从行的角度来看，三个三元一次方程表示三维空间中的三个平面，如果三个平面相交于一点，那么交点的坐标即为方程组的解。
前段时间过冷水在学习中遇到了一个解非线性方程组的问题，遇到非线性方程组的的问题过冷水果断一如既往、毫不犹豫的 fsolve()、feval()函数走起，直到有人问我溯本求源的问题——非线性方程组求解算法。
非线性迭代方法的理论基础是泰勒(Taylor)级数展开。 对于一关于x的非线性方程f(x)=0，其关于x0点的泰勒(Taylor)级数展开式为： 当从二阶开始截断，只保留前两项可得： 由于截断，只能得
线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
线性方程组，是任何标准大学数学教材讲解矩阵是都要用到的，并用它引出矩阵概念。之所以如此，可能有两个原因：一是因为我们在初中的时候就已经学习过线性方程组，对它不陌生，正所谓“温故而知新”；二是矩阵的确是为了求解线性方程组而被提出的。所以，此处也不免俗，依然从线性方程组开始，引出矩阵。
当 a\times d-b\times c=0 时 A 没有定义，A^{-1}不存在，则 A 是奇异矩阵。
解决线性方程组的最终目标是找到未知变量的值。这是带有两个未知变量的线性方程组的示例：
解决线性方程组的最终目标是找到未知变量的值。这是带有两个未知变量的线性方程组的示例，x并且y：
众所周知，高斯消元是线性代数中重要的一课。通过矩阵来解线性方程组。高斯消元最大的用途就是用来解多元一次方程组。
矩阵的初等变换这个概念可能在很多人听来有些陌生，但其实我们早在初中的解多元方程组的时候就用过它。只不过在课本当中，这种方法叫做消元法。我们先来看一个课本里的例子：
克莱姆法则（由线性方程组的系数确定方程组解的表达式）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组。
线性方程组是各个方程的未知元的次数都是一次的方程组。解这样的方程组有两种方法：克拉默法则和矩阵消元法。
对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，为偶数的的排列叫做偶排列；
上一讲我们对于线性方程组可以使用矩阵 Ax=b来表示，这一讲求解该等式，对于矩阵，使用矩阵消元法。
已知现在有M个广告主和N个广告词，其中每个单位流量的（广告主，广告词）收益固定，且每个广告主/广告词均有流量分配限制，问如何给（广告主，广告词）分配流量，使得收益达到最大。
首先我们要有一个概念，对于线性系统来说，有三种等价的变化，即这三种变换不会改变线性系统的解
行列式是数学中的一个函数，将一个的矩阵映射到一个标量，记作。 1 维基百科定义 行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下： 其中，S
这一节将要通过求解线性方程组引出矩阵的概念。 # gauss消元法 OUTLINE: 主要内容： - m个方程n个未知数的线性方程组 - 齐次、非齐次、解集合、特解、通解 - 消元过程（例子） - 矩阵 - 增广矩阵 - 阶梯型方程组 - 阶梯型矩阵 - 方程组的初等变换 - 矩阵的初等行变换 - 任一矩阵均可通过有限次初等变换化为阶梯型矩阵 - 带参数的方程组 相关： - 简化阶梯矩阵
r就是最简矩阵当中非零行的行数，它也被称为矩阵的秩。我们把A矩阵的秩记作: R(A),那些方程组中真正是干货的方程个数，就是这个方程组对应矩阵的秩，阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！
numpy.matrix方法的参数可以为ndarray对象 numpy.matrix方法的参数也可以为字符串str，示例如下：
物理坐标系和自然坐标系的坐标映射关系为 咋一看，这似乎是一个线性方程组。实际上并不是，这是一个非线性方程组（不是太明显），如果是C1或者C2级就有二次项了。事实上，研究非线性方程组远比线性方程组困难，
这篇文章写的算法是高斯消元，是数值计算里面基本且有效的算法之一：是求解线性方程组的算法。
$$ \begin{cases} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+a_{1n}x_n&=&b_1\\ &&&&\vdots\\ a_{n1}x_1&+&a_{n2}x_2&+&\cdots&+a_{nn}x_n&=&b_n& \end{cases} $$
有一说一，矩阵的数值算法不是那么简单的写，我这里会推荐一些学习的资源假如你愿意学的话。
但是，近日，来自佐治亚理工学院的华人学者彭泱（Richard Peng）却凭借“迭代猜测”策略，提出了一种能够更快求解线性方程组的方法，并因此获得 2021 年算法顶会 ACM-SIAM 的最佳论文奖！
一般理工科专业在本科都要学习微积分、线性代数、概率统计三门数学课程。微积分和概率统计两门课程的用途在学习过程中立竿见影。可是线性代数有什么用，初学者常常摸不到头脑。包括我本人大一时学习高等代数时也不太感兴趣。若干年之后对数学学科有了更深的整体性认识，返回头再看线性代数的确是非常重要。相信很多理工科学生是读研甚至工作之后才意识到线性代数的重要性。
BP算法是一种有监督式的学习算法，其主要思想是:输入学习样本，使用反向传播算法对网络的权值和偏差进行反复的调整训练，使输出的向量与期望向量尽可能地接近，当网络输出层的误差平方和小于指定的误差时训练完成，保存网络的权值和偏差。具体步骤如下: (1)初始化，随机给定各连接权[w],[v]及阀值θi，rt。 (2)由给定的输入输出模式对计算隐层、输出层各单元输出 bj=f(■wijai-θj) ct=f(■vjtbj-rt) 式中:bj为隐层第j个神经元实际输出;ct为输出层第t个神经元的实际输出;wij为输入层
BP算法是一种有监督式的学习算法，其主要思想是:输入学习样本，使用反向传播算法对网络的权值和偏差进行反复的调整训练，使输出的向量与期望向量尽可能地接近，当网络输出层的误差平方和小于指定的误差时训练完成，保存网络的权值和偏差。具体步骤如下:
研究了一些空间计算几何的相关算法，现在对《计算几何》这门科学有了更多的认识。以前，解决空间几何问题都是通过解析几何的角度来解决问题的(高中数学知识)，虽然解决思路比较直观，但是很多时候都要付出昂贵的代价，比如精度、效率，以及繁复的判断。而计算几何是通过向量来解决空间几何问题的，可以规避这些问题，使得精度和效率更高。
课程主页：http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_LA16.html
数学上定义:线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式,其在插值节点上的插值误差为0; 在图片上，我们利用线性插值的算法，可以减少图片的锯齿,模糊图片;
这一节我们会接着上一节，介绍完近端牛顿方法（Proximal Newton Method），剩下的时间会拿来介绍一些基本的矩阵论和数值计算的知识，用于对之后介绍高阶方法的铺垫～
的解，假如有解的话，我们可以将其分解成两部分，这样我们就可以利用上一讲的成果。即：
规定各元素之间有一个标准次序（比如从小到大为标准次序），在任一个排列中，当两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做 排列的逆序数。
相信只要是计算机专业出身的小伙伴，应该都上过线性代数。不知道大家大一在上这门课的时候，是否有怀疑过它的用途？至少当时老师和我说它在搜索引擎等许多黑科技当中广泛使用的时候，我是毫无概念的。学的时候也只是当做纯理论来学习，也没有太过深入的思考和理解。
用Python做数值计算，和MATLAB一样简洁方便，关键是Python还是免费的，不用担心版权的问题。下面举几个例子。 1.计算方阵行列式 在Anaconda代码编辑区输入以下代码，按F5运行，控制
摘录的一篇有关求解非线性最小二乘问题的算法–LM算法的文章，当中也加入了一些我个人在求解高精度最小二乘问题时候的一些感触：
前言： 线代知识点多，有点抽象，写的时候尽量把这些知识点串起来，如果不行，那就两串。其包含的几大对象为：向量，行列式，矩阵，方程组。 观点 核心问题是求多元方程组的解，核心知识：内积、秩、矩阵求逆，应用：求解线性回归、最小二乘法用QR分解，奇异值分解SVD，主成分分析（PCA）运用可对角化矩阵 向量 基础 向量：是指具有n个互相独立的性质(维度)的对象的表示，向量常 使用字母+箭头的形式进行表示，也可以使用几何坐标来表示向量。 单位向量：向量的模、模为一的向量为单位向量 内积又叫数量积
今天和大家聊一个非常重要，在机器学习领域也广泛使用的一个概念——矩阵的特征值与特征向量。
向量这个概念我们在高中就接触到了，它既指一个点在空间中的坐标，也表示一个有向线段，如果我们加入复数概念的话，它还能表示一个数。在线性代数当中，向量就是指的n个有次序的数
高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。 高斯消元法的原理是： 若用初等行变换将增广矩阵 化为 ，则AX = B与CX = D是同解方程
一、基本线性回归模型的抽象 在基本的线性回归中(可见简单易学的机器学习算法——线性回归(1))，对于一个线性回归为题，我们得到一个线性方程组： 在上一篇中我们是构建平方误差函数使得误差函数取得
向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
(a_{i,1} - a_{i,1} \times 1)x_1 + (a_{i,2} - a_{i,1} \times \dfrac{a_{1,2}}{a_{1,1}})x_2 + \ldots = b_i - a_{i,1} \times \dfrac{b_1}{a_{1,1}}
科学计算是科学、工程等项目中必不可少的，MATLAB 曾风光一时，但它是收费的，并且有“被禁”的风险——坚决反对用盗版软件，“被禁”不是盗版的理由。其实，Python ——开源、免费——是做科学计算的选择之一，它不仅能做 MATLAB 所能做的一切，还能做它不能做的。所以隆重推荐，在科学计算上选用 Python 。
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