代价函数，度量【假设集】的准确性。 机器学习中常用的代价函数，总结如下： 1 误差平方和函数 ? 说明：yi 是模型预测值，oi是样本实际值 2 交叉熵函数 ? 说明： n是批量训练的样本大小 W是模型f的参数 f函数表示xi样本预测为标签li的概率 3 负对数似然函数 ? 说明： D是训练集 θ 是模型的参数 ? 是第i个样本的输出值 ? 是第i个样本的输入值 思考环节： 1 代价函数和目标函数的差异是什么？ 2 回归算法的代价函数和目标函数分别是什么？
代价函数是学习模型优化时的目标函数或者准则，通过最小化代价函数来优化模型。 到目前为止，接触了一些机器学习算法，但是他们使用的代价函数不一定是一样的，由于，在现实的使用中，通常代价函数都需要自己来确定，所以，这里总结一下，代价函数都有哪些形式，尽量揣测一下，这样使用的原因。 这个形式的代价函数计算Jacobian矩阵如下： 2. 对数损失函数 对数似然作为代价函数是在RNN中看到的，公式如下： 表示真实目标在数据集中的条件概率的负对数。 同理，对于softmax回归的概率函数为 未添加权重惩罚项的代价函数为 3.交叉熵 交叉熵在神经网络中基本都用交叉熵作为代价函数。 这和逻辑回归的代价函数很像，y作为真实的目标（label），不一定是二值的，且a不是预测目标的概率，而是神经网络的输出， 它的原理还不是很明白，据说在神经网络中用交叉熵而不用均方差代价函数的原因是早期的神经元的激活函数是
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3.1 代价函数（cost function） 代价函数有助于将最可能的线性函数与我们的数据相拟合。 按照惯例，我们定义一个代价函数J，如下图所示，我们要做的是对Ɵ0和Ɵ1求J的最小值，J就是代价函数。 3.1.1 代价函数Intuition I 上面我们介绍了代价函数数学上的定义，在这里让我们通过一些例子来获取一些直观的感受，看看代价函数到底是在干什么？ 试着更好的理解代价函数这个概念，我们需要理解这两个重要的函数，一个是假设函数，一个是代价函数。 在下图的右边是对应的代价函数，要注意的是我们的代价函数是关于θ1的函数，当我们描述代价函数的时候，横轴表示的是θ1，J（1）等于0，我们有了一个点，我们来看其他一些样本，θ1可以被设定为某个范围内的各种取值
各种损失函数的优缺点详解 损失函数或者代价函数的目的是：衡量模型的预测能力的好坏。 代价函数(Cost function)：是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和的平均，有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。 模型在训练阶段会拟合出一个函数，其中的函数是包含参数的。 损失函数或者代价函数越小越好，也就说明预测值和标签的值越接近，模型的预测能力越强。 但是如何才能让损失函数或者代价函数的值得到优化，换句话说，优化的就是模型拟合出的函数参数，通过寻找合适参数实现模型的预测能力变强的梦想，如何寻找优秀的参数值，那就需要梯度下降出场解救模型能力。 对我们之前的线性回归问题运用梯度下降法，关键在于求出代价函数的导数，即： 梯度下降的目的：寻找拟合函数参数的最优值。
，也称为假设（hypothesis） 在这个问题中，我们的特征也就是输入变量只有x（房屋面积），因此，我们学习算法的解决方案或函数为：h(x)=θ0+xθ1。 我们建模的最终目标就是使得这个误差达到最小化，那么如何评判这个误差呢，那就是代价函数（Cost Function）。 二、代价函数 在一般的回归问题中，代价函数一般采用均方误差（Mean Square Error，MSE）函数，它表示为： 那么，我们的假设函数h(x)=θ0+xθ1和代价函数之间有什么联系呢? 在假设函数中，有两个参数θ0和θ1我们是未知的，而这两个参数恰恰决定了模型预测的准确度，也就是说，代价函数是和这两个参数有直接关系的，我们将代价函数、θ0和θ1绘制在一个三维等高线图中。 当然，上述的均方误差MSE只是众多代价函数中的一个，还有许多代价函数的计算方法，在之后的学习中，我会再把链接贴出来。 · END · 一个有理想、有热血的吉吉 ----
所以要求代价函数对参数可微。 代价函数、损失函数、目标函数并不一样，这一点后边再介绍，这篇文章就先只介绍代价函数。 损失函数： 计算的是一个样本的误差 代价函数： 是整个训练集上所有样本误差的平均 目标函数： 代价函数 + 正则化项 在实际中，损失函数和代价函数是同一个东西，目标函数是一个与他们相关但更广的概念 代价函数（Cost Function）： 在机器学习中，代价函数作用于整个训练集，是整个样本集的平均误差，对所有损失函数值的平均。 二、代价函数的作用： 1.为了得到训练逻辑回归模型的参数，需要一个代价函数，通过训练代价函数来得到参数。 2.用于找到最优解的目标函数。 只要设计的目标函数有下界，基本上都可以，代价函数非负更为方便。 五、代价函数分类 均方差代价函数 ? 这个是来自吴恩达的机器学习课程里面看到的损失函数，在线性回归模型里面提出来的。
代价函数 在监督学习的回归问题中，代价函数就是用于找到最优解的目的函数，反应了预测函数的准确性。代价函数的值越小，说明在回归问题的中，计算机程序对数据拟合的越好。也就是假设函数越正确。 那么我们怎么来判断这些参数是否选取的更好，假设函数是否更准确呢？这时候就要用代价函数来反映这些问题。 然后我们不断改变参数θ1的值：…-0.5….0….0.5….1.5….2… 对代价函数作图： 然后我们知道代价函数的值越小，说明参数θ1选取的越好，假设函数预测就越准确。 上面是一个参数的假设函数，如果有两个参数的假设函数的话，他的代价函数图像是这样的三维立体图： 我们可以找到在图像的最低点，也就是代价函数的最小值。 那么这个时候我们就通过判断取得代价函数最小值的时候，来 选择假设函数的参数。
我们来复习上一节的知识： 假设函数： h θ ( x ) = θ 0 + θ 1 x h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x hθ(x)=θ0+θ1x 参数： θ 0 , θ 1 \theta_0,\theta_1 θ0,θ1 代价函数： J ( θ 0 , θ 1 ) = 1 2 m ∑ i = 1 i = m ( h ( x i ) − y i ) 2 J(\ ,\theta_1 θ0,θ1值 做一个简化，令： h θ ( x ) = θ 1 x h_\theta(x)=\theta_1x hθ(x)=θ1x 我们可以画出假设函数和代价函数的值
代价函数 梯度下降 什么是代价函数？大家都知道误差。误差就是实际值与预测值之间的差别。 损失函数（Loss Function ）是定义在单个样本上的，算的是一个样本的误差。 代价函数（Cost Function ）是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是损失函数的平均。 概况来讲，任何能够衡量模型预测出来的值h(θ)与真实值y之间的差异的函数都可以叫做代价函数C(θ)，如果有多个样本，则可以将所有代价函数的取值求均值，记做J(θ)。 因此很容易就可以得出以下关于代价函数的性质： 对于每种算法来说，代价函数不是唯一的； . 代价函数是参数θ的函数； 3 .总的代价函数J(θ)可以用来评价模型的好坏，代价函数越小说明模型和参数越符合训练样本(x, y)； 4 .J(θ)是一个标量； 对于线性回归来说 m：训练样本的个数
在开始之前，我们先回顾一下代价函数（Cost Function），用三维图像表示一个代价函数如下 在这个三维空间中，存在一个点，使代价函数J达到最小，换一个图像表示法： 那么我们真正需要的是一种有效的算法 ，能够自动的找出令代价函数最小化的参数。 梯度下降（Gradient Descent），就是一种用来求函数最小值的算法。 梯度下降的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合 ，计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。 梯度下降的算法公式如下： 其中α是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大，在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数 这就是梯度下降算法，你可以用它来最小化任何代价函数J，不只是线性回归中的代价函数J。 · END · 一个有理想、有热血的吉吉 ----
今天讨论群里有小伙伴指出来这个问题，特地去重新推导了一遍，在推导的时候应该乘以一个-1，但是之前我给忘了，在此更正！ 希望大家之后可以继续给指出错误！ imag...
代价函数(Cost Function) 任何能够衡量模型预测出来的值h(θ)与真实值y之间的差异的函数都可以叫做代价函数C(θ)，如果有多个样本，则可以将所有代价函数的取值求均值，记做J(θ)。 Cost Function：代价函数。 Goal: 优化目标。代价最小化。 所以这个假设函数就是一个关于 x 这个房子大小的函数。 （2）代价函数 x轴为假设函数的斜率，y即代价大小 代价函数 J 是一个关于参数 θ1 的函数，而 θ1 控制着这条直线的斜率 。 代价函数2:完整版 包含θ0、θ1两个参数的代价函数呈现出来的是类似下图的三维曲面图，两个轴分别表示θ0、θ1。 小结 通过这些图形，本篇文章主要是帮助理解这些代价函数 J 所表达的值；它们是什么样的它们对应的假设是什么样的；以及什么样的假设对应的点更接近于代价函数J的最小值。
这就是代价函数（Cost Function）登场的时刻了。 ? 这就是一次函数的代价函数 J(θ0, θ1)。看到这个复杂的函数有没有头很晕的感觉呢？如果晕，没关系，让我们一步步来分析这个函数。 为了说明代价函数是如何进行工作的，现在我们来简化一下问题，让 θ0=0，这样我们要求的拟合函数就是一条过原点的直线，参数就剩下一个 θ1，θ1 代表直线的斜率。 如何确定哪条直线拟合的最好呢，我们就要把 θ1 的不同取值带入到代价函数 J(θ1) 中（右图）。 这里我们就发现，当 θ1=1 时，代价函数值最小为 0，那么我们就找到了拟合函数 hθ(x)= θ1x 的最佳参数 θ1=1。 ? 如果有两个参数 θ0 和 θ1，那么他们的代价函数图像就是这样。 那么现在关键的问题来了，我个人比较懒，不希望每次都要我亲自处理这些数据，从代价函数图中找到最小值所在的点。有没有一种算法可以自动地求出使得代价函数最小的点呢？有，那就是梯度下降。
---- 文章目录 一、代价函数概述 二、代价函数的原理 三、常见的代价函数 1. 二次代价函数(quadratic cost) 2. 交叉熵代价函数(cross-entropy) 3. 对数似然代价函数(log-likelihood cost) 四、二次代价函数与交叉熵代价函数比较 ---- 在机器学习和深度学习中，经常听到代价函数这个词，到底什么是代价函数？ 所以要求代价函数对参数可微。 代价函数、损失函数、目标函数并不一样，这一点后边再介绍，这篇文章就先只介绍代价函数。 二、代价函数的原理 在回归问题中，通过代价函数来求解最优解，常用的是平方误差代价函数。 四、二次代价函数与交叉熵代价函数比较 1.当我们用sigmoid函数作为神经元的激活函数时，最好使用交叉熵代价函数来替代方差代价函数。
假设拟合直线为 ，代价函数（cost function）记为 则代价函数： 为什么代价函数是这个呢？ 首先思考：什么是代价？ 如果我们直接使用 ，这个公式看起来就是表示假设值和实际值只差，再将每一个样本的这个差值加起来不就是代价了吗，但是想一下，如果使用这个公式，那么就单个样本而言，代价有正有负，全部样本的代价加起来有可能正负相抵 ，所以这并不是一个合适的代价函数。 所以为了解决有正有负的问题，我们使用 ，即绝对值函数来表示代价，为了方便计算最小代价（计算最小代价可能用到最小二乘法），我们直接使用平方来衡量代价，即使用 来表示单个样本的代价，那么一个数据集的代价为 仔细想想，其实很容易想到，代价函数应该与样本的数量有关，否则一个样本和n个样本的差距平方和之间的比较也没有多少意义，所以将 乘以 ，即代价函数为： ，这里取2m而非m，是为了方便计算。
0x00 概述 代价函数（有的地方也叫损失函数，Loss Function）在机器学习中的每一种算法中都很重要，因为训练模型的过程就是优化代价函数的过程，代价函数对每个参数的偏导数就是梯度下降中提到的梯度 在学习相关算法的过程中，对代价函数的理解也在不断的加深，在此做一个小结。 0x01 什么是代价函数 ? 0x02 代价函数的常见形式 经过上面的描述，一个好的代价函数需要满足两个最基本的要求：能够评价模型的准确性，对参数θ可微。 2.3 神经网络中的代价函数 学习过神经网络后，发现逻辑回归其实是神经网络的一种特例（没有隐藏层的神经网络）。因此神经网络中的代价函数与逻辑回归中的代价函数非常相似： ? 0x03 代价函数与参数 代价函数衡量的是模型预测值h(θ) 与标准答案y之间的差异，所以总的代价函数J是h(θ)和y的函数，即J=f(h(θ), y)。
在介绍交叉熵代价函数之前，本文先简要介绍二次代价函数，以及其存在的不足。 1. 二次代价函数的不足 ANN的设计目的之一是为了使机器可以像人一样学习知识。 其实，误差大导致训练缓慢的原因在于使用了二次代价函数。二次代价函数的公式如下： 其中，C表示代价，x表示样本，y表示实际值，a表示输出值，n表示样本的总数。 交叉熵代价函数 换个思路，我们不换激活函数，而是换掉二次代价函数，改用交叉熵代价函数： 其中，x表示样本，n表示样本的总数。 同理可得，b的梯度为： 实际情况证明，交叉熵代价函数带来的训练效果往往比二次代价函数要好。 3. 交叉熵代价函数是如何产生的？ 以偏置b的梯度计算为例，推导出交叉熵代价函数： 在第1小节中，由二次代价函数推导出来的b的梯度公式为： 为了消掉该公式中的 ，我们想找到一个代价函数使得： 即： 对两侧求积分，可得：
注：代价函数（有的地方也叫损失函数，Loss Function）在机器学习中的每一种算法中都很重要，因为训练模型的过程就是优化代价函数的过程，代价函数对每个参数的偏导数就是梯度下降中提到的梯度，防止过拟合时添加的正则化项也是加在代价函数后面的 因此很容易就可以得出以下关于代价函数的性质： 对于每种算法来说，代价函数不是唯一的； 代价函数是参数θ的函数； 总的代价函数J(θ)可以用来评价模型的好坏，代价函数越小说明模型和参数越符合训练样本(x, 由于需要求偏导，我们可以得到另一个关于代价函数的性质： 选择代价函数时，最好挑选对参数θ可微的函数（全微分存在，偏导数一定存在） 2. 代价函数与参数 ---- 代价函数衡量的是模型预测值h(θ) 与标准答案y之间的差异，所以总的代价函数J是h(θ)和y的函数，即J=f(h(θ), y)。 图2：代价函数J(θ)随参数的变化而变化 从图中可以很直观的看到θ对代价函数的影响，当θ1=1时，代价函数J(θ)取到最小值。
线性回归、代价函数和梯度下降法 线性回归预测函数： 逻辑回归预测函数： 线性回归损失函数： 逻辑回归损失函数： 如果直接使用线性回归的MSE会让逻辑回归的代价函数变成非凸函数 1.1 代价函数(cost function) 求(预测值-真实值)差的平方的和，也就是SSE的最小值min\displaystyle\sum^{m}{i=1}(\hat{y}_i-y{i})^2 梯度下降公式： 1.2.1 参数梯度下降实现步骤/方法 正确的梯度更新应该是多个参数同步更新（先获取下降梯度再更新参数），否则会影响在其他参数的更新，最终影响结果 如果刚好初始化值为局部最小值，则代价函数 J_\theta的值为0 梯度下降时，学习率\alpha不需要变更，因为在梯度下降的过程中，代价函数的梯度\partial_{J}会随着慢慢下降而减小，所以梯度下降的速度也会减缓 线性回归的代价函数求导后得到 正确的学习率： 错误的学习率： 方法1：(推荐)运行过程中，根据迭代次数和代价函数的值/导数(下降速度)来判断梯度是否有效下降/收敛，也就是上述绘制曲线，通过看曲线的方式 方法2：设定一个阈值，当代价函数变化值小于该阈值则停止训练
我们只需要在线性回归模型的代价函数基础上做一下这样的修改即可作为一种代价函数： ? 但是因为我们的假设函数是sigmoid函数，所以最后我们上图中的代价函数的图形可能会变成这样一个丑陋的样子： ? 这个代价函数又好看、又有一条非常优秀的性质：如果y=1，假设函数预测出来的值也等于1的时候，代价函数就等于0；而当y=1，假设函数预测出来的值为0的时候，代价函数就变成∞了。 换句话说，假设函数的值越接近于1（即越接近于真实值）代价函数越小。 那当y=0的时候，代价函数的图像是怎么一个样子呢？ ? 因为在y=0时，因为对代价函数的形式做了改变。 这个时候的代价函数的取值和y=1时具有同样优秀的性质。即：当假设函数预测值也为0时（即预测准确），代价函数的取值为0，当预测值越偏离实际值（接近于1）时，代价函数的取值越大（趋近于∞）。 通过这样一个代价函数，我们就使得预测值越接近于实际值时代价函数的取值越小、反之越大，而且也很光滑。这样的代价函数正是我们想要的。 总结 逻辑回归的代价函数到底是怎么想出来的，已经超出了这门课的范畴。
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