分析快速排序和二分查找时，会发现它们的核心思想其实都非常简洁：分而治之和不断折半。这些思想并不复杂，但却能够帮助我们在处理大数据时提高算法的效率。...当你面对一个问题时，首先不要急着写出冗长复杂的代码，而是要先思考：这个问题是否可以通过“分而治之”或者“折半”这样的思路来解决？
关于递归算法 在日常开发中，我们使用循环语句远远大于递归，但这不能说明递归就没有用武之地，实际上递归算法的解决问题的步骤更符合人类解决问题的思路，这是递归算法的优点，同时也是它的缺点。...这个我自己也深有体会，就拿排序算法里面的快排和归并排序来说吧，这两种算法采用的都是分治思想来处理排序问题，所以递归在这里就出现了，如果你不理解递归算法，就去学习这两种排序算法，可能理解起来就非常费事，尽管你知道这两种排序的算法原理和它的时间及空间复杂度...下面，我们通过两个例子来学习一下，递归的使用： 例子一：求阶乘 public static int factrial(int n){ if(n<1){ return...1 f(2)=2 f(3)=6 f(4)=24 f(5)=120 从上面的步骤我们可以清晰的看到递归算法的第一步是分治，把复杂的大的问题，给拆分成一个一个小问题，直到不能再拆解，通过退出条件retrun...总结： 本文主要介绍了递归算法的概念和思想原理及使用例子，递归算法在解决特定场景下的问题非常强大，递归算法的使用，关键在于如何把大问题给分解成相同类型的子问题，然后对一个一个子问题各自击破，当所有的子问题都解决了
这种算法称为加法链(addition chaining)，或二进制平方和乘法方法，算法的C语言描述： 利用该算法可以有效避免因为幂运算产生大数而使得后续模运算无法进行的问题。 ? ?...反汇编上述算法后，发现虽然该算法有效的解决了幂模过程中幂运算产生大数的问题，但在实际计算模运算时仍旧采用了除法指令，且采用除法指令的次数和幂运算的指数正相关，而我们知道在计算机系统除法指令是一个相当耗时的指令...”中向大家展示如何在不使用除法的情况下实现快速乘模计算，下面便以此种算法介绍高效幂模算法的实现。...此代码得到了有效的改善，且当在大数幂模计算时性能上的优势会随着运算量的增大而进一步凸显出来。 ? ?...，当应对大数的幂模计算时，由于普通的求模公式将不可避免的使用大数除法操作导致性能成倍降低，而Montgomery算法由于其不存在大数除法的问题，因此其仍然能保持良好的性能。
本文你应该带着两个问题进行阅读 什么是递归 如何使用递归 什么是递归 递归是一种编程模式，在一种任务可以自然地拆分为相同类型的多个任务，但更简单的情况下很有用。...两种思维方式 举个简单的例子，比如我们求 x 的 n 次幂，这个时候我们可能需要用到递归： pow(2, 2) = 4 pow(2, 3) = 8 pow(2, 4) = 16 第一种，迭代思维 最经常使用就是使用...递归通常较短 递归解通常比迭代解短。 function pow(x, n) { return (n == 1) ?...x : (x * pow(x, n - 1)); } 嵌套调用（包括第一个）的最大数量称为递归深度。在我们的情况下，它将是n 最大递归深度受JavaScript引擎限制。...有一些自动优化可以帮助缓解这种情况（“尾部优化”），但是尚无处支持它们，并且仅在简单情况下有效。 那限制了递归的应用，但是它仍然非常广泛。在许多任务中，递归思维方式使代码更简单，更易于维护。
现在让我们看一个更现实的例子。我们的任务是从给定的数组中返回奇数数组。...其中 n（在最坏的情况下）是给定数组的长度。这里的迭代次数（在最坏的情况下）与输入（长度数组）成正比。因此，线性搜索算法的时间复杂度是线性时间复杂度：O (n)。...二进制搜索算法在线性搜索中，您一次可以消除一个元素。但是使用二进制搜索算法，您可以一次消除多个元素。这就是二分查找比线性查找快的原因。这里要注意的一点是，二分查找只对排序好的数组有效。...该算法遵循分而治之的方法。让我们在 [2, 3, 6, 8, 10, 12] 中找到 8 的索引。第 1 步：找到数组的中间索引。...但是这里的迭代次数不依赖于输入（数组长度）。因此，二进制搜索算法的时间复杂度是对数时间复杂度：O(log n)。你可以检查 O 符号图。O (log n) 比 O (n) 快。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这样的情况下，重复应用分治手段，能够使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，终于使子问题缩小到非常easy直接求出其解。...这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，常常同一时候应用在算法设计之中，并由此产生很多高效算法。...是否能利用分治法全然取决于问题是否具有第三条特征，假设具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则能够考虑用贪心法或动态规划法。...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）=k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解： 递归方程及其解仅仅给出n等于m的方幂时T(n)的值，可是假设觉得...T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值能够预计T(n)的增长速度。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。...这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。...第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加； 第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、 第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解： 递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值...，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。 在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。...这自然导致递归过程的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。...第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加； 第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用； 第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解： 递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为...T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。...这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。...第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加； 第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、 第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征...用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）= k T(n/m)+f(n) 通过迭代法求得方程的解： 递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(...n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。
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