强连通图：有向图G中，对于任意的两个点之间x,y，都存在x到y的路径，为强连通图； 弱连通图：将有向图的所有的有向边替换为无向边，所得到的图称为原图的基图。...极小连通子图：（无向图） 一个连通图的生成树是该连通图的极小连通子图；（同一个连通图有不同的生成树，所以生成树不是唯一的，最小生成树是唯一的）； 极小连通子图是个连通图； 极小连通子图中，顶点个数为n,...非强连通图的极大连通子图叫做强连通分量； 最小生成树：一个有n个节点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含了原图中的所有n个节点，并且有保持图连通的最少的边；最少生成树可以使用Kruskal算法和...Prim算法：此算法可以称为加点法，使用贪心思想进行求解，Vnew Vold-new 之间，代价最小的边对应的点，加入到Vnew之中；算法从任意一节点开始，知道Vnew中包含所有的点； 图中所有顶点集合...Kruskal算法：此算法可称为加边法；初始生成树边数为0，每次就选择一条满足条件的最小代价的边，加入到生成树的边集合中； 把图中的所有边按代价从小到大排序； 把图中的n个顶点，看成独立的n棵树组成的森林
3）关节点至少要与两个节点相连（如果只和一个节点相连，则是叶子节点，其是否断开不影响图的连通性）。...将每个区域看成一个节点，区域之间看成无向图的边，每两个点之间的耗费看成边的权，则该问题化简为求一个无向图考虑到权值情况下的的最小生成树。...2、概念 1）生成树的代价：各边权值的和，代价最小时称为最小生成树。...则TE包含n-1条边，T=(V, {TE})是最小生成树。 该算法需要引入一个二维数组，记录任意两个顶点之间的权值，如果两个顶点没有连接，则权值为无穷大。...'; 题外话：两种最小生成树算法，Prim以节点为切入点获取最小生成树，Kruskal以边为切入点获取最小生成树。
无向图：若图的每条边都没有方向，则称该图为无向图。 有向图：若图的每条边都有方向，则称该图为有向图。 顶点的度： 对于无向图，顶点的度表示以该顶点作为一个端点的边的数目。...带权有向图的最短路径长度：源点Vm到终点Vn的所有路径中，权值和最小的路径是最短路径，其长度是最短路径长度。 完全图：任意两个顶点都相连的图称为完全图，又分为无向完全图和有向完全图。...连通图：在无向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该无向图为连通图。 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。...算法步骤： 把图中的所有边按代价从小到大排序； 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林； 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,vi，ui,vi应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边...因此，问题转化为：判断无向图中的两个节点是否连通，不需要返回具体连通路径。 判断图中两节点是否连通的问题，一般我们会首选并查集算法。 该算法将所有节点以整数表示，编号为0~N-1。
边权和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树（Minimum Spanning Tree,MST）。 二、定理&推论 1.任意一棵最小生成树一定包含无向图中权值最小的边。 证：反证法。...假设无向图存在一棵不包含权值最小边的最小生成树。...若再从剩下的 m-k 条边中选 n-1-k 条添加到生成森林中，使其成为 G 的生成树，并且保证后选的边权值之和最小，则该生成树一定包含这 m-k 条边中连接生成森林的两个不连通节点的权值最小的边。...暂时不太知道怎么应用这两个结论证明下文的两个算法，这里仅做介绍 三、Kruskal算法 Kruskal总是维护无向图的最小生成森林。...任意时刻，Kruskal从剩余的边中选出一条权值最小的边，并且这条边的两个端点属于生成森林中两棵不同的树（不连通），把该边加入生成森林。图中节点属于那棵树可以用并查集维护。
无向图、有向图和网络能运用很多常用的图算法，其中主要包括各种遍历算法（这些遍历类似于树的遍历），寻找最短路径的算法，寻找网络中最低代价路径的算法。...图分有向图和无向图。在无向图中，如果 ? (表示 u 到 v 的路径)联通，那么 ? 也联通，例如“1”到“2”联通，“2”到“1”也联通。...但是在有向图中“1”到“2”联通，但是“2”到“1”是不联通的。图1与图2分别表示一个无向图和一个有向图。 ?...邻接表在存储上占优势，但是在判断两个节点 ? 是否联通时，要首先在邻接表中找到 u，然后再遍历 u 后面的链表。 （2）邻接矩阵 图4是图1所示无向图的邻接矩阵表示。...是一个无向联通图，其权值函数为 w。A 是最小生成树的子集，初始为空。
狄克斯特拉算法是非常著名的算法，是改变世界的十大算法之一，用于解决【赋权】【有向无环图】的【单源最短路径】问题。 如果没有这种算法，因特网肯定没有现在的高效率。...注：狄克斯特拉算法的原始版本仅适用于找到两个顶点之间的最短路径，后来更常见的变体固定了一个顶点作为源结点然后找到该顶点到图中所有其它结点的最短路径，产生一个最短路径树（树是没有环的图）。...何为赋权 这里的“权”即“权重”，“赋权”即是给图的边赋权重值。...何为单源最短路径 最短路径是计算给定的两个节点之间最短（最小权重）的路径，如果起点确定，则叫单源最短路径。 最短路径有很多现实应用：很多地图均提供了导航功能，它们就使用了最短路径算法或其变种。...我们现在在回看这句定义： 狄克斯特拉算法用于解决【赋权】【有向无环图】的【单源最短路径】问题。 您是否明了？只需紧扣“赋权”、“有向无环图”、“单源最短路径”这三个关键词。
No.17期 最小生成树（一） Mr. 王：我们再来讲一个时间亚线性算法——最小生成树问题。这里先简单介绍一下树的概念。 小可：那什么是树呢？ Mr. 王：树的简单定义，就是一个没有回路的连通无向图。...王：如果断开了，也就是说，一个无向图满足无回路，却不满足连通，则称作森林。 ? 森林 小可惊讶地说：连通的叫树，那这种不连通的“树”反而叫森林？ Mr....小可：好像还真是这样，因为其中的每一个连通分量都是没有回路的、连通的无向图！ Mr. 王：所以森林也可以看成是树的集合。 小可：哈哈，这样就更符合它的定义了。 Mr....假设这是一张城市间的地图，图中边的权重就是城市的距离，我们要在城市之间架设电线，以保证两个城市之间连通，但是希望电线的总长度最小，这个问题就是最小生成树问题。...其实最小生成树有一个更好的名字，叫作“最小权值生成树”。对于上面的这个图来说，求出的最小生成树就是如下这样的： ? 求它的经典算法有两个，即Kruskal 和Prim。
目前讨论的都是简单图。在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。...在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n* (n-1) 条边。...在无向图G中，如果从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是连通的。 如果对于图中任意两个顶点vi、vj ∈E， vi，和vj都是连通的，则称G是连通图。 无向图中的极大连通子图称为连通分量。...当在E中选择一条具有最小权值的边时，若该边的两个顶点落在不同的连通分量上，则将此边加入到 T 中；否则重新选择一条权值最小的边 c....把图中的所有边按代价从小到大排序； 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林； 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树
例如：在 n 个城市之间铺设光缆，以保证这 n 个城市中的任意两个城市之间都可以通信。由于铺设光缆的价格很高，且各个城市之间的距离不同，这就使得在各个城市之间铺设光缆的价格不同。...连通图：在无向图中，若任意两个顶点与都有路径相通，则称该无向图为连通图。 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点与都有路径相通，则称该有向图为强连通图。...连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。...（4）最终，所有记录的最短距离的边构成的树，即是最小生成树。 3.2 算法图解 例如：图3.2.1所示的带权无向图，采用Prim算法构建最小生成树过程如下。...（4）在剩下的边中寻找权值最小的（n-1-k）条边使k个非零最小元对应的k条边构成的图连通。 6.2 实例说明 例如：图6.2.1所示的带权无向图，使用权矩阵方法建立最小生成树过程。
这个问题中，村庄可以抽象成节点，村庄之间的距离抽象成带权值的边，要求最节约的架设方案其实就是求如何使用最少的边、最小的权值和将图中所有的节点连接起来。...这就是一个最小代价生成树的问题，可以用Prim算法或kruskal算法解决。 PS1：无向连通图的生成树是一个极小连通子图。 PS2：生成树是图的一个子图，包括所有的顶点和最少的边（n-1条边）。...PS3：最小代价生成树就是所有生成树中权值之和最小的那个。 算法思路 算法的目标很明确，就是要在n个节点的图中，找出n-1个节点，并且节点之间连线的权值是最小的。...key表示指定节点的编号； value表示在最小代价生成树中，该节点的前驱节点的编号。...key表示指定节点的编号； value表示在最小代价生成树中，以该节点为终点的边的权值。 k节点： 最新选入生成树的节点。
赋权图 什么叫赋权图呢？就是每一条边都有一个权值的有向图或无向图。赋权图的权值可大可小，可正可负。 不过 Dijkstra 算法只处理那些所有边的权值都为非负的赋权图。...严格讲，Dijkstra 算法解决的是权值非负的赋权图中的单源最短路径问题。 ? 赋权图可以是有向的也可以是无向的，对此Dijkstra算法并不挑剔，都能处理。 ?...一般提到最短路径，我们会直接想到图中的某两个顶点之间的最短路径。Dijkstra 算法的原始版本也确实是用来找到两个顶点之间的最短路径的。...算法的输入、输出与辅助存储 Dijkstra 算法的输入包括两个部分： 1）一个权值非负的赋权图； 2）图中的一个被定义为源点的顶点。 ?...U 集合中是除了源点之外的所有节点，如果一个节点与源点直接相连，它到源点的最短距离（shortest_distance）暂时记作这个直接相连的边的权重（注意只是暂时，之后也许会调整）。
无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。...顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID (v)； 顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。...邻接多重表 ：无向图的存储结构 边集数组 利用两个一维数组 一个数组存储顶点信息，另外一个数组存储边及其权 其中，数组分量包含三个域：边所依附的两个顶点，权值 各边在数组中的次序可以任意...应用举例——最小生成树 生成树的代价：设G=（V，E）是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。 最小生成树：在图G所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。...AOE AOE网是一个带权的有向无环图。其中用顶点表示事件，弧表示活动，权值表示两个活动持续的时间。AOE网是以边表示活动的网。
，无负权边）： 算法描述： 多源最短路！...c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。...第三轮：同理上，以3号节点为前驱节点，可以得到4,5,6号节点到原点1的距离为[20,∞,11]，根据最短路径原则，和上一轮最短距离比较，刷新为[20,∞,11]，1->3->6的最短路径为11，同时取最短路径最小的...；（运行|v|-1次） 3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。...欧拉回路：在欧拉路径的基础上回到起点的路径（从起点出发一笔画遍历每一条边）。 欧拉路径存在： 无向图：当且仅当该图所有顶点的度数为偶数 或者 除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。
，也称哈夫曼树 完全无向图中的每两个顶点之间都存在着一条边 完全有向图中的每两个顶点之间都存在着方向相反的两条边 假设图中有n个顶点，e条边，则： 完全无向图含有e=n(n-1)/2条边； 完全有向图含有...e=n(n-1)条边； 在一个无向图中，若存在一条边(u,v),则称顶点u与v互为邻接点 顶点的度是指图中与该顶点相关联的边的数目 有向图顶点的度 顶点v的入边数目是该顶点的入度，记为ID(v)...，则图中各个极大连通子图称作此图的连通分量 若有向图中任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则称此有向图为强连通图 常见的图的存储结构有两种，分别为：邻接矩阵和邻接表 无向图的邻接矩阵是对称的(可采用压缩存储...，分别是广度优先搜索和深度优先搜索 图的广度优先搜索遍历类似于树的层次遍历过程 在一个网的所有生成树中，权值之和最小的生成树称为最小代价生成树 求图的最小生成树的典型算法有两种，分别是克鲁斯卡尔算法和普里姆算法...检查有向图中是否存在回路的方法之一，是对有向图进行拓扑排序 一个无环的有向图称为有向无环图，简称为DAG图 排序是将一组无序的记录序列调整为有序的记录序列的一种操作 按排序过程中所涉及到的存储器不同分为内部排序和外部排序
3.无向边：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对（Vi，Vj）来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。...5.在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2条边。...比较：深度优先遍历更适合目标比较明确，以找到目标为主要目的的情况，而广度优先更适合在不断扩大遍历范围时找到相对最优解的情况。 六（最小生成树） 我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。...找连通网的最小生成树，有两种算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。 1、普里姆算法： 以某顶点为起点逐步找各顶点上最小权值得边来构建最小生成树的。...在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将次变加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
生成树的概念 最小生成树的定义 生成树的代价和最小生成树 MST性质 普利姆(prim)算法 图解： 使用哪一种结构进行存储？...int vi = 0., vj = 0,w=0; for (int i = 0; i < arcNum; i++) { cout << "请输入边依附的两个顶点编号（范围0-5）和权值:..."; cin >> vi >> vj >> w; //因为是无向图，所以矩阵对称 arc[vi][vj] = w; arc[vj][vi] = w; cout << endl; }...，就进行替换 for (int i = 0; i < verNum; i++) { //当前K顶点在边数组里面与每个顶点之间的权值与结构体数组 在 当前U集合中D的顶点到每一个顶点之间最小代价进行对比...} } } } //寻找耗费代价最小的邻接点 int Graph::minEdge(int start) { int min = INFINITY;//初始化最小的权值为无穷大 int
2）算法内容 假设N={V, {E}}是连通网，算法初始状态为包含图中的所有的点，没有边的T=(V, {})开始，图中的每一个顶点自成一个连通分量，重复执行以下操作： 在E中选一条代价最小的边，如果此边符合该边依附在两个不同的连通分量上的要求...则TE包含n-1条边，T=(V, {TE})是最小生成树。 该算法需要引入一个二维数组，记录任意两个顶点之间的权值，如果两个顶点没有连接，则权值为无穷大。...两个算法都需要引入一个二维数组，用于存储任意两点间的权值，当两点没有连接时，权值为无穷大，表示该点无法直接到达另一点。...'; 题外话：两种最小生成树算法，Prim以节点为切入点获取最小生成树，Kruskal以边为切入点获取最小生成树。...——written by linhxx 2017.07.09 相关阅读： PHP数据结构（十一） ——图的连通性问题与最小生成树算法（1） PHP数据结构（十） ——有向无环图与拓扑算法 PHP数据结构
在 MATLAB 中，边列表按列划分为源节点和目标节点。对于有向图，边的方向（从源到目标）很重要；但对于无向图，源节点和目标节点是可以互换的。...这些边在 G.Edges 中的顺序首先按源节点排列，其次按目标节点排列。对于无向图，索引较小的节点列为源节点，索引较大的节点列为目标节点。...[9x0 table] 删除节点 删除节点 3、5 和 6,对图中剩余的六个节点重新进行编号，以反映新的节点数量。...第一条边位于节点 1 和节点 5 之间，第二条边位于节点 2 和节点 5 之间。该命令将向 G.Edges 添加两个新行。...对于有向图，默认值为 ‘on’，即显示箭头，但您可以指定值 ‘off’，以隐藏有向边上的箭头。对于无向图，ShowArrows 始终为 ‘off’。
最短路径问题 最短路径问题： 从带权有向图（求最短路径通常是有向图）G中的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是沿路径各边的权值总和达到最小。...也就是说，在单源最短路径问题中，只需要确定一个起点，然后计算该起点到图中所有其他节点的最短距离。 多源最短路径则是在图中计算任意两个节点之间的最短路径。...Dijkstra算法就适用于解决带权重的有向图上的单源最短路径问题，同时算法要求图中所有边的权重非负。...针对一个带权有向图G，将所有结点分为两组S和Q，S是已经确定最短路径的结点集合，在初始时为空（初始时就可以将源节点s放入，毕竟源节点到自己的代价是0），Q 为其余未确定最短路径的结点集合，每次从Q 中找出一个从起点到该结点代价最小的结点...然后这里选择的起点是s 每次从Q 中找出一个从起点到该结点代价最小的结点u，那第一次这个结点u就是s，可以认为s到s的距离是0（图中每个结点里面的值就表示当前从起点到自己的最短路径，还没更新的路径用
完全无向图另外的定义是： 对于无向图G=(V，E)，若vi，vj V ，当vi≠vj时，有(vi ,vj)E，即图中任意两个不同的顶点间都有一条无向边，这样的无向图称为完全无向图。...完全有向图另外的定义是： 对于有向图G=(V，E)，若vi，vjV ，当vi ≠vj时，图中任意两个不同的顶点间都有一条弧，这样的有向图称为完全有向图。...那么我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树。 找连通网的最小生成树，经典的有两种算法，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。...在某些应用中，有时主要考察图中各个边的权值以及所依附的两个顶点，即图的结构主要由边来表示，称为边表存储结构。...在边表结构中，边采用顺序存储，每个边元素由三部分组成：边所依附的两个顶点和边的权值；图的顶点用另一个顺序结构的顶点表存储。如图： ?
领取专属 10元无门槛券
手把手带您无忧上云
云服务器
即时通信 IM
ICP备案
对象存储
实时音视频
