使用Maxima求解常微分方程~ 含带导数符号或带微分符号的未知函数的方程称为微分方程。 如果在微分方程中未知函数是一个变元的函数，这样的微分方程称为常微分方程。...1 一阶、二阶常微分方程的通解 Maxima 可以求解很多种类的常微分方程。 对于可以给出闭式解的一阶和二阶常微分方程，Maxima 会试图求出其精确解。 下面给出三个简单的例子。...上面的例子用了ode2函数来求解常微分方程。 在定义方程时，微分函数diff之前有一个单引号（‘），这表示让Maxima只给出形式上的输出，并不真的进行计算。...Maxima 中也提供了相应的求解函数 desolve()，desolve()函数既可以求解ODE 方程，也可以求解ODE方程组。函数的基本形式如下。...如果初值是已知的，可以使用atvalue()命令来提供初值。 如果提供了足够的初值条件，再用的desolve()函数求解时积分常数自然就可以确定了。
掌握 H-K 算法的求解步骤，并编程实现一个使用 H-K 算法求解分类模型的例子。...此时，分类问题变成了求解不等式 wx′>0 的问题。...2.3最小二乘准则函数 求解不等式 wx′>0 的问题可以进一步转化为 wx′=b(b>0) 的问题，同时对所有的样本进行联立，得到方程组 wX=B ,其中向量 B 的每个分量 bi>...针对这样一个有多个可能解的方程组，我们可以求它的最小二乘解。即使得 取极小值（上式即为 H-K 算法的最小二乘准则函数）。此时可以使用梯度下降法或者伪逆法进行求解。...矩阵 X 的伪逆计算方式如下： 3.H-K 算法原理 通过对分类问题的一步步抽象，H-K 算法求解分类问题变成了一个线性方程组求解的问题，即： 其中 w 是要求解的参数，
求解下面这个简单函数的极小值： f(x) = x^2 \times sin(x) 函数连续可导可以使用高中学习过的计算函数导数的方式来寻找函数的极小值点，这种方法和梯度下降算法非常类似，不同的是梯度下降算法是一个迭代过程...当使用梯度下降算法求解 f(x) = x^2 \times sin(x) 的极小值时： 当选用比较小的学习率，比如 learning rate=0.005（迭代50次） [xdaau1yx41.png]...[fzzdzut42i.gif] 求解线性方程 假设现在有一个简单的线性方程： y = w\times x + b 对于二元一次线性方程只需要已知两个点联立方程组消元就可以精确的求解出方程的解 w^*,...，但是即使很小的误差也可能会导致求解结果的巨大偏差，这种情况下仅仅依靠两个样本点（两个方程联立消元的方式求解）很可能不存在解析解，通常我们会采样多个样本点，借助数值方法区优化出一个近似的数值解（Numerical...i}(wx_i + b - y_i)^2 其中 m 为样本点总数，(x_i, y_i) 为第 i 个样本点。
感知机 线性回归 如果说感知机是最最最简单的分类算法，那么线性回归就是最最最简单的回归算法，所以这一篇我们就一起来快活的用两种姿势手撸线性回归吧； 算法介绍 线性回归通过超平面拟合数据点，经验误差一般使用...for xi,yi in zip(X,y): RDh += (yi - (w*xi+b))**2 RDh = RDh / len(X) # 对w和b求偏导：求偏导的结果是得到两个结果为0的方程式...eRDHw = diff(RDh,w) eRDHb = diff(RDh,b) # 求解联立方程组 ans = solve((eRDHw,eRDHb),(w,b)) w,b = ans[w],ans...完整代码 完整代码对于求解部分使用的是伪逆而不是逆，原因在于求解公式中正好构造了伪逆，而伪逆适用性强国求逆，因此使用伪逆代替逆； import numpy as np import matplotlib.pyplot...求导并令其为0，得到w_hat = (X^T*X)^-1*X^T*Y，其中(X^T*X)^-1*X^T称为伪逆（pseudo inverse，即函数pinv） 因此可以省略中间大量的构造经验误差、解偏导方程组等步骤
几大知名的数学软件比如Mathematica、Maxima、Matlab(需Symbolic Math Toolbox)、Maple等都可以做符号运算，在上篇文章中我们已经拿Python和R、Matlab...在人教版的数学教材里，我们初一上会接触一元一次方程组，初一下就会接触二元一次方程、三元一次方程组，在初三上会接触到一元二次方程，使用Sympy的solve()函数就能轻松解题。...解一元一次方程 我们来求解这个一元一次方程组。...解二元一次方程组 我们来看如何求解二元一次方程组。...\end{cases} $$ 执行之后，很快可以得出结果{x: 8, y: 2, z: 2}，也就是 $$x=8,y=2,z=2$$ 解一元二次方程组 比如我们来求解人教版九年级一元二次方程组比较经典的一个题目
已经发现了许多成功，使用物理信息神经网络、通用微分方程等工具，用于高维 PDE 的深度 BSDE 求解器，以及展示深度学习如何极大地改进科学建模实践的神经代理。...然而，最优控制、（贝叶斯）参数估计和自动模型发现都需要所有可能的性能，因此我们将继续添加功能来提高求解大型和小型微分方程模型的性能。...例如，虽然我们的全局灵敏度分析工具已记录在微分方程求解器中，但这些方法实际上适用于任何函数f(p)： 在 SciML 保护伞下进行重组将使用户更容易发现和应用我们在微分方程上下文之外的全局敏感性分析方法...如以下动画所示，您可以使用我们的随机微分方程求解器，并通过简单地将兼容的软件包拼凑在一起来训练电路来控制求解。 性能被视为优先事项，性能问题被视为错误 无话可问。...另一个示例包括我们的代理建模库 Surrogates.jl，该库通常使用 DifferentialEquations.jl 和机器学习 AD 工具（如 Zygote.jl）进行测试，这意味着您可以确定我们的代理建模工具可以在微分方程上进行训练然后使用在深度学习堆栈内部
递归使用更多内存，因为递归函数会在每次递归调用时将值添加到堆栈中，并将值保留在那里，直到调用完成。递归函数使用 LIFO（后进先出）结构，就像堆栈数据结构一样。 递归的基本条件是什么？...return 1; else return n*fact(n-1); } 在上面的示例中，定义了 n 求解较大的值...如果堆栈上的内存被这些函数耗尽，就会导致堆栈溢出错误。 直接递归和间接递归有什么区别？ 如果函数 fun 调用相同的函数 fun，则该函数被称为直接递归。...内存堆栈如下图所示。 使用递归解决的实际问题并了解其基本工作原理 问题 1： 编写一个递归关系程序来查找 n 的斐波那契数列，其中 n>2 。...数学方程： 如果 n == 0，n == 1；输出：0, 1 否则: fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) 递归关系： T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)
梯度下降法(Gradient Descent)是优化问题中一种常用的手段，一般用于凸函数问题（或者可以转换为凸函数的问题）的求解，而逻辑回归问题就可以转换为一个凸函数问题，我们可以使用梯度下降来获得一个较优值...即满足了0到1的需求，那么我们的概率公式就可以写成： P(y=1|x)=η(wx)P(y=0|x)=1−η(wx) 这里需要特别注意的是，我们使用$p(y=1 x)而不是p(y=0 x)作为\eta (...那么这里的梯度会有变化（根据w算出的最终结果就会变成负样本的概率）： ΔL(w)=−n∑i(yi−η(wxi))\*xi 如果L(w)的最优值存在，那么我们只需要另ΔL(w)=0即可得到w，但是如大家所见，这个方程的求解函数与样本数相等...从上一节我们知道不能直接使用其导数为0来求解最优值，我们现在来介绍一种非常常用的求近似最优解的方法：梯度下降法。 梯度下降法的思路其实很简单，假设我们有一个如下图所示的凸函数： ?...，这是其比线性回归更加好用的地方之一，更利于我们灵活控制。
回归问题的损失函数通常用下面的函数表示： yi 为第i个训练样本的真实值 h(xi) 为第i个训练样本特征值组合预测函数又称最小二乘法 我们的目标是: 找到该损失函数最小时对应的 w、b（这里的w，b指y = wx...接下来我们开始对平方损失求解最优解 2.3正规方程 正规方程公式： 公式就是上面的损失函数推导得到，具体推到公式不再赘述，我们来看示例代码： import numpy as np from sklearn.linear_model...() # 给特征值增加一列1 ones_array = np.ones([len(x), 1]) x = np.hstack([ones_array, x]) # 使用正规方程公式计算...LinearRegression 求解 estimator = LinearRegression(fit_intercept=True) estimator.fit(x, y)...线性回归使用平方损失 正规方程是线性回归的一种优化方法 ❤️❤️下期我们介绍损失函数的优化方法及回归问题的评估，也会通过案例带大家更好的理解线性回归❤️❤️
一般表达式是什么 Y=wx+bY=wx+bY=wx+b w叫做x的系数，b叫做偏置项。 4....加入这个正则化项好处： 控制参数幅度，不让模型“无法无天”。 限制参数搜索空间 解决欠拟合与过拟合的问题。...5.1 什么是L2正则化(岭回归) 方程： J=J0+λ∑ww2J=J_0+\lambda\sum_{w}w^2J=J0+λw∑w2 J0J_0J0表示上面的 loss function ，在...求解J0的过程可以画出等值线。同时L2正则化的函数L也可以在w1w2的二维平面上画出来。如下图： ?...,考虑使用Lasso回归。
最大间隔超平面 从二维扩展到多维空间中时，将 D0D_0D0 和 D1D_1D1 完全正确地划分开的 wx+b=0wx+b=0wx+b=0 就成为超平面。...任意超平面可以用下面这个线性方程来描述： 图片 我们知道在二维空间中，点 (x,y) 到直线 图片 的距离为 图片 扩展到 n 维空间后，点 图片 的距离为： 图片 其中 图片...，因此有： 图片 将（6）中的两个方程合并，可以得到： 图片 式（7）就是最大间隔超平面的上下两个超平面。...对偶问题来求解的原因是 对偶问题更易求解，由下文知对偶问题只需优化一个变量 α 且约束条件更简单； 能更加自然地引入核函数，进而推广到非线性问题。...其实就是为了将最初的原始问题，转换到可以使用 SMO 算法求解的问题 SMO (Sequential Minimal Optimization)，序列最小优化算法，其核心思想非常简单：每次只优化一个参数
在优化系统中，将这两种约束都写入到优化函数中，并且保证惩罚函数是线性的，这样就可以利用梯度下降法简单求解了。...噪声可以做控制量，但是如果有明确含义的控制量，比如说：里程计的左右轮，那么左右轮的误差就是sigma_n。...（标称值的更新依赖于更加准确的非线性状态更新方程）。 这里Q代表的过程误差方差矩阵，对应的维度是状态量。利用控制量与运动学方程，确实可以求出来状态量的误差方差矩阵。...ESKF完整内容 ESKF就是用了上述“基于误差随时间变化”求解方法，首先写成error state，然后进行离散化得到IMU的递推方程。...wz,0,-wx; -wy,wx,0 ]; end function q = R2q(R) %旋转矩阵转四元数 t=sqrt(1+R(1,1)+R(2,2)+R(3,3))/2; q=
它提供了一个方便的命令行界面，用于数值求解线性和非线性问题，以及使用与MATLAB基本兼容的语言进行其他数值实验。Octave的4.0和更新版本包括一个GUI。...LAPACK 提供Fortran 90例程用于求解线性方程组、线性方程组的最小二乘解、特征值问题和奇异值问题以及相关矩阵分解(LU、Cholesky、QR、SVD、Schur和广义Schur)。...Macsyma是一个通用计算机代数系统，它有一个免费的gpl许可版本Maxima。 Maple，一个通用商业数学软件包。 Mathcad提供了一个所见即所得的接口，并且能够生成公开质量的数学方程。...PARI也可以作为C库使用，以允许更快的计算。 SageMath是一款开源数学软件，具有统一的Python接口，可以作为文本接口或基于web的图形界面使用。...Ch，一种基于C/ c++的商用解释语言，带有计算数组，用于科学的数值计算和可视化 APMonitor: APMonitor是一种数学建模语言，用于以微分和代数方程的形式描述和求解物理系统的表示。
反向偏置结泄漏(Irev):由少部分载流子漂移和耗尽区电子/空穴对的产生引起。 当CMOS门没有完全关闭时，就会发生亚阈值泄漏。...这个方程告诉我们，亚阈值泄漏量与Vgs和Vt的差值存在指数关系。因此，当我们缩小Vdd和Vt(以限制动态功耗)时，泄漏功耗会指数型的变差。 栅极泄漏是通过栅极氧化物的隧穿电流的结果。...在未来的节点上，将需要高k介电材料来控制栅极泄漏。这似乎是减少闸门泄漏的唯一有效方法。 亚阈值泄漏电流随温度呈指数增长。这使得设计低功耗系统的问题变得非常复杂。...然而，VTCMOS增加了库的复杂性，需要两个额外的电网分别控制施加到阱中的电压。不幸的是，随着缩放技术的应用，反向体偏差的有效性正在降低。...与较少数量的晶体管（即两个）相比，具有三个或更多晶体管的堆栈将具有更低的泄漏。 Long Channel Devices：从亚阈值电流方程可以看出，使用长通道将减少泄漏。
由上面的图示可以看出，要想找到最优的决策面，其实就是一个求解最优的问题，即最优化问题。...一个线性分类器就是要在 n 维的数据空间中找到一个超平面，其方程可以表示为 ? 一个超平面，在二维空间中的例子就是一条直线。...||w|| 就是向量 w 的模，即向量的长度；x 就是支持向量样本点的坐标；y 等同于决策面方程中的 y。 ?...SVM 约束条件 我们假设超平面（w, b）可以将训练样本完全正确的分类，所以如果类别 y = 1，则有 wx + b > 0，如果 y = -1，则有 wx + b 求解最优 SVM 就变成了求解在约束条件1下的 γ 的最大值， ? 注意因为类别 y 和 wx + b 是同号的，所以它们的乘积永远为正数 也即是求 ||w|| 的最小化，即： ?
如果我们发送另一个字符串，会发生 std.out什么 这两行代码并行执行，因此它们可以在控制台中以任何顺序结束。...Plaid 语言还声称通过默认支持并发性，但使用权限模型，如在本文中，设置控制流程。多核技术正在兴起，并发性仍然是大多数语言中难点。...例如，prolog中简单数独求解器的代码，只是列出了解决的数独谜题的每行，每列和对角线应该是什么样的： 以下是数独解算器的运行结果： 不幸的是，声明式编程语言很容易造成性能瓶颈。...符号编程 示例语言：Aurora Aurora语言是一个典型的符号编程的例子：它不仅包括纯文本编程，而且还包括图像，数学方程，图形，图表等。...这使得从绘制Facebook连接到操纵图像，查看天气，处理自然语言查询，绘制地图上的方向，求解数学方程式等等都可以轻松地完成。 我怀疑 Wolfram 语言是否有最大的“标准库”和有任何语言的数据集。
但是光流的约束方程只有一个，而需要求出x,y方向的速度u和v(两个未知量)，一个方程两个未知量是没有办法求解的，所以下文介绍的LK光流法考虑到了像素点的领域，将问题转变成了计算这些点集的光流，联立多个方程...具体到图像中，所以下图所示，Wx,Wy是块区域的大小。 ? 根据以上的区域灰度值不变且邻域内的所有像素点运动一致的。可以得出以下 ?...所以这里我们列出了这些方程的残差函数 ? 那么最终只需要求得到该残差方程的偏移量最小，也就是使用了最小二乘法求出这个方程组的最优解。 上面提到了LK光流的假定是小运动，可是运动较快的时候应该怎么办呢？...（2）计算光流使用顶层（Lm）层开始，通过最小化每个点领域范围内的匹配误差和，得到每个顶层图像中每个点的光流。该步骤主要是求解上述的残差函数，不再赘述。...光流残差方程推导 求解光流最重要的是最小化上文提到的残差方程： ? 为最小化上式我们对该方程求导有 ? 使用一阶泰勒展开B(x+vx,y+vy)，并替换上式有 ? 所以细分表达式有： ? ? ?
5、设置求解策略 执行仿真的策略包括以下内容：使用什么空间推进和时间推进方式，湍流或者化学模型的选择，算法的选择等。...实施过程是把所计算的区域划分成许多许多互不重叠的子区域，确定每个子区域的节点位置和该节点所代表的控制体积。 节点是指需要求解的未知物理量的几何位置、控制体积、应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。...它是将求解区域划分为差分网格，用于有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。...有限单元法 有限单元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和...离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。
再回头看一下式子（6），我们使用步长tk和导数∇F(xk)来控制每一次迭代时x的变化量。再看一下上面那张图，彩色缤纷那张。...而ISTA要解决的可是带惩罚项的优化问题，引入范数规范化函数g(x)对参数x进行约束，如下： 使用更为一般的二次近似模型来求解上述的优化问题，在点y，F(x) := f(x) + g(x)的二次近似函数为...ISTA使用前一次迭代求得的近似函数最小值点xk-1，而FISTA则使用另一种方法来计算y的位置。理论证明，其收敛速度能够达到O(1/k2)。...我们将I小波分解，I=Wx,其中W为小波基，x为小波基系数。我们知道图像的小波表示是稀疏的，那么目标方程就变成了LASSO的形式 其中A=RW。...这个算法可以解决以上f+g形式的最小化问题，但ISTA适用于以下形式问题的求解： 1.目标方程是f+g的形式 2.f和g是凸的，f是可导的，g无所谓 3.g需要足够简单（可拆分的，可以做坐标下降的
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