开发者社区

文档建议反馈控制台

最新优惠活动

文章/答案/技术大牛

发布

为什么高斯-勒让德算法第三次迭代后Pi的值保持不变？

高斯-勒让德算法是一种用于计算圆周率π的迭代算法。该算法通过不断迭代来逼近π的值，每次迭代都会提高计算的精度。

在高斯-勒让德算法中，第三次迭代后Pi的值保持不变的原因是由于算法的特性。具体来说，高斯-勒让德算法通过计算多边形的周长来逼近圆的周长，从而得到π的近似值。

在算法的第一次迭代中，通过计算正六边形的周长来逼近圆的周长，得到的近似值为3。在第二次迭代中，通过计算正十二边形的周长来逼近圆的周长，得到的近似值为3.1058285412。

在第三次迭代中，通过计算正二十四边形的周长来逼近圆的周长。在这一次迭代中，由于正二十四边形的边数是正十二边形的两倍，因此可以利用前一次迭代得到的近似值来计算。然而，由于高斯-勒让德算法的特性，正二十四边形的周长计算结果与正十二边形的周长计算结果相同，即3.1058285412。因此，第三次迭代后Pi的值保持不变。

高斯-勒让德算法的优势在于它能够通过迭代逼近圆周率的值，并且每次迭代都能提高计算的精度。该算法的应用场景包括需要计算圆周率的各种科学计算、数值模拟、图像处理等领域。

腾讯云提供了丰富的云计算产品和服务，其中包括计算、存储、人工智能等方面的解决方案。具体关于腾讯云的产品和服务介绍，请参考腾讯云官方网站：https://cloud.tencent.com/

页面内容是否对你有帮助？

有帮助

没帮助

相关·内容

c++第n小的质数_形形色色的素数 -- 质数定理

当然，一定要找个原因的话，可能是因为和质数都是数学中非常基础的要素，所以数学家选择用表示质数数量函数。但我之前为什么说第一个“公开”提出质数猜想的人是勒让德呢？...在勒让德提出他的猜想后的半个多世纪后的1849年，高斯在一封给他的学生，德国天文学家恩客(Encke)的信中说，他大约在15，16岁时就猜想了一个有关质数分布数量的命题：他猜想等于。...这样我们有三个对质数数量函数的近似函数，勒让德的，高斯15岁时的猜想，，以及高斯后来改进后得到。那这三个函数哪个近似效果更好呢？ ...你会发现勒让德的近似函数图像最接近，误差要大些，而误差最大。这是否意味着勒让德的估计函数最好？很意外，并不是。 ...高斯在那封信中补充说，他认为他的是更好的估计，而勒让德的那个“-1.08366”毫无必要。原因在于，高斯发现勒让德的估计函数误差是不断增大的，且增大的速度也越来越快。

1.2K0 0

最小二乘法与正态分布

最小二乘法由天文学的问题产生，由法国的数学家勒让德Legendre)创造，但也有人说是高斯(Gauss)创造的。本文记录最小二乘法的相关内容。神说，要有正态分布，就有了正态分布。...最小化累计误差有效的最小二乘法是勒让德在 1805 年发表的，基本思想就是认为测量中有误差，所以所有方程的累积误差为 $$ 累积误差 = ∑ ( 观测值 – 理论值 ) 2 $$...\end{array} \end{eqnarray} $$ 提出最小二乘法勒让德在论文中对最小二乘法的优良性做了几点说明：最小二乘法使得误差平方和最小，并在各个方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止某一个极端误差取得支配地位...；计算中只要求偏导后求解线性方程组，计算过程明确便捷；最小二乘法可以导出算术平均值作为估计值。...其标准化后的概率密度函数 $$ \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} $$ 更加的简洁漂亮，两个最重要的数学常量

6373 0

从0单排强化学习原理（二）

为什么要去计算?当我们算出后，就可以通过下式去更新了：有没有一种坐标下降法既视感，确定，更新，确定，再回来更新，如此反复，直到收敛。但是我们看下面一个简化场景，已知，求: ? ，，得出结论。...下面介绍高斯-塞德尔迭代法(参考百度百科)，本质就是把线性方程组，通过不断迭代的方式进行求解，设线性方程组为： ? 高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为： ? 这个和求解有啥关系呢？...上式没看明白没关系，其实就是初始化所有，即在0时刻s状态的值函数计算结果是0，然后通过下式求解: 求解的过程叫策略评估（计算loss），通过改善的过程叫策略改善（梯度下降），不断迭代这两个过程就能得到最优解...策略 if 策略变化<阈值: break 输出最优策略还有另一种算法，和策略迭代算法一样能得到解，区别就是值函数收敛后直接进行策略改善，求得最优策略，本质都是通过策略改善和策略评估求最优解...，看下值函数，因为S离E最远，所以值函数计算出来的最低，P1和P2离E相同近，所以值函数相等。

3052 0

6段Python代码刻画深度学习历史：从最小二乘法到深度神经网络

这一方法是 1805 年巴黎数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德首次提出的（1805，Legendre），勒让德建立了许多重要的定理，尤其是在数论和椭圆积分（Elliptic Integrals）方面，提出了对素数定理...勒让德先猜测彗星的未来位置，然后平方其误差，重新做出猜测，以减少平方误差的和。这是线性回归的种子。上述代码中，m 是系数，b是预测中的常数，坐标是彗星的位置。...荷兰诺贝尔奖得主Peter Debye 在一个世纪后（1909年，Debye）正式确定了解决方案。让我们想象一下，勒让德有一个参数需要担心——我们称之为X。Y轴表示每个X的误差值。...通过沿斜率相反方向接近最小值。此外，越接近最小值，斜率越小。每一步都会减少，因为斜率向零趋近。 num_iterations 是达到最小值前的预计迭代次数。...不久之后就出现了IBM Watson 的Jeopardy 大胜和谷歌识猫的成功。深度神经网络的核心结构保持不变，但现在应用于几个不同的问题。正则化也有很多改进。

1.4K9 1

开发 | 这六段代码隐藏着深度学习的前世今生！

勒让德痴迷于预测彗星的位置，基于彗星曾出现过的几处位置，百折不挠的计算彗星的轨道，在经历无数的测试后，他终于想出了一种方法平衡计算误差，随后在其1805年的著作《计算慧星轨道的新方法》中发表了这一思想，...勒让德将最小二乘法运用于计算彗星轨道，首先是猜测彗星将来出现的位置，然后计算这一猜测值的平方误差，最后通过修正猜测值来减少平方误差的总和，这就是线性回归思想的源头。...梯度下降勒让德的方法是在误差函数中寻找特定组合的m和b，确定误差的最小值，但这一方法需要人工调节参数，这种手动调参来降低错误率的方法是非常耗时的。...在一个世纪后，荷兰诺贝尔奖得主彼得·德比（Peter Debye）对勒让德的方法进行了改良。假设勒让德需要修正一个参数X，Y轴表示不同X值的误差。勒让德希望找到这样一个X，使得误差Y最小。...Num_iterations 表示在找到最小值前估算的迭代次数。运行上述代码，读者可以自行调参来熟悉梯度下降。线性回归线性回归算法结合了最小二乘法和梯度下降。

8537 0

什么是高斯混合模型

为了更好地理解推导过程，我将尽量保持符号的清晰。首先，假设我们想知道数据点来自高斯分布的概率是多少，可以将其表示为： ?...这是有道理的，因为高斯分布越大，我们期望的概率就越高。现在让z成为所有可能的潜在变量z的集合，因此： ? 我们预先知道：每个z独立于其他z出现，并且当k等于k点所在的聚类时，它们只能取1的值。...现在，如果我们的数据来自高斯k，那么如何找到观测数据的概率呢？原来它实际上是高斯函数本身！按照定义p(z)的相同逻辑，可以说： ? 现在你可能会问，为什么要这么做？还记得最初的目标吗？...在之前的推导中已知：EM算法遵循迭代的方法来寻找高斯混合模型的参数。我们的第一步是初始化参数。在这种情况下，可以使用K均值的值来满足这个目的。...此外，创建图表来查看似然性的进展情况总是很有用的。 ? 可以清楚地看到算法在大约20次之后收敛。EM保证在给定的过程迭代次数后将达到局部最大值。

1.4K2 0

SIFT特征点提取「建议收藏」

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。计算机视觉中的特征点提取算法比较多，但SIFT除了计算比较耗时以外，其他方面的优点让其成为特征点提取算法中的一颗璀璨的明珠。...一、 SIFT算法 1、算法简介尺度不变特征转换即SIFT (Scale-invariant feature transform)是一种计算机视觉的算法。...利用DoG函数在尺度空间的Taylor展开式(插值函数)为：上面算式的矩阵表示如下：其中，X求导并让方程等于零，可以得到极值点的偏移量为：对应极值点，方程的值为：其中, X^代表相对插值中心的偏移量...同时在新的位置上反复插值直到收敛；也有可能超出所设定的迭代次数或者超出图像边界的范围，此时这样的点应该删除，在Lowe中进行了5次迭代。...因此设置门限值(向量归一化后，一般取0.2)截断较大的梯度值(大于0.2的则就令它等于0.2，小于0.2的则保持不变)。然后再进行一次归一化处理，提高特征的鉴别性。

1.4K2 1

理解SVM的三层境界（三）

最小二乘法的一般形式可表示为： ? 有效的最小二乘法是勒让德在 1805 年发表的，基本思想就是认为测量中有误差，所以所有方程的累积误差为 ? 我们求解出导致累积误差最小的参数即可： ?...勒让德在论文中对最小二乘法的优良性做了几点说明：最小二乘使得误差平方和最小，并在各个方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止某一个极端误差取得支配地位计算中只要求偏导后求解线性方程组，计算过程明确便捷...，求出来的E代表函数ui对输入xi的预测值与真实输出类标记yi之差）。最后，每次更新完两个乘子的优化后，都需要再重新计算b，及对应的Ei值。...综上，SMO算法的基本思想是将Vapnik在1982年提出的Chunking方法推到极致，SMO算法每次迭代只选出两个分量ai和aj进行调整，其它分量则保持固定不变，在得到解ai和aj之后，再用ai和aj...与通常的分解算法比较，尽管它可能需要更多的迭代次数，但每次迭代的计算量比较小，所以该算法表现出较好的快速收敛性，且不需要存储核矩阵，也没有矩阵运算。

1.3K7 0

深入机器学习系列之：高斯混合模型

从中心极限定理可以看出，高斯分布这个假设其实是比较合理的。 为什么我们要假设数据是由若干个高斯分布组合而成的，而不假设是其他分布呢？...在上面的概率公式中，我们假定mu和sigma均是已知的，它们的值来自于初始化值或者上一次迭代。 M-步。估计每个组件的参数。...3.2.2 EM算法求参数初始化后，就可以使用EM算法迭代求似然函数中的参数。迭代结束的条件是迭代次数达到了我们设置的次数或者两次迭代计算的对数似然值之差小于阈值。 ?...ExpectationSum是一个聚合类，它表示部分期望结果：主要包含对数似然值，权重值（第二章中介绍的pi），均值，方差。add方法的实现如下： ?...迭代执行以上的E-步和M-步，到达一定的迭代数或者对数似然值变化较小后，我们停止迭代。这时就可以获得聚类后的参数了。

8541 0

机器学习（16）——EM算法示例

求最大似然函数估计值的一般步骤：（1）写出似然函数；（2）对似然函数取对数，并整理；（3）求导数，令导数为0，得到似然方程；（4）解似然方程，得到的参数即为所求； EM算法解决这个的思路是使用启发式的迭代方法...以此类推，不断的迭代下去，直到模型分布参数基本无变化，算法收敛，找到合适的模型参数。从上面的描述可以看出，EM算法是迭代求解最大值的算法，同时算法在每一次迭代时分为两步，E步和M步。...我们注意点，还发现等号变成了不等号，为什么能这么变呢？这就是Jensen不等式的大显神威的地方。...EM的算法流程：初始化分布参数θ；重复以下步骤直到收敛： E步骤：根据参数初始值或上一次迭代的模型参数来计算出隐性变量的后验概率，其实就是隐性变量的期望。作为隐藏变量的现估计值： ?...和σ的值(假定x数据中的簇类别数目为2) :param x: 输入的特征矩阵x :param max_iter: 最大的迭代次数 :return: 返回一个五元组(pi, μ1

1.4K8 0

π 的美丽

这个场景很美，因为世界上大多数老师都像这里的芬奇先生一样努力成为一个好老师和一个有趣的老师。他对这门课的认知使讨论延伸到课本之外，并使学生在课堂上保持注意力集中。 ?...1882年，费迪南德·林德曼证明了pi是一个超越数，因为它不是代数；它不是一个具有有理系数的非常数多项式方程（“超越数”）。...多年来有数百名数学家一直试图找出pi的更多数字。这就像是试图登月，然后到下一个星球等等。但是为什么呢？为什么数学家们会费心计算更多的数字？为什么pi的34.1万亿位数还不够呢？...所以让计算机计算Pi被称为“压力测试”，并且可能会让它崩溃。 1962年9月12日，约翰·肯尼迪发表了一篇关于太空计划的演讲。他说： “迄今为止，外层空间没有争论，没有偏见，也没有国家冲突。...每次他这样做，他的估值就会变得更准确。阿基米德直到筋疲力尽才得到了一个96条边的正多边形[称为“正六边形”]。他发现那时的上下限分别是3.1408和3.1429。因此，他将π计算到小数点后两位。

9601 0

R语言初探强化学习中的马尔可夫模型

1. mdp_policy_iteration 基于策略迭代算法。 ? 2. mdp_policy_iteration_modified基于改良的策略迭代算法。...相对以前的迭代过程，原始的是当出现相同的策略时停止迭代，认为最优；改良后的认为值函数不再更新时停止迭代。 ? 3. mdp_value_iteration基于值函数迭代算法评估。...4. mdp_value_iterationGS 基于高斯-赛德尔值迭代寻找最优策略算法。...高斯-赛德尔迭代（Gauss–Seidel method）是数值线性代数中的一个迭代法，可用来求出线性方程组解的近似值。 ?...5. mdp_value_iteration_bound_iter 评估值迭代的迭代次数。看前面的计算结果，感觉是评估的高斯-赛德尔值迭代的迭代次数。 ?

2K2 0

【小白学优化】最小二乘法与岭回归&Lasso回归

【为什么用算数平均？】你事后一根烟的时候，思考，到底是谁规定的，算术平均值就是最好的答案？我为什么不能随机选择一个数字来作为真实长度呢？...我们假设真实长度为 ,然后五次测量结果是那么每一次测量的误差是阿德里安-马里·勒让德（1752－1833）提出让总的误差的平方最小的就是真值。...因此这里计算每一次测量的误差采用了平方损失，这也是二乘的来由现在我们把五次测量的误差都加起来，得到了：现在我们可以知道，x的值应该就是让上面的总误差最小的那个x，对x求导：可以化简得到：...是过拟合还是欠拟合，就看自己的选择了，同样的数据，选择了不同的f(x)，可以得到不同的拟合曲线。 ? 3 正态分布勒让德的猜想，也就是最小二乘法，这个证明并不能令人信服。...而这时最小二乘法之所以重要的原因，因为从分布上来说，如果想让误差服从正态分布，那么用最小二乘法来求解答案。至于为什么正态分布如此重要，就需要学习中心极限定理。在这里不加赘述。

1.7K2 0

【技术分享】高斯混合模型

为什么我们要假设数据是由若干个高斯分布组合而成的，而不假设是其他分布呢？... 初始化后，就可以使用EM算法迭代求似然函数中的参数。...迭代结束的条件是迭代次数达到了我们设置的次数或者两次迭代计算的对数似然值之差小于阈值。...权重值（第二章中介绍的pi），均值，方差。...迭代执行以上的 E-步和 M-步，到达一定的迭代数或者对数似然值变化较小后，我们停止迭代。这时就可以获得聚类后的参数了。

1.3K7 0

期望最大化（EM）算法：从理论到实战全解析

例子：在实施高斯混合模型的EM算法后，你会发现每次迭代都会导致似然函数的值增加（或保持不变），直到达到局部最大值。...通过深入探讨这些核心概念和步骤，我们能更全面地理解EM算法是如何工作的，以及为什么它在处理含有隐变量的复杂概率模型时如此有效。...一个高斯混合模型可能会用两个高斯分布来描述这两个簇，每个分布有自己的均值和方差。分量权重每个高斯分量在模型中都有一个权重（(\pi_k)），这个权重描述了该分量对整个数据集的“重要性”。...你将看到均值、方差和权重的参数在每次迭代后都会更新。...当这些参数不再显著变化时，我们可以认为算法已经收敛。输入：一维数据集，包含两个簇。输出：每次迭代后的均值、方差和权重。

8084 0

详解计算机视觉中的特征点检测：Harris SIFT SURF ORB

SIFT特征检测算法的特点： SIFT特征是图像的局部特征，对旋转、尺度缩放、亮度变化保持不变性，对视角变化、仿射变换、噪声也保持一定程度的稳定性信息量丰富，适用于在海量特征数据库中进行匹配多量性，...尺度伸缩不变性，对原来的信号加一个变换函数，对变换后的信号再进行高斯核的尺度空间生成，新的信号的极值点等特征是不变的。...如果想让X+Y能取到最大值，则X与Y能保持步调一致最好，即X上升时，Y也上升，X最大时，Y也最大。...SIFT特征对旋转、尺度缩放、亮度变化保持不变性，对视角变化、仿射变换、噪声也保持一定程度的稳定性。...BRIEF算法计算出来的是一个二进制串的特征描述符。它是在一个特征点的邻域内，选择n对像素点pi、qi（i=1,2,…,n）。然后比较每个点对的灰度值的大小。

3.8K3 0

深度学习基础知识（一）--- 权重初始化 --- 概念

1、为什么需要权重初始化？ ① 为了使神经网络在合理的时间内收敛 ② 为了尽量避免在深度神经网络的正向（前向）传播过程中层激活函数的输出梯度出现爆炸或消失。 2、如何进行初始化？...因此，这些参数在使用基于梯度的优化算法迭代后值依然相等。这样所有隐层的单元都是对称的了，很难学到什么有效的信息，之后的迭代也是如此。所以权重初始化不能将权重参数全部初始化为0，应打破这种对称性。...1) ②、高斯初始化：将参数初始化为高斯分布N(0,1) 上的随机值，pytorch的实现方案： torch.nn.init.normal_(tensor, mean=0, std=1) ③、常数初始化...使用fan_in保持weights的方差在前向传播中不变；使用fan_out保持weights的方差在反向传播中不变。...使用fan_in保持weights的方差在前向传播中不变；使用fan_out保持weights的方差在反向传播中不变。

2.1K3 1

机器学习降维算法汇总！

最近看了一些关于降维算法的东西，本文首先给出了七种算法的一个信息表，归纳了关于每个算法可以调节的(超)参数、算法主要目的等等，然后介绍了降维的一些基本概念，包括降维是什么、为什么要降维、降维可以解决维数灾难等...3.2 多维缩放(MDS) MDS的目标是在降维的过程中将数据的dissimilarity(差异性)保持下来，也可以理解降维让高维空间中的距离关系与低维空间中距离关系保持不变。...接着通过二分查找来确定 xi 对应的σi，使得代入上面的两个式子后等于Prep的值，因此这里的σ应该是个矢量。不太可能所有样本都共用一个高斯分布参数。...momentum项为了加速优化，大概的算法流程如下: 输入:N个D维向量，映射到二维或者三维，定值Perp，迭代次数T，学习率η，momentum项系数α(t) 输出:降维后数据表示z1,…,zN...Laplacian Eigenmaps拉普拉斯特征映射没有完整研究，但是看算法最后也是选择前d个最小非零特征值，这个很有意思，就是数学功底不好，暂时想不通为什么基于特征值的效果这么好。

4283 1

EM算法原理和应用

我们先介绍推导出 EM 算法的一般方法，再介绍另一种 EM 算法推导方法，最后将 EM 算法应用于高斯混合模型。...1.EM 算法的推导我们让 (\pmb{y}) 表示可见变量，(\pmb{x}) 表示隐变量，(\theta) 表示模型参数。...利用 F 函数推导 EM 算法性质 EM 算法两种推导方法的结果都是极大化 (Q(\theta,\theta^{i}) )。F 函数让 EM 算法的单调性和一致性比较直观。...让 (\pmb{\pi}) 表示多项分布的参数，(\pi_{i}) 表示第 i 个项目被选择的概率；让(\pmb{u}) 和 (\pmb{\sigma}) 分别表示高斯分布的期望和标准差, 其中(u_{...下面是实验结果，纵坐标是高斯混合模型的对数似然值的近似值，横坐标是 EM 算法的迭代次数。可以看到，随着 EM 算法的推进，对数似然值在上升。 ?

1.4K10 0

Hessian-Hamiltonian MC Rendering

(g)和(h)体现了本算法采样更好的遍历性(ergodicity)。(i)是高斯分布图，考虑了宽度，采样可以得到该高斯分布的解析解。...，然后执行MLT算法。因为重力的作用，新的样本往往具有较高的贡献值，则意味着较高的接受率。哈密顿力学需要满足的微分方程如下： ?...时，position-momentum空间保持不变，这样，我们不需要进行Jacobian determinant。能量守恒，势能和动能之间的互转，总能量不变，理论上接受率始终为1，完美了。...我们可以根据该高斯分布计算对应的pdf值，这里，我们记 ? ，表示从位置x到位置y： ? ?...这里，还有两个小问题，如何选择A和T，由公式(5)，我们发现，当我们让A等于协方差矩阵时，同时设置T等于 ? 时，公式(6)可得，在新的位置 ? 仍然保持相同的协方差A。

1.2K3 0

点击加载更多

扫码

添加站长进交流群

领取专属 10元无门槛券

手把手带您无忧上云

扫码加入开发者社群

相关资讯

热门标签

活动推荐

运营活动

活动名称

广告关闭