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为什么GNU Scientific不允许使用列多于行的矩阵进行奇异值分解？

GNU Scientific Library（GSL）是一个开源的数学库，提供了许多数学函数和算法的实现。在进行奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）时，GNU Scientific Library不允许使用列多于行的矩阵进行奇异值分解。

奇异值分解是一种重要的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。奇异值分解在数据降维、信号处理、图像压缩等领域有广泛的应用。

在奇异值分解中，矩阵A的行数表示样本数，列数表示特征数或维度。如果允许使用列多于行的矩阵进行奇异值分解，即特征数大于样本数，会导致以下问题：

矩阵A的秩不满秩：当特征数大于样本数时，矩阵A的秩将小于样本数，即矩阵A不是满秩矩阵。在奇异值分解中，要求矩阵A是满秩的，否则无法得到准确的奇异值和奇异向量。
无法计算逆矩阵：当矩阵A的秩不满秩时，矩阵A将不可逆，无法计算其逆矩阵。在奇异值分解中，需要计算矩阵A的逆矩阵，以求解奇异值和奇异向量，因此要求矩阵A是满秩的。

因此，为了保证奇异值分解的准确性和可行性，GNU Scientific Library不允许使用列多于行的矩阵进行奇异值分解。

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主成分分析（PCA）被广泛使用，但需要连续的、正态分布的数据；因此，它经常与scRNA-seq应用中的对数变换相结合，这可能会扭曲数据并掩盖有意义的变化。...近日《Scientific Reports》发表了一种基于计数的PCA替代方案：对应分析 (correspondence analysis，CA)，其基于卡方残差矩阵的分解，避免了失真的对数变换。...计数矩阵首先被变换为Pearson卡方残差，然后用奇异值分解（SVD）对所得残差矩阵进行分解。...使用矩阵分解进行scRNA-seq降维的图概述 CA的adaptations及其性能测试为了解决scRNAseq数据中的过度分散和高稀疏性，研究团队提出了五种CA的adaptations，其可扩展且性能优于标准...通过乘法进行矩阵投影是快速且可扩展的，即使对于非常大的数据集也是如此，并且在未来的扩展中，可以作为基于分解数据的代表性子集然后将整个矩阵投影到空间中的快速近似降维方法的基础。

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数据降维处理：PCA之奇异值分解（SVD）介绍

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矩阵分解: SVD-PCA

SVD算法即为奇异值分解法，相对于矩阵的特征值分解法，它可以对非方阵形式的矩阵进行分解，将一个矩阵A分解为如下形式： $ A=UΣV^T$ 其中： A代表需要被分解的矩阵，设其维度是$m×n$ U矩阵是被分解为的...]) another_matrix = np.dot(matrix, matrix.T) U, s, V = np.linalg.svd(another_matrix) # 使用奇异值分解法将矩阵进行分解...其中pca_eig()函数使用常规的特征值分解方法来求解，读者可以参照前面讲述的PCA算法过程来理解这段代码。pca_svd()函数是使用奇异值分解法来求解的。...**，所以C是对称矩阵，将其进行奇异值分解后可以表示为： $ C=UΣV^T$ 第二步，将经过中心化的样本矩阵X进行奇异值分解，可以得到： $ X=UΣV^T$ $X^TX \\ = (UΣV...的右奇异向量的压缩效果相同：如果取$V$的前$k$行作为变换矩阵$P{k×n}$ ，则 $Y{k×m}=P{k×n}X{n×m}$ ，起到压缩行即降维的效果如果取$U$的前$d$行作为变换矩阵$P{

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