交叉熵损失与均方误差损失 常规分类网络最后的softmax层如下图所示，传统机器学习方法以此类比， ?...对这个样本，交叉熵（cross entropy）损失为 image.png 均方误差损失（mean squared error，MSE）为 image.png 则 (m) 个样本的损失为...\ell = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m L_i 对比交叉熵损失与均方误差损失，只看单个样本的损失即可，下面从两个角度进行分析。...在这个前提下，均方误差损失可能会给出错误的指示，比如猫、老虎、狗的3分类问题，label为 ([1, 0, 0]) ，在均方误差看来，预测为 ([0.8, 0.1, 0.1]) 要比 ([0.8, 0.15...image.png image.png 综上，对分类问题而言，无论从损失函数角度还是softmax反向传播角度，交叉熵都比均方误差要好。
一元线性回归就是自变量只有一个x，而多元线性回归就是自变量中有多个x。 多元回归的形式如下： 02.参数估计 多元回归方程中各个参数也是需要估计的，关于为什么要估计，其实我们在一元线性回归里面也讲过。...因为增加自变量的会降低残差SSE，进而导致R^2增加。 为什么加入新的变量会使SSE降低呢？因为每新加入一个新的变量，这个新的变量就会贡献一部分平方和，而这个平方和就是从残差里面分离出来的。...为了避免盲目增加自变量而导致得到一个虚高的R^2，优秀的前辈们又想出了一个新的指标，即修正后的R^2。...公式如下： 公式中的n为样本量的个数，k为自变量的个数，通过n和k来调整R^2，这样就不会出现随着自变量个数的增加而导致R^2也跟着增加的情况。 我们一般用调整后的R^2来判断多元回归的准确性。...除了R^2以外，我们还可以使用标准误差来衡量回归模型的好坏。标准误差就是均方残差(MSE)的平方根，其表示根据各自变量x来预测因变量y的平均预测误差。
理论上，需要使用更多的训练epoch（例如 1000 或 1500），但是为了使运行次数处在合理区间，我们将epoch数减至500。 我们将使用高效的ADAM优化算法和均方误差损失函数拟合这个模型。...另外还生成了比较结果分布的箱须图。 该图和描述性统计所表明的结论相一致。随着时间步长的数量增加，图中出现测试均方根误差增加的总体趋势。 ?...时间步长对比均方根误差的箱须图 我们并没有像预期的那样，看到性能随着时间步长的增加而增强，至少在使用这些数据集和LSTM配置的试验中没看到。 这就引出这样一个问题，网络的学习能力是否是一个限制因素。...我们可以重复上文试验，并通过增加时间步长来增加LSTM中神经元的数量，观察性能是否会因此而得到提升。 我们可以通过改变试验函数的这一行来实现这步，将： ? 改为 ?...增加训练epoch。在第二组试验中， LSTM中神经元数量的增加可能受益于训练epoch的增加。这可通过一些后续试验进行探索。 增加重复次数。重复试验10次得出的测试均方根误差结果数据群相对较小。
分配的值就是使均方误差最小的那个值。那么剩下的问题就是如何确定分割点的值。代码清单6-2有一小段代码用来确定分割点。...不同深度的决策树对应的均方误差（MSE, mean squared error）如图6-9所示。...图片 21{69%} 图6-9 简单问题的测试数据均方误差与决策树深度的关系 决策树的深度控制二元决策树模型的复杂度。它的效果类似于第4章和第5章中惩罚回归模型的惩罚系数项。...决策树深度的增加意味着在付出额外的复杂度的基础上，可以从数据中提取出更复杂的行为。图6-9说明决策树深度为3时，可以获得基于代码清单6-2生成的数据的最佳均方误差（MSE）。...增加数据时，会发生两件事情：第一件事是最佳决策树深度会从3增加到4。增加的数据支持更复杂的模型。另外一件事是均方误差有轻微的下降。
为什么是神经网络？ 神经网络在函数拟合问题上非常出色。一个有足够多的元素（称为神经元）的神经网络可以以任意的精度拟合任何数据。它们特别适合于解决非线性问题。...鉴于现实世界的非线性性质，如身体脂肪的增加，神经网络是解决该问题的不错方法。 十三个物理属性将作为神经网络的输入，而体脂百分比将是目标。...在这个例子中，我们将尝试使用由15个神经元组成的单一隐藏层。一般来说，更难的问题需要更多的神经元，也许需要更多的层。较简单的问题则需要较少的神经元。...要看网络的性能在训练中是如何提高的，可以点击训练工具中的 "性能 "按钮。 性能是以均方误差来衡量的，并以对数比例显示。随着网络的训练，误差迅速减小。训练集、验证集和测试集的性能分别显示。...最终的网络是在验证集上表现最好的网络。 plotperform(tr) ? 测试神经网络 现在可以测量训练后的神经网络的均方误差与测试样本的关系。我们可以了解该网络在应用于真实数据时的表现如何。
均方误差 (Mean Squared Error, MSE) 均方误差是回归模型最常用的评价指标之一。...MSE越小，说明模型预测的误差越小，模型性能越好。 12. 均方根误差 (Root Mean Squared Error, RMSE) 均方根误差是MSE的平方根，也常用于回归模型的评价。...Learning Curve (学习曲线) 学习曲线是一种用于可视化模型在随着训练样本数量的增加而改变的性能的工具。一般来说，随着训练样本数量的增加，模型的训练误差会增加，而验证误差会减少。...通过观察学 习曲线，我们可以了解模型是否存在过拟合或欠拟合问题，以及是否能通过增加训练数据来改善模型的性能。 学习曲线通常通过在不同大小的训练集上训练模型，并记录训练误差和验证误差来绘制。...训练误差和验证误差随着训练样本数量的增加而变化的趋势，就是学习曲线。 以上是一些用于评估和比较机器学习模型的更多度量。记住，选择哪种度量取决于你的具体应用，模型的类型，以及你对哪种类型的错误更敏感。
学习率启发式算法通过在虚拟训练中以指数方式增加学习速率并找到损失具有最陡峭梯度的点来确定最大学习速率。余弦退火从最大学习速率开始，在给定的时期内保持恒定，然后随着时间呈指数减小。...B.损失函数 模型的输出是一个四元数，它描述了传感器的姿态。在大多数情况下，将获取估计值和参考值之间的均方误差。...在当前情况下，四元数的逐元素均方误差不是一个合理的选择，因为不能仅通过加速度计和陀螺仪信号来明确估计方向，还必须使用磁力计。一种解决方案是选择与姿态误差函数??(?, ?̂)...A.性能分析 通过将神经网络与 Baseline 滤波算法，另外的两种开源滤波算法进行比较，神经网络的中值误差甚至更小，并且在所有运动中均表现良好，鉴于在整个数据集上对过滤器进行了优化的事实，而神经网络从未见过任何验证数据...如图所示，误差随着 Hidden Size 的增加而减小，在较大的神经元数量下梯度减小。减小RNN 的 Hidden Size 有助于减少内存占用和总体计算时间，这对于嵌入式系统很重要。
500个Epoch 训练的诊断结果 这些结果清楚地表明，在几乎所有的试验运行中，随着训练epoch的增加，均方根误差都呈下降趋势。...值得注意的是，它包括从每个结果样本群得出的均方根误差的均值偏差和标准偏差。 通过均值偏差可以看出配置的平均预期性能，而通过标准偏差则可以看出配置性能的离散程度。...试验可能很快显示均方根误差稳定的行为，而不是似乎继续下行的趋势。 每次试验最后得出的均方根误差如下所示。 ? 另外还生成了一个描述每个epoch测试和训练均方根误差分数的线图。 ?...该线图表明，测试均方根误差随着时间的递增越不稳定，批大小越小训练均方根误差稳定得可能就越早。鉴于对网络作出的较大改变在每次更新时作出的反馈极少，我们预料到测试均方根误差会更不稳定。...从该箱须图可以看出，中值测试数据集性能显示出明显的趋势，神经元数量增加，测试均方根误差也相应会增加。 ?
损失函数的选择 1.1 均方误差损失函数 均方误差（MeanSquared Error，MSE）是一个较为常用的损失函数，我们用预测值和实际值之间的距离（即误差）来衡量模型的好坏，为了保证一致性，我们通常使用距离的平方...均方误差损失函数将这一批数据的误差的期望作为最终的误差值，均方误差的公式如下： ? 式3 上式中为样本数据的实际值，为模型的预测值。...为了简化计算，我们一般会在均方误差的基础上乘以，作为最终的损失函数： ?...式4 1.2交叉熵损失函数 交叉熵（Cross Entropy）损失函数使用训练数据的真实类标与模型预测值之间的交叉熵作为损失函数，相较于均方误差损失函数其更受欢迎。...假设我们使用均方误差这类二次函数作为代价函数，更新神经网络参数的时候，误差项中会包含激活函数的偏导。
, model.predict(X_train)) test_error = mean_squared_error(y_test, model.predict(X_test)) print(f"训练集均方误差...: {train_error}") print(f"测试集均方误差: {test_error}") 4....5.1 增加模型复杂度 通过增加模型的复杂度，可以帮助模型更好地拟合数据。例如，在神经网络中增加隐藏层或神经元的数量。..., model.predict(X_train)) test_error = mean_squared_error(y_test, model.predict(X_test)) print(f"训练集均方误差...: {train_error}") print(f"测试集均方误差: {test_error}") 8.
1.1 均方误差MSE 测试集中的数据量m不同，因为有累加操作，所以随着数据的增加 ，误差会逐渐积累；因此衡量标准和 m 相关。为了抵消掉数据量的形象，可以除去数据量，抵消误差。...通过这种处理方式得到的结果叫做 均方误差MSE（Mean Squared Error）： 1.2 均方根误差RMSE 但是使用均方误差MSE收到量纲的影响。...例如在衡量房产时，y的单位是（万元），那么衡量标准得到的结果是（万元平方）。...用一个新的指标R Squared。 R方这个指标为什么好呢？ 对于分子来说，预测值和真实值之差的平方和，即使用我们的模型预测产生的错误。...4.2 R Square实现 下面我们从具体实现的层面再来分析一下R方： 如果分子分母同时除以m，我们会发现，分子就是之前介绍过的均方误差，分母实际上是y这组数据对应的方差： 下面我们具体编程实践一下：
学习缓慢 “严重错误”导致学习缓慢 回顾识别MNIST的网络架构，我们采用了经典的S型神经元，以及常见的基于均方误差（MSE）的二次函数作为损失函数。...学习缓慢原因分析 单个样本情况下，基于均方误差的二次损失函数为： ? 一个神经元的情况下就不用反向传播求导了，已知a = σ(z)，z = wx + b，直接使用链式求导即可： ?...这就解释了前面初始的神经元输出a=0.98，为什么会比a=0.82学习缓慢那么多。 ?...交叉熵损失函数 S型神经元，与二次均方误差损失函数的组合，一旦神经元输出发生“严重错误”，网络将陷入一种艰难而缓慢的学习“沼泽”中。...从另一个角度看，应用交叉熵损失是一种防御性策略，增加训练的稳定性。 应用交叉熵损失并不能改善或避免神经元饱和，而是当输出层神经元发生饱和时，能够避免其学习缓慢的问题。
回归函数预测实数值，分类函数预测标签 ▌回归损失 1、均方误差，二次损失，L2损失（Mean Square Error, Quadratic Loss, L2 Loss） 均方误差（MSE）是最常用的回归损失函数...为了解决这个问题，我们可以使用随着接近最小值而减小的动态学习率。MSE在这种情况下的表现很好，即使采用固定的学习率也会收敛。...MSE损失的梯度在损失值较高时会比较大，随着损失接近0时而下降，从而使其在训练结束时更加精确（参见下图）。 ? 决定使用哪种损失函数？...这意味着'logcosh'的作用大部分与均方误差一样，但不会受到偶尔出现的极端不正确预测的强烈影响。它具有Huber Loss的所有优点，和Huber Loss不同之处在于，其处处二次可导。...左：线性关系b/w X1和Y，残差的方差恒定。右：线性关系b/w X2和Y，但Y的方差随着X2增加而变大（异方差）。 ? 橙线表示两种情况下的OLS估计 ?
回归函数预测实数值，分类函数预测标签 ▌回归损失 1、均方误差，二次损失，L2损失（Mean Square Error, Quadratic Loss, L2 Loss） 均方误差（MSE）是最常用的回归损失函数...为了解决这个问题，我们可以使用随着接近最小值而减小的动态学习率。MSE在这种情况下的表现很好，即使采用固定的学习率也会收敛。...MSE损失的梯度在损失值较高时会比较大，随着损失接近0时而下降，从而使其在训练结束时更加精确（参见下图）。 决定使用哪种损失函数？...这意味着'logcosh'的作用大部分与均方误差一样，但不会受到偶尔出现的极端不正确预测的强烈影响。它具有Huber Loss的所有优点，和Huber Loss不同之处在于，其处处二次可导。...右：线性关系b/w X2和Y，但Y的方差随着X2增加而变大（异方差）。
前言 机器学习中，模型的拟合效果意味着对新数据的预测能力的强弱（泛化能力）。而程序员评价模型拟合效果时，常说“过拟合”及“欠拟合”，那究竟什么是过/欠拟合呢？什么指标可以判断拟合效果？...拟合效果的评估方式 现实中通常由训练误差及测试误差（泛化误差）评估模型的学习程度及泛化能力。 欠拟合时训练误差和测试误差在均较高，随着训练时间及模型复杂度的增加而下降。...它们的误差情况差异如下表所示： 拟合效果的深入分析 对于拟合效果除了通过训练、测试的误差估计其泛化误差及判断拟合程度之外，我们往往还希望了解它为什么具有这样的泛化性能。...在优化欠/过拟合现象上，主要有如下方法： 模型欠拟合 增加特征维度：如增加新业务层面特征，特征衍生来增大特征假设空间，以增加特征的表达能力； 增加模型复杂度：如增加模型训练时间、结构复杂度，尝试复杂非线性模型等...（比如50%）随机地“暂停”一部分神经元的作用。
可以看出神经网络的几个重要特点：简单的基本单元、互连、模拟生物、具有交互反应。 ? 为什么使用神经网络？ 既然已经有了线性回归、决策树等机器学习方法，为什么还要使用神经网络的方法呢？...但是利用如下的双隐层感知机可以解决异或问题。 ? 多层神经网络 定义 感知机是最简单的前馈神经网络，如果我们增加神经网络的层数和每层的数目，便会形成多层神经网络。...反向传播算法 反向传播算法的数学推导较复杂，在这里不详细介绍，只大体介绍其思想： 定义神经网络输出值与实际值的误差，一般情况下有两种误差定义方法 ? 为神经网络中的权重）： 均方误差： ?...避免局部最小的方法 由于梯度下降可能导致神经网络陷入局部最小，而达不到全局最小值，所以在这里有以下集中方法缓解这个问题 以多组不同的初始值初始化神经网络进行训练，找出其中最好的结果作为最终参数 使用模拟退火技术...但后来人们发现： 参数越多的模型复杂多越高，容量越大，这意味着它可以完成更复杂的学习任务。而增大网络深度有时比增多单隐层参数个数更有效。 随着云计算、大数据的到来，深度学习开始流行。
横轴是不同的预测值，纵轴是均方差损失，可以看到随着预测与真实值绝对误差 的增加，均方差损失呈二次方地增加。 背后的假设 实际上在一定的假设下，我们可以使用最大化似然得到均方差损失的形式。...可以看到随着预测与真实值绝对误差 的增加，MAE 损失呈线性增长 背后的假设 同样的我们可以在一定的假设下通过最大化似然得到 MAE 损失的形式，假设模型预测与真实值之间的误差服从拉普拉斯分布 Laplace...当使用梯度下降算法时，MSE 损失的梯度为 ，而 MAE 损失的梯度为 ，即 MSE 的梯度的 scale 会随误差大小变化，而 MAE 的梯度的 scale 则一直保持为 1，即便在绝对误差 很小的时候...可以看到约接近目标值损失越小，随着误差变差，损失呈指数增长。...分类中为什么不用均方差损失？上文在介绍均方差损失的时候讲到实际上均方差损失假设了误差服从高斯分布，在分类任务下这个假设没办法被满足，因此效果会很差。为什么是交叉熵损失呢？
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