代价函数，度量【假设集】的准确性。 机器学习中常用的代价函数，总结如下： 1 误差平方和函数 ? 说明：yi 是模型预测值，oi是样本实际值 2 交叉熵函数 ? 说明： n是批量训练的样本大小 W是模型f的参数 f函数表示xi样本预测为标签li的概率 3 负对数似然函数 ? 说明： D是训练集 θ 是模型的参数 ? 是第i个样本的输出值 ? 是第i个样本的输入值 思考环节： 1 代价函数和目标函数的差异是什么？ 2 回归算法的代价函数和目标函数分别是什么？
所以要求代价函数对参数可微。 代价函数、损失函数、目标函数并不一样，这一点后边再介绍，这篇文章就先只介绍代价函数。 损失函数： 计算的是一个样本的误差 代价函数： 是整个训练集上所有样本误差的平均 目标函数： 代价函数 + 正则化项 在实际中，损失函数和代价函数是同一个东西，目标函数是一个与他们相关但更广的概念 代价函数（Cost Function）： 在机器学习中，代价函数作用于整个训练集，是整个样本集的平均误差，对所有损失函数值的平均。 二、代价函数的作用： 1.为了得到训练逻辑回归模型的参数，需要一个代价函数，通过训练代价函数来得到参数。 2.用于找到最优解的目标函数。 只要设计的目标函数有下界，基本上都可以，代价函数非负更为方便。 五、代价函数分类 均方差代价函数 ? 这个是来自吴恩达的机器学习课程里面看到的损失函数，在线性回归模型里面提出来的。
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代价函数(Cost Function) 任何能够衡量模型预测出来的值h(θ)与真实值y之间的差异的函数都可以叫做代价函数C(θ)，如果有多个样本，则可以将所有代价函数的取值求均值，记做J(θ)。 Cost Function：代价函数。 Goal: 优化目标。代价最小化。 3.1 斜率为1时的代价函数 [image] （1）假设函数 x轴为面积，y轴为房价 假设函数 h(x) 对于一个固定的θ1，这是一个关于x 的函数。 所以这个假设函数就是一个关于 x 这个房子大小的函数。 （2）代价函数 x轴为假设函数的斜率，y即代价大小 代价函数 J 是一个关于参数 θ1 的函数，而 θ1 控制着这条直线的斜率 。 代价函数2:完整版 包含θ0、θ1两个参数的代价函数呈现出来的是类似下图的三维曲面图，两个轴分别表示θ0、θ1。
今天讨论群里有小伙伴指出来这个问题，特地去重新推导了一遍，在推导的时候应该乘以一个-1，但是之前我给忘了，在此更正！ 希望大家之后可以继续给指出错误！ imag...
这就是一次函数的代价函数 J(θ0, θ1)。看到这个复杂的函数有没有头很晕的感觉呢？如果晕，没关系，让我们一步步来分析这个函数。 为了说明代价函数是如何进行工作的，现在我们来简化一下问题，让 θ0=0，这样我们要求的拟合函数就是一条过原点的直线，参数就剩下一个 θ1，θ1 代表直线的斜率。 如何确定哪条直线拟合的最好呢，我们就要把 θ1 的不同取值带入到代价函数 J(θ1) 中（右图）。 这里我们就发现，当 θ1=1 时，代价函数值最小为 0，那么我们就找到了拟合函数 hθ(x)= θ1x 的最佳参数 θ1=1。 ? 如果有两个参数 θ0 和 θ1，那么他们的代价函数图像就是这样。 那么现在关键的问题来了，我个人比较懒，不希望每次都要我亲自处理这些数据，从代价函数图中找到最小值所在的点。有没有一种算法可以自动地求出使得代价函数最小的点呢？有，那就是梯度下降。
0x00 概述 代价函数（有的地方也叫损失函数，Loss Function）在机器学习中的每一种算法中都很重要，因为训练模型的过程就是优化代价函数的过程，代价函数对每个参数的偏导数就是梯度下降中提到的梯度 在学习相关算法的过程中，对代价函数的理解也在不断的加深，在此做一个小结。 0x01 什么是代价函数 ? 0x02 代价函数的常见形式 经过上面的描述，一个好的代价函数需要满足两个最基本的要求：能够评价模型的准确性，对参数θ可微。 2.3 神经网络中的代价函数 学习过神经网络后，发现逻辑回归其实是神经网络的一种特例（没有隐藏层的神经网络）。因此神经网络中的代价函数与逻辑回归中的代价函数非常相似： ? 0x03 代价函数与参数 代价函数衡量的是模型预测值h(θ) 与标准答案y之间的差异，所以总的代价函数J是h(θ)和y的函数，即J=f(h(θ), y)。
本公众号文章：第4节 认知过程与逻辑回归描述了逻辑回归的原理，并且从数学上推导了逻辑回归代价函数的公式，但为什么采用这个公式需要从信息论的角度去说明。 信息论研究的是信息的度量，存储和传输。 由美国数学家密码学家香农在1948年提出。信息论在信号处理，数据压缩，机器学习等领域有广泛应用。 信息论的核心是熵的概念，它是一种对信息不确定性的度量。信息的不确定性越大，则熵越大。 逻辑回归中，训练数据存在一个概率分布，我们将要优化的模型存在一个概率分布，我们希望这两个分布越接近越好，而交叉熵正是对两个概率分布差异性的度量。 因此，就不难理解为什么逻辑回归中采用交叉熵作为代价函数。 要理解信息论的概念，需要具有概率分布，条件概率等基本的数学基础。如果没有这方面基础，理解起来很困难。
神经网络的代价函数 回忆一下逻辑回归中的代价函数： ? 我们只要把代价函数的最小值找到，相对应的最好的参数也就被找到了。 那如果是神经网络呢？它可以做K分类的问题，那它的代价函数实质上就是把逻辑回归代价函数给一般化了。如下图： ? 看上去有点复杂，但其本质上还是说这个网络对于输入的一个向量给出的预测值与实际值之间的差距的一种衡量手段，如果能让代价函数最小也对应的能让这个网络算的最准。这个思想是贯穿在所有机器学习代价函数中的。 那么，我们对于神经网络的预测的准确性的一个衡量，就可以通过对于代价函数的大小来进行衡量了。而求一个函数的最小值，这个事我们是有经验的。 而代价函数后面这一项，就是神经网络的正则化项而已，也就是对整个神经网络（所有层）中所有的参数的一个求和处理（排除了每一层的偏移量）。 ?
注：代价函数（有的地方也叫损失函数，Loss Function）在机器学习中的每一种算法中都很重要，因为训练模型的过程就是优化代价函数的过程，代价函数对每个参数的偏导数就是梯度下降中提到的梯度，防止过拟合时添加的正则化项也是加在代价函数后面的 因此很容易就可以得出以下关于代价函数的性质： 对于每种算法来说，代价函数不是唯一的； 代价函数是参数θ的函数； 总的代价函数J(θ)可以用来评价模型的好坏，代价函数越小说明模型和参数越符合训练样本(x, 由于需要求偏导，我们可以得到另一个关于代价函数的性质： 选择代价函数时，最好挑选对参数θ可微的函数（全微分存在，偏导数一定存在） 2. 代价函数与参数 ---- 代价函数衡量的是模型预测值h(θ) 与标准答案y之间的差异，所以总的代价函数J是h(θ)和y的函数，即J=f(h(θ), y)。 图2：代价函数J(θ)随参数的变化而变化 从图中可以很直观的看到θ对代价函数的影响，当θ1=1时，代价函数J(θ)取到最小值。
我们只需要在线性回归模型的代价函数基础上做一下这样的修改即可作为一种代价函数： ? 但是因为我们的假设函数是sigmoid函数，所以最后我们上图中的代价函数的图形可能会变成这样一个丑陋的样子： ? 这个代价函数又好看、又有一条非常优秀的性质：如果y=1，假设函数预测出来的值也等于1的时候，代价函数就等于0；而当y=1，假设函数预测出来的值为0的时候，代价函数就变成∞了。 换句话说，假设函数的值越接近于1（即越接近于真实值）代价函数越小。 那当y=0的时候，代价函数的图像是怎么一个样子呢？ ? 因为在y=0时，因为对代价函数的形式做了改变。 这个时候的代价函数的取值和y=1时具有同样优秀的性质。即：当假设函数预测值也为0时（即预测准确），代价函数的取值为0，当预测值越偏离实际值（接近于1）时，代价函数的取值越大（趋近于∞）。 通过这样一个代价函数，我们就使得预测值越接近于实际值时代价函数的取值越小、反之越大，而且也很光滑。这样的代价函数正是我们想要的。 总结 逻辑回归的代价函数到底是怎么想出来的，已经超出了这门课的范畴。
线性回归、代价函数和梯度下降法 线性回归预测函数： 逻辑回归预测函数： 线性回归损失函数： 逻辑回归损失函数： 如果直接使用线性回归的MSE会让逻辑回归的代价函数变成非凸函数 1.1 代价函数(cost function) 求(预测值-真实值)差的平方的和，也就是SSE的最小值min\displaystyle\sum^{m}{i=1}(\hat{y}_i-y{i})^2 ，最终影响结果 如果刚好初始化值为局部最小值，则代价函数J_\theta的值为0 梯度下降时，学习率\alpha不需要变更，因为在梯度下降的过程中，代价函数的梯度\partial_{J}会随着慢慢下降而减小 ，所以梯度下降的速度也会减缓 线性回归的代价函数求导后得到(二元梯度下降)： 其中\theta_{0}为常数 image.png MSE梯度下降公式： 多元梯度下降： 1.2.2 凸函数(convex 正确的学习率： 错误的学习率： 方法1：(推荐)运行过程中，根据迭代次数和代价函数的值/导数(下降速度)来判断梯度是否有效下降/收敛，也就是上述绘制曲线，通过看曲线的方式 方法2：设定一个阈值，当代价函数变化值小于该阈值则停止训练
given the living area, we wanted to predict if a dwelling is a house or an apartment, say) 简单的介绍了一下数据集的表示方法 ，并且提出来h（hypothesis），即通过训练得出来的一个假设函数，通过输入x，得出来预测的结果y。 并在最后介绍了线性回归方程 2 代价函数 - Cost Function 代价函数是用来测量实际值和预测值精确度的一个函数模型. 首先需要搞清楚假设函数和代价函数的区别 当假设函数为线性时，即线性回归方程，其由两个参数组成：theta0和theta1 ? ? 我们要做的就是选取两个参数的值，使其代价函数的值达到最小化 ? ? 3 代价函数(一) ?
本文将介绍信息量，熵，交叉熵，相对熵的定义，以及它们与机器学习算法中代价函数的定义的联系。 1. 信息量 信息的量化计算： ? 因此，我们想要寻找⼀个基于概率p(x)计算信息量的函数h(x)，它应该具有如下性质： h(x) >= 0，因为信息量表示得到多少信息，不应该为负数。 x, y) = h(x) + h(y)，也就是说，对于两个不相关事件x和y，我们观察到两个事件x, y同时发⽣时获得的信息应该等于观察到事件各⾃发⽣时获得的信息之和； h(x)是关于p(x)的单调递减函数 根据不相关事件概率可乘、信息量可加，很容易想到对数函数，看出h(x)⼀定与p(x)的对数有关。因此，有 ? 满足上述性质。 2. 机器学习中的代价函数与交叉熵 image.png Ref: 《模式识别与机器学习》1.6节 http://blog.csdn.net/rtygbwwwerr/article/details/50778098
即交叉熵对所有训练输入在σ(z)=y时仍然是最小化的\large \color{blue}{即交叉熵对所有训练输入在σ(z) = y 时仍然是最小化的} 问题四 用上一章的定义符号,证明对二次代价函数 证明对于交叉熵代价函数,针对一个训练样本 x 的输出误差 δ L 为 δL=aL−yδ^L = a^L − y δL=∂C∂aLσ′(zL)\large \color{blue}{δ^L = \ 证明 如果我们使用二次代价函数,那么对单个训练样本 x 的输出误差就是 δL=aL−yδ^L = a^L − y δL=∂C∂aLσ′(zL)\large \color{blue}{δ^ blue}{=a^L - y } =1n∑x(aLj−yj)\large \color{blue}{= \frac{1}{n}∑_x (a_j^L − y_j )} 问题六 我们已经深入讨论了使用二次代价函数的网络中在输出神经元饱和时候学习缓慢的问题 解释为何不可以通过改变代价函数来消除 x j 项的影响。 我们本身就像想通过xjx_j的数据输入来学习，如歌可以通过改变代价函数来消除xjx_j项的影响，那么训练数据对学习就无任何意义了。
本文将介绍信息量，熵，交叉熵，相对熵的定义，以及它们与机器学习算法中代价函数的定义的联系。 因此，我们想要寻找⼀个基于概率p(x)计算信息量的函数h(x)，它应该具有如下性质： h(x) >= 0，因为信息量表示得到多少信息，不应该为负数。 根据不相关事件概率可乘、信息量可加，很容易想到对数函数，看出h(x)⼀定与p(x)的对数有关。因此，有 ? 满足上述性质。 2. 机器学习中的代价函数与交叉熵 若 ? 是数据的真实概率分布， ? 是由数据计算得到的概率分布。机器学习的目的就是希望 ? 尽可能地逼近甚至等于 ? ，从而使得相对熵接近最小值0. q的0-1分布，即X∼B(1,q) p(x = 1) = h(x) p(x = 0) = 1-h(x) 其中h(x)为logistic regression的假设函数。
还记得我们原来在线性回归中学过的代价函数吗？ ? 我们把黄色部分用函数的形式来表示： ? 如果我们在逻辑回归中也用这个代价函数去拟合参数行不行呢？答案是不行。 因为这个代价函数在逻辑回归中的图像是这个样子的： ? 这是一个非凸函数，有多个局部最优解，运用梯度下降算法并不会收敛到它的全局最优解，这样就达不到我们预期的效果。那该怎么办呢？ 让我们来学习逻辑回归中的代价函数吧。 逻辑回归的代价函数是这样的： ? 让我们具体的看一下它的工作原理。 当 y = 1 时，Cost(hθ(x), y) 函数的图像是一个对数函数，如下： ? 上面代价函数的书写形式是一个分段函数，我们可以简化一下这个代价函数： ? 这个形式与上面那个等价。 我们如何自动地去拟合参数 θ 呢？ 你是不是想到了我们之前在线性回归中学到的减小代价函数去拟合参数 θ 的方法——梯度下降。在逻辑回归中，我们依然可以运用这个方法。 ?
学习计算代价函数 直观理解梯度下降 线性回归---预测房价 正文开始 ? 1.代价函数 数理统计中我们常用方差衡量一组数据的离散程度，线性回归中则是通过计算样本集中所有的预测值y与所有对应的真实值Y的方差，比较他们的拟合程度。 ? 以一元线性回归为例 ? 三个样本（1,1）（2,2）（3,3） 初始化参数 θ0=0 θ1=0.5 关于 θ0 θ1 的代价函数为： ? 解释：上标（i）代表样本序号，m代表样本数量 ? 得到代价函数后，调整参数使它们拟合，一种常用的让代价函数J的值最小的方法叫作梯度下降。 2.梯度下降 举例来看，根据某组数据计算得到的参数为 θ0 θ1的代价函数绘制为下图 ? ? 对代价函数J求出θ0 θ1各自的偏导数，然后同时更新（同时更新非常关键），乘上学习率ɑ得到“要下降的高度”自减即完成一次更新，直到拟合为止。 ?
实际上，甚⾄将这个定义看做是代价函数也不是显⽽易⻅的！在解决学习缓慢前，我们来看看交叉熵为何能够解释成⼀个代价函数。 将交叉熵看做是代价函数有两点原因。 第⼀，它是⾮负的， C > 0。 这些其实就是我们想要的代价函数的特性。其实这些特性也是⼆次代价函数具备的。所以，交叉熵就是很好的选择了。但是交叉熵代价函数有⼀个⽐⼆次代价函数更好的特性就是它避免了学习速度下降的问题。 为了弄清楚这个情况，我们来算算交叉熵函数关于权重的偏导数。 特别地，这个代价函数还避免了像在⼆次代价函数中类似⽅程中{\varsigma}'(z)导致的学习缓慢。 我这⾥不再给出详细的过程，你可以轻易验证得到： \frac{\partial C}{\partial b}=\frac{1}{n}\sum ({\varsigma}(z)-y) 再⼀次, 这避免了⼆次代价函数中类似
实际上，甚⾄将这个定义看做是代价函数也不是显⽽易⻅的！在解决学习缓慢前，我们来看看交叉熵为何能够解释成⼀个代价函数。 将交叉熵看做是代价函数有两点原因。 第⼀，它是⾮负的， C > 0。 这些其实就是我们想要的代价函数的特性。其实这些特性也是⼆次代价函数具备的。所以，交叉熵就是很好的选择了。但是交叉熵代价函数有⼀个⽐⼆次代价函数更好的特性就是它避免了学习速度下降的问题。 为了弄清楚这个情况，我们来算算交叉熵函数关于权重的偏导数。 特别地，这个代价函数还避免了像在⼆次代价函数中类似⽅程中ς′(z){\varsigma}'(z)导致的学习缓慢。 你可以轻易验证得到： ∂C∂b=1n∑(ς(z)−y)\frac{\partial C}{\partial b}=\frac{1}{n}\sum ({\varsigma}(z)-y) 再⼀次, 这避免了⼆次代价函数中类似
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