场景： 开发环境（windows下）调用第三方接口验签通过，发测试环境（linux下）后死活验签通过不了 原因： md5是一项成熟的加密技术，问题应该在代码里，查了查感觉可能是字符编码的问题...，导致加签没通过，这样的话只能是环境导致的字符编码出现问题，就我所知的有getBytes()方法是得到一个操作系统默认的编码格式的字节数组，发现公共代码里进行md5加密是要进行转字节的 /**...); } catch (NoSuchAlgorithmException e) { } return resultString; } 所以这里的getBytes...()不确定性太大，需要指定编码方式来降低耦合（代码与环境的耦合）。 ...解决方法： 将getBytes()方法指定具体的编码方式，如:getBytes("UTF-8") /** * md5加密 */ public static String
所以另一个孩子也是女孩的概率是1/3。 这个答案的计算过程没什么问题，我想大家应该都能看明白，但是不知道会有多少人觉得奇怪。为什么答案不是 1/2 呢？难道两个孩子的性别不是独立的吗？...还是之前题目里的夫妻，还是那两个孩子（至少有一个是女孩）。不同的是，假设有一天我们在公园碰见了这一对夫妻。不过，与此同时，夫妻还带了一个孩子。...我们之前一通分析，用上各种公式进行计算，得到的结果明明是1/3，为什么这里就变成 1/2 了呢？这两道题难道不是一样的吗？...我们看到了一个女孩，求另一个也是女孩，和已知一个是女孩，求两个都是女孩，不是一回事吗？ 关于这一点，我们直观上有很多种理解方式。 第一种，一开始题目中已知有一个孩子是女孩。...这样理解都行得通，但还是没有解决我们之前的疑惑，为什么看起来完全一样的两件事，得到的结果不同呢？就因为我们看到了其中的一个孩子吗？可是我们看到孩子，与孩子的性别的概率应该无关才对。
最近，有位朋友在一个实际工作问题中，在表2使用合并查询从表1的结果中匹配最高（阶段）项，眼看着表1的结果是对的，但表2里却得到了错误的返回结果，具体情况如图所示： 为什么会这样？...我们先来看表1的处理情况。 为了合并查询得到最高阶段项，对表1进行降序排序： 然后通过删除重复项保留最高阶段数据： 从表1的结果来看，的确保留了最高阶段的数据。...然后，在表2里使用合并查询获取表1中的结果并展开： 咦！！！ 表1的处理结果明明是阶段4（报价），为什么合并查询得到的结果却是阶段2（售前）？ 这难道是Power Query的Bug吗？...这里的问题根源其实是表1的处理问题，我以往发布的多篇文章案例中，在涉及Power Query中使用排序的问题时会强调，Power Query的排序需要增加添加索引或Table.Buffer的步骤，使排序的结果真正...所以，回到这个问题，针对表1的排序步骤，我们可以嵌套Table.Buffer函数（图中中间行为原排序操作生成的代码，无所做任何改变）： 这时，我们再看表2的结果： 完全正确！
介绍 reduce()函数是Python内置的高阶函数之一，它在函数式编程中具有重要作用。reduce()函数的功能是对一个可迭代对象中的元素依次进行某种操作，并返回最终的结果。...它对可迭代对象中的元素依次进行二元操作，并返回最终的结果。...reduce()函数对列表中的元素依次执行add()函数，从而得到最终的结果。 2....()函数和mul()函数，从而更加简洁地求得累加和和累乘。...使用reduce()进行列表元素连接 除了求和和求积，reduce()函数还可以用于将列表中的元素连接成一个字符串。
案例 最大子数组求和 leetcode 53题 给定数组a[1…n]，求最大子数组和，即找出1<=i<=j<=n，使a[i]+a[i+1]+…+a[j]最大。...，那么要想求出最大子数组和，就需要得到max(s[j] - s[i])，将s[j]固定，则需要求min(s[i])，所以此问题由最大子数组和转换成了求最小和（最小s[i]）的问题，这次提交执行时间为10ms...，超过了47.22%的人 （经验：求和变求差 求积变求和 求指数变对数 求最大变求最小），时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。...，si的（0,6）的最小和其实就是（0,5）的si最小和和si[6]最比较，这种增量方式的转换技巧很实用 minsi = si; }...贪心算法的思路比较难以理解，后面介绍贪心算法的时候再回过头来看看。
问题一：我们如何用蒙特卡洛方法求积分？问题二：如何近似求一个随机变量的数学期望？问题三：估计的误差是多少？问题四：如何从理论上对蒙特卡洛估计做分析？...你眼中的蒙特卡洛方法求积分，可能是这样子的： ? Image Name 最最经典的例子就是求 的近似值了，生成若干个均匀的点，然后统计在圆内的点的个数的比例，这个比例就是 的近似了！...问题三：估计的误差是多少？ 凡估计必有误差 每一次采样都可以得到一个估计值，我们多次采样，得到多个估计值，画出多个估计值的分布图，从图上就可以近似看出估计的误差了。...最后，我想展示一下，本文所述的转化为估计随机变量期望的蒙特卡洛方法 与 传统的往正方形内投点计算落在圆内的点个数来估计 值的方法的不同。 ?...同样是取了2000个点（做200次计算），统计1000次结果。左图为传统方法，右图为本文所述转化为求期望的方法。 明显右边的效果更好！
并不是所有的复杂的定积分问题的数值解都可以用决定论算法求解。这个时候就可以用Monte Carlo 方法：在（a,b）区域内均匀随机抽样得到N个点x1、x2、x3、......、xN;求这些点上被积函数的值f(x1)、f(x2)、f(x3)......f(xN)、f(x1)、于是f(x)在[a,b]区域的平均值： ? 于是定积分： ? 这数学描述也太简单了吧！...求平均数的方法用两个不同公式来表述。两个公式自然而然就联系起来了，用一个公式计算另一个公式的相关参数。这个过程你都感觉不到统计力学的身影，这就是Monte Carlo的另一种思想。...过冷水之前以为的Monte Carlo算法是通过随机撒点求所求区域占规则形状的面积比值然后用规则面积*比值即为所求面积面积。我们来实战演示一下两种思路求积分的具体过程。 ? ?.../(exp(x)-1).^2; y=double((int(f,1,8))) y = 23.2667 可以看出三种方法计算的积分值相近，这也说明了Monte Carlo的两种不同计算路径得到的计算值都是可信的
张量运算有时候并不容易直观地理解：为什么有时候改变计算顺序不会影响结果，同时又能极大节省计算成本？使用因子图来可视化或许能为人们提供简洁直观的理解方式。...轨迹运算的循环性质就是其中一例。 ? 我最近遇到个能可视化这些所谓的张量运算的好工具——因子图（factor graphs），它能得到视觉上很明显（如循环轨迹）的结果。...将许多因子组合成单个因子并求灰色变量的和的过程涉及到两个基本的计算操作： 求和：移除仅有一条边的灰色节点 求积：将两个因子合并成一个因子 可以很容易看到，这样的操作能保留网络最终的收缩状态，所以如果我们不断应用它们直到只剩仅连接到未求和变量的单个因子...因此，加法的总数量就是所有轴大小的积。我们也能从可视化表示中看出这一点： ? 求积 求积运算本质上就是两个张量的外积泛化为一般张量。...用爱因斯坦表示法，组合两个因子就等同于通过两个因子的项相乘而将两个因子当成一个，从而得到一个更大的因子： ? 这种求积是用一个因子中的每个元素与另一个因子的整体相乘。
Maxima 对各种微积分的运算提供了强有力的支持。 可以这么说，在基本微积分运算能力上，Maxima 不输给任何商业软件。 求极限 求极限是微积分中最基本的运算。...dir 为 plus 时求的是右极限，为 minus 时求的是左极限。...上面得到的结果中的求和指数 i2 看起来显得不那么专业，可以用 niceindices 函数将其变的看起来更专业些。...很多时候我们无法得到级数的解析表示，这时候可以用 taylor (f(x), x, a, n)得到函数f(x)在x = a附近第 n 阶项（(x - a)^n）以下各项的泰勒级数 taylor(sin(...求和与求积运算 sum (expr, i, i_0, i_1) 计算求和。 product (expr, i, i_0, i_1) 计算求积。
])) Romberg(a,b,eps,func) # print(T) # print(S) # print(C) # print(R) # 计算机参考值0.6321205588 print("积分结果为...梯形公式表明：f(x)在[a,b]两点之间的积分（面积），近似地可以用一个梯形的面积表示。 2.显然，这个梯形公式对于不同的f(x)而言，其代数精度不同。...为了能适合更多的f(x)，我们一般使用牛顿-科特斯公式其中比较高次的公式来进行数值求积。但高次的缺陷是当次数大于8次，求积公式就会不稳定。...一个大区间[a,b]上用一次梯形公式精度不够，那么在n个小区间都使用梯形公式，最后将小区间的和累加起来，就可以得到整个大区间[a,b]的积分近似值。...于是乎，我们可以一次推出T1,T2,T4,T8…T2n序列 引出这些之后，才是我们的主题：龙贝格求积公式 龙贝格求积公式的实质是用T2n序列构造，S2n序列， 再用S2n序列构造C2n序列 最后用C2n
遍历所有的语言，所需要教的次数最少的结果即为最终的答案。 但是，这里有一个很奇怪的逻辑，即：为什么最优解的时候一定是教所有人同一种语言呢？为什么不可能是教其中某些人语言A，而另一部分人语言B呢？...对于encoded中的每一个元素y[i] = x[i] ^ x[i+1]，又由于基本的性质x ^ x == 0，因此，我们对给出的数组累积求一个异或操作就能够得到一个新的数组，他们的元素分别为z[i]...剩下的问题就是我们如何求出x[0]，由于元素总数为基数，因此，我们将偶数的元素全部求个异或操作，就能够得到除了x[0]之外所有元素的异或结果，然后又由于元素来自于1到n，因此，我们有： x[0] = 1...赛后看了一下别人的解法，他们的思路事实上比赛的时候我也想过，即： 对于要得到的乘积数进行因式分解，获取他的因子； 根据因式分解的结果进行解析求解。...这个问题基本可以秒答了，为： 2021-03-27 (6).png 而对于不同的因子，他们的排列是相互独立的，因此，我们将所有因数的解进行求积操作即可得到我们最终的结果。 2.
过冷水以前关于Monte Carlo方法求定积分问题没有在随机数的抽样上下功夫，之前都是在积分域内均匀随机抽样，称为直接抽样法。直接抽样法完全不考虑被积函数的特点。...，作用得到G-1(r)=x,连续，可见以上定理提供了连续型随机数的生成办法。 步骤1：由分布的概率密度分布函数g(x)的积分 ? 得到累计密度分布函数。...*sin(x3)/2,0,pi)) I3 = 2.9348022005446793094172454999381 由程序可知当直接对x均匀抽样的结果比对sin(x)/2均匀抽样反推x的结果要好...此时就相当于对dx不均匀抽样，即对这些不均匀分布的抽样点上的f(x)求值。 通俗的讲就是对图像上累计概率密度进行均匀抽样，然后求对应的x值，再用x进行大数定理的计算。...知识是逐渐积累的过程，过冷水最初只知道的用int（）函数求积分，接触到用Monte Carlo求积分，然后又看到用大数定理求积分，最后抽样方法的改变对大数定理、Monte Carlo都有影响，学问做细后发现好多有趣的点
一、 f(x)=x+1,求积分的上下限为[1,2],数学表达式为: I (...2.5 二、 ,求积分的上下限为[1,2], 数学表达式为: I (...6.333333333333334 6.333333333333333 三、 ,求积分的上下限为[0, ], 数学表达式为:...1.9999999999999998 2.0 四、求a = -1,b =1时， 在[1,2]上的积分’ from scipy import integrate def f(x, a, b):...3.9999999999999813 六、求某位置函数10个样本数据的积分，那传入quad函数的不是 from scipy import integrate import numpy as np
在0.1~1 区间上的值，初步看该方程的积分项比较复杂不易给出原函数。用MATLAB也无法直接求出原函数。自然而然就想该函数如何在不求积分项原函数的情况下计算出积分项的具体值。...在抓耳挠腮之际想起了公众号的一篇推文：蒙特卡洛法应用。可以直接求函数指定区间的面积，相当于求积分。蒙特卡洛算法求面积示意图如下： ? 在该思路的启发下过冷书立刻实践给出了对应的代码，求得函数解。...历经多次失败&偶然成功，使得我关于用多项式替代复杂函数得到以下结论。...y负轴求积分计算结果存在负值，这是用程序自动计算积分的弊端，需要自行调整程序。...0.210874316368273 0.339180486457926 0.123570128076172],'Interpreter','latex','FontSize',14); 两种方法的计算结果都不能作为标准参考来验证计算结果是否好
换句话说，期望值衡量的是多次实验下，所有可能得到的状态的平均结果。 我们举两个简单的例子，第一个例子是掷骰子。 我们都知道一个骰子有6个面，分别是1，2，3，4，5，6。...也就是说，我们如果投掷大量的骰子，得到的平均结果应该是3.5，但是骰子上并没有这个点数可以被掷出来。 另一个经典的例子就是博弈游戏，老赌徒们水平各有高低，但一定深谙期望这个概念。...我们简单介绍一下回归模型的概念，在机器学习领域，最常用的模型可以分为回归模型与分类模型。这两者的差别就在于模型预测的结果不同，在分类模型当中，模型的预测结果是样本所属的类别。...我们先来观察一下误差平方和的公式，可以发现，它是一个二次函数。我们高中的时候就曾经学过，二次函数求极值，可以通过求导得到。...自然预测结果在真实值离散程度越低，模型的效果越好。所以这两个概念的本质是相通的。 期望、方差的概念我们大多数人都非常熟悉，而误差平方和和最小二乘法则要陌生一些。
那么如何求这个定积分呢？...通过数值化求如下橙色区域的面积： ? 定积分的上限无穷，我们在这里取值为 1000， dt 取值为一个极小的间隔：0.00001， 这样积分转化为求和， ?...数值求积分的代码如下所示： dt = 0.00001 z = 0.5 t0,t1 = dt, 1e3 t = np.arange(t0,t1,dt) y = np.power(t, z-1) * np.power...(np.e, -t) sum(y * dt)**2 大概运行 35 秒后，得到结果： 3.1252434547696777 已经接近 ， 要想再提升精度，可继续调整积分的间隔 dt 和 t1....希望通过此文了解积分的数值计算方法，然后对 Gamma 函数有一个浅显的认识。
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。 PMF( 概率质量函数 ): 是对 离散随机变量 的定义. 是 离散随机变量 在各个特定取值的概率....该函数通俗来说,就是 对于一个离散型概率事件来说, 使用这个函数来求它的各个成功事件结果的概率. PDF ( 概率密度函数 ): 是对 连续性随机变量 的定义....与PMF不同的是 PDF 在特定点上的值并不是该点的概率, 连续随机概率事件只能求一段区域内发生事件的概率, 通过对这段区间进行积分来求....通俗来说, 使用这个概率密度函数 将 想要求概率的区间的临界点( 最大值和最小值)带入求积分. 就是该区间的概率.
积分思想的渊源 求积问题就是求图形的面积、体积问题。...这些问题直到牛顿和莱布尼兹建立微积分才从根本上得到了解决。求积问题是促使微积分产生的主要因素之一。 在积分思想发展的过程中，有一批伟大的数学家为此做出了杰出的贡献。...在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题，在天文学中涉及到行星和太阳的最近和最远距离。 4. 求积问题。求曲线的弧长，曲线所围区域的面积，曲面所围的体积，物体的重心。...这些问题从古希腊开始研究，其中的某些计算，在现在看来只是微积分的简单练习，而过去曾经使希腊人大为头痛。事实上，阿基米德所写的著作几乎都是在讨论这类问题，而他的结果就标志着希腊数学的高潮。...（3）1691年完成了《曲线求积术》，简称《求积术》。
这个时候，我们得到和图中差不多的过程 ? 我们可以发现： ? 同理，我们可以得到类似的结论（最后一个，就是上面的结果）： ?...这里，我们具体收敛与否，只需要看一下对应的面积是否有极限 ? 我们得到对应的面积是无穷大的， 就知道对应的 improper integral 反常积分， 不收敛 ---- 例子2 ?...这样的，上面也提到过 需要在中间 去一点，分别求两边极限的积分，这里取0这一点： ? 右边： ? 左边类似，这时候两边一起为： ? 所以： ? 对应的图像，为： ?...大体就是 ： 对应的描述， 极限存在就是收敛， 否则不收敛的判断 还有 对应值的求值方法 ---- 例子5 ? 先注意，x=2是没有意义的，所以 x=2这块为开区间 我们求积分，可得： ?...自己大体理解为： 大的收敛，小的一定收敛 小的不收敛，大的一定不收敛 ---- 例子10 ? 当存在不好求的地方，我们可以找一个对比 我们知道 1/x 不收敛，而 ?
过冷水最近这段时间在做积分的学习工作，之前连续分享了好几期的 蒙特卡洛法应用；你所不知道的Monte Carlo形式；重要性抽样方法实例分享 。求积分的问题会不懂？...可是就是在下图求积分过程中翻了车； ?...需要用大数定理求积分 ? 用大数定理求如图所示函数的具体表达式则为(N=1000) ?...这是过冷水犯的第一个错误。问题是时间需求是要从f(x)不为零的地方开始积分，过冷水为了省事做整个区间的积分，就是抱着对零积分不影响结果。 实际问题要稍微做做一下变形，要求分段积分。 ?...到现在为止过冷水都没想明白为什么是错的，有对该问题感兴趣的可以留言讨论。“快就是慢，省事就是费事”简单问题还得从原理入手才可靠。 ?
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