Scipy 是一个强大的科学计算库，它在 NumPy 的基础上提供了更多的数学、科学和工程计算的功能。本篇博客将深入介绍 Scipy 中的积分和微分方程求解功能，帮助你更好地理解和应用这些工具。
空间和时间相关问题的物理定律通常用偏微分方程（PDE）来描述。对于绝大多数的几何结构和所面对的问题来说，可能无法求出这些偏微分方程的解析解。不过，在通常的情况下，可以根据不同的离散化 类型来构造出近似的方程，得出与这些偏微分方程近似的数值模型方程，并可以用数值方法求解。如此，这些数值模型方程的解就是相应的偏微分方程真实解的近似解。有限元法（FEM）就是用来计算出这些近似解的。
MATLAB有很多用于求解微分方程的内置函数。MATLAB包含了用于求解常微分方程（ODE）的函数，微分表达式一般如下
上篇博客介绍了Matlab求解常微分方程组解析解的方法：博客地址 微分方程组复杂时，无法求出解析解时，就需要求其数值解，这里来介绍。 以下内容按照Matlab官方文档提供的方程来展开（提议多看官方文档）
含带导数符号或带微分符号的未知函数的方程称为微分方程。 如果在微分方程中未知函数是一个变元的函数，这样的微分方程称为常微分方程。
梯形公式本质上依然还是基于微分差商，不过不同于之前直接使用微分的形式，这里更加严格的使用了积分的表达，即：
近日，北京智源人工智能研究院开展了第一次论坛，其以「人工智能的数理基础」这一重大研究方向为主题，从数学、统计和计算等角度讨论了智能系统应该怎样融合数学系统。
机器学习的传统是将基于规则的推断和统计学习对立起来，很明显，神经网络站在统计学习那一边。神经网络在统计模式识别中效果显著，目前在计算机视觉、语音识别、自然语言处理等领域中的大量问题上取得了当前最优性能。但是，神经网络在符号计算方面取得的成果并不多：目前，如何结合符号推理和连续表征成为机器学习面临的挑战之一。
所谓振动从狭义的理解就是物体在其平衡位置附近做往复运动，从广义的理解就是某个物理量围绕某个值附近波动（也称振荡）。振动无处不在，例如宝宝们的小心脏每时每刻都在不停地跳动; 宝宝们耳朵听到的各种悦耳的声音和烦人的噪音都说明你周围的空气在颤抖; 我们用的交流电其电压电流也是在以每秒50次地上下翻飞; 还有随时存在的各种机械振动、随时可能给宝宝们以灭顶之灾的地震...研究和分析振动问题至关重要。我们研究振动主要是通过振动机理的研究，分析掌握振动的规律，再通过科学合理的设计，抑制和控制有害的振动，充分利用有
这些题目都是考研常见的，主要还是题型的识别，然后记住类型，综合利用齐次方程与非齐次方程的关系，注意特解的设法，
现在是 2022-1-1，我简单的点评一下今年各位老师的出卷，如果读者想刷这一年的，可以作为参考
这是Facebook发表的新模型，1秒给出的答案，超越了Mathematica和Matlab这两只付费数学软件30秒的成绩。
求解单变量微分方程的解 x ˙ ( t ) = 2 ∗ x ( t ) \dot{x}(t) = 2 * x(t) x˙(t)=2∗x(t)
着重介绍微分方程、传递函数和结构图等基本的数学模型，最后简要介绍系统辨识的概念、系统最小二乘参数估计方法和系统的结构辨识方法。
我们最开始的想法是要把Mathematica建立成为一个可以解决所有从学校层面的代数方程到在现实的科学研究中的复杂问题的不同的数学问题。在过去30年的发展中，我们在系统中实现了超过250个数学函数，而且在最近发布的Wolfram语言12.1版中，我们还增加了更多函数，从最基础的Sin函数，到高阶的Heun函数。
微分方程（3） 第四节 高阶微分方程 ---- 4.1 高阶齐次线性微分方程 4.1.1 高阶齐次微分方程的基本概念 1.n阶齐次线性微分方程的定义 例如 y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=0 \qquad (1) 称为n阶齐次线性微分方程 2.n阶非齐次线性微分方程的定义 例如 y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=f(x) \qquad (2) 称为n阶非齐
过冷水最近有接触一点点动力学的知识。作为动力学入门，当然的会解动力学方程了。于是本期过冷就教大家解动力学微分方程。
Rimmer 博士是一位退休的心脏病专家，自1988年以来一直使用Mathematica。他对数学统计，金融市场，全球定位系统，信息知识和医学感兴趣；他在 Mathematica Journal和Wolfram演示项目上发表了很多文章。
微分方程和差分方程的知识我们应该都知道，因为在数字信号处理中微分方程涉及了模拟滤波器，差分方程涉及了数字滤波器。但是有时会搞不清楚，或者说会在概念上混淆。虽然在做算法过程中可能不会受到太大影响，但是这种基础知识我们是有必要搞清楚的，这是算法人员的基本素养。下面就分别来讲讲微分方程、差分方程以及它们之间的区别和联系。
解析：分析，题目给出了偏导数，所以我们首先求出偏导数，根据偏导数对应的法则，可以求得
举例为如下方程 y 1 ′ ( t ) = y 1 ( t − 1 ) y 2 ′ ( t ) = y 1 ( t − 1 ) + y 2 ( t − 0.2 ) y 3 ′ ( t ) = y 2 ( t − 1 ) \begin{aligned} y_1′(t) &= y_1(t-1) \\ y_2′(t) &= y_1(t-1) + y_2(t-0.2) \\ y_3′(t) &= y_2(t-1) \\ \end{aligned} y1′(t)y2′(t)y3′(t)=y1(t−1)=y1(t−1)+y2(t−0.2)=y2(t−1)
1、一般的最优化问题要最小化的性能指标定义在数域上，而变分问题的性能指标（目标泛函）的定义域是函数的集合。
代入初值：y(0) = (C + 1) = 0 C = -1 y = (1 - e{-x2})
其中，ydot为一个列向量，值分别表示y‘（1）、y‘（2）、y‘（3）的取值，t自因变量，y为因变量，一个y就可以表示因变量组了。事实上，说白了，这个函数就是申明一下变量使t和y，以及y一阶导的右端项为那三个。 接着，编写主函数如下：
虽然随机梯度下降仍然是非常受欢迎的优化方法，但其学习过程有时会很慢。动量方法旨在加速学习，特别是处理高曲率、小但一致的梯度，或是带噪声的梯度。动量算法积累了之前梯度指数级衰减的移动平均，并且继续沿该方向移动。从形式上看，动量算法引入了变量v充当速度角色------它代表参数在参数空间移动的方向和速率。速度被设为负梯度的指数衰减平均。名称动量来自物理类比，根据牛顿运动定律，负梯度是移动参数空间中粒子的力。动量在物理学上定义为质量乘以速度。在动量学习算法中，我们假设是单位质量，因此速度向量v也可以看作粒子的动量。超参数 决定了之前梯度的贡献衰减得有多快。更新规则如下：
，则 \(\exists \delta_1 > 0\), \(x\in(a,a+\delta_1)\), \(\exists \delta_2 > 0\), \(x\in(b-\delta_2,b)\), 又由 连续函数最值定理 可知，
2004 年 SIGGRAPH 上，Microsoft Research UK 有篇经典的图像融合文章《Poisson Image Editing》。先看看其惊人的融合结果（非论文配图，本人实验结果）：
\(G(s) = \frac{a}{s+a}\) \(\frac{1}{a}\)是时间常数\(\tau\)，对应上升为0.63 \(4\tau\)对应阶跃响应0.98
在弹性体域内满足平衡微分方程,在边界上满足应力边界条件的所有容许的应力状态中,真实的应力(即满足几何方程和位移边界条件的应力)必使总余能取极小值；反之,能使总余能取极值的应力一定是真实的应力。这就是最小余能原理( Principle of Minimum Complementary Potential Energy)。
AI 科技评论按，本文作者成指导，字节跳动算法工程师，本文首发于知乎（https://zhuanlan.zhihu.com/p/68349210），AI 科技评论获其授权转载，正文内容如下：
在连续时间LTI系统中,冲激响应和阶跃响应是系统特性的描述﹐对它们的分析是线性系统中极为重要的问题。输入为单位冲激函数àt)所引起的零状态响应称为单位冲激响应,简称冲激响应﹐用h(t)表示;输人为单位阶跃函数u(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应,简称为阶跃响应﹐用g(t)表示。
对于那些擅长于用微分方程、概率论解决问题的数学家们来说，素有“黑盒子”之称机器学习往往是要被踢到鄙视链底端的。
来源商业新知网，原标题：机器学习会取代数学建模吗？让我们假设一个微积分落后但深度学习发达的文明社会……
什么是数值传热学（Numerical Heat Transfer)？数值传热学简称NHT,传热学大家应该都知道，传热有三种方式：热传导、热对流和热辐射。那么对应的方程就是导热方程、对流方程和热辐射方程，这三个方程本质上都是一个方程——能量守恒方程。所以理论上，只要我们求解了能量守恒方程，我们就能知道换热器的温度场与传热系数，所有的热性能就都知道了，我们也能不用做实验了。因此求解能量守恒方程是工业界的一个很现实的需求，所以计算就真的就是计算，就是解方程算数的一个过程。
AI 科技评论按：8 月 9 日，为期两周的 2018 国际数学家大会（ICM）在里约热内卢完美谢幕，来自全球一百多个国家的 3000 多位数学家出席了本次盛会。
本论文提出一种Hessian-Hamiltonian MC Rendering算法，简称H2MC，该算法基于Metropolis Light Transport，引入了Hamiltonian力学的思路，将光路贡献和转移概率类比为重力和势能，很好的提高了MLT中的accept rate，意味着有更高的收敛效率，但本身因为需要计算光路的一阶导，以及二阶导（Hessian Matrix），计算量比较大，因此，适用于渲染复杂场景，比如caustics，多次反弹的glossy材质以及运动效果（时间维度的求导）。
什么是差分运算？如下图，数值计算过程我们计算函数上某点的导数时，可以选择某点附近（可以包含该点）的两个点，取这两个点的斜率来近似表示该点的导数。一阶导数有一阶向前差分、一阶向后差分和一阶中心差分。当然也有二阶导数的计算方法，如下图。
流体力学，是研究流体（液体和气体）的力学运动规律及其应用的学科。主要研究在各种力的作用下，流体本身的状态，以及流体和固体壁面、流体和流体间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。流体力学是力学的一个重要分支，它主要研究流体本身的静止状态和运动状态，以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的规律。在生活、环保、科学技术及工程中具有重要的应用价值。
这是一篇在2020年发表在ICLR的论文，论文使用图神经网络从稀疏数据中学习连续时间偏微分方程，文章提出的模型主要创新点是允许任意空间和时间离散化，也就是说在求解偏微分划分网格时，网格可以是不均匀的，由于所求解的控制方程是未知的，在表示控制方程时，作者使用了消息传递的图神经网络进行参数化。
求解常微分方程常用matlab中的ode函数，该函数采用数值方法用于求解难以获得精确解的初值问题。ODE是一个包含一个独立变量（例如时间）的方程以及关于该自变量的一个或多个导数。在时域中，ODE是初始值问题，因此所有条件在初始时间t=0指定。
金融市场的时间序列数据是出了名的杂乱，并且很难处理。这也是为什么人们都对金融数学领域如此有趣的部分原因!
微分方程是数学中重要的一课。所谓微分方程，就是含有未知函数的导数。一般凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，就叫做微分方程。
这些新书都有增添 Mathematica 的相关内容！ Differential Equations with Mathematica, Fourth Edition 第四版使用 Mathematic
近日，Facebook AI研究院的Guillaume Lample 和Francois Charton两人在arxiv上发表了一篇论文，标题为《Deep Learning for Symbolic Mathematics》。
“强基固本，行稳致远”，科学研究离不开理论基础，人工智能学科更是需要数学、物理、神经科学等基础学科提供有力支撑，为了紧扣时代脉搏，我们推出“强基固本”专栏，讲解AI领域的基础知识，为你的科研学习提供助力，夯实理论基础，提升原始创新能力，敬请关注。
两年前第一次接触到PID觉得很高深，很神奇；后来逐渐觉得单纯的PID小儿科了，又了解到专家PID，模糊PID，神经网络PID这些改进算法，再后来又知道了ADRC，便感控制领域浩如烟海，所学不过沧海一粟。然便纵真理无穷，进一寸自有一寸的欢喜。 不敢说看了几篇论文，听了几节报告，做了几次仿真，就吃透ADRC了，不过只是一些粗浅的理解，记录一行歪歪斜斜的足迹。以便回首过眼云烟之时，可以安慰自己一句，我已经飞过。
求解y关于什么的函数就要声明为y (x) ，必须使用syms来声变量, 否则会被警告
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