使用boost::math中的高斯-克朗罗德求积对复杂函数进行积分 - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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苏联曾经的AI有多强？一段几乎已被世人遗忘的往事

如果不是因为克朗罗德对 AI 有很强的执念，那么该实验室可能只会进行数值模拟，AI 也就永远不会在这个研究所出现。...但是，由于克朗罗德有很高的声望，因此他和他的团队还可以额外研究玩纸牌游戏和下国际象棋的智能系统。当时计算机科学领域一个热门研究主题是离散算法的计算复杂性，克朗罗德团队对此亦有贡献。...很自然，包括 Andrey Leman 和 Boris Weisfeiler 在内的克朗罗德实验室成员对图同构问题很感兴趣。...对图同构问题的这项研究成就了 Andrey Leman 在克朗罗德指导下的第一篇论文，但是，由于克朗罗德与高级认证委员会（HAC）负责人之间存在个人恩怨，这篇论文以「不是数学」的理论被拒了。...在苏联，这种在大学里的运动是被严格禁止的，于是克朗罗德不幸被开除了，他的实验室也惨遭解散。实验室解散后，其他成员并入了控制问题研究所（ICP），克朗罗德没去，V.

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概率中无处不在的 Gamma 函数，画它！

个人原创，一字一字敲的 Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究，包括高斯、勒让德等等，这个函数在概率论中无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。...Gamma 函数定义为如下：今天我们来分析一个重要的概率公式，z 取 0.5 时函数值为：即：使用 Python 验证左侧等式的值仅使用 NumPy 包 import numpy as np...通过数值化求如下橙色区域的面积： ? 定积分的上限无穷，我们在这里取值为 1000， dt 取值为一个极小的间隔：0.00001，这样积分转化为求和， ?...数值求积分的代码如下所示： dt = 0.00001 z = 0.5 t0,t1 = dt, 1e3 t = np.arange(t0,t1,dt) y = np.power(t, z-1) * np.power...希望通过此文了解积分的数值计算方法，然后对 Gamma 函数有一个浅显的认识。

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第二次数学危机——消失的鬼魂，贝克莱悖论

在解析几何创立后，许多数学家都加入了对这些问题的研究。笛卡儿、罗伯瓦尔、费马和巴罗等人都给出了一些方法。但这些方法有的依赖于直觉，有的则只能解一些特定的问题。...而许多数学家也认为，阿基米德、牛顿和高斯是数学史上贡献最大的3位数学家。牛顿发明的微积分方法，受到笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》的影响。...1734年，贝克莱在担任克罗因主教期间，在《分析学家》一书中对牛顿和莱布尼茨的微积分方法进行了强烈的批判。...但是魏尔斯特拉斯提出的病态函数，在19世纪却成为推动分析基础严格化的强心针，进一步使数学家们意识到，为分析建立严格基础，必须对实数系进行严格的定义。德国数学家戴德金在实数的定义上迈出了关键的一步。...同时，分析中要使用的实数概念，建立在了有理数分割的基础上，有理数又建立在了自然数算术的基础上，而自然数对很多数学家来说是基础和显然的，因此第二次数学危机中微积分的种种模糊概念就有了一个严谨且清晰的基础，

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这本数学书AI圈都在转，资深ML研究员历时7年之作，免费电子版可看

通常，机器学习涉及大量线性代数、积分、或寻找非线性函数的最小值等问题，而这些问题往往会占用大量计算资源。...除了数值分析的角度，从模型推理和传播不确定性等领域来看，也是非常有价值的。这本书有什么用？在计算机中，有很多问题涉及复杂系统的求解。...这一章节对后续会使用到的概率推理、高斯函数、回归、线性代数等关键概念进行了介绍。...有统计学或机器学习背景的读者读起来会很轻松～ 2、积分本章利用积分的基本概念，介绍了概率数值计算的核心——贝叶斯积分公式、经典求积公式等理论，并重构现有的数值求积规则，在现有的方法上开发新的功能。...首先，你需要了解一些线性代数的基础知识——向量化矩阵、克罗内克积、正定矩阵、弗罗贝尼乌斯矩阵范数等等。

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德国最有影响力的十位数学家

他不仅把椭圆函数论引进数论研究中，得到了同余论和型的理论的一些结果，还引进到积分理论中。而积分理论的研究又同微分方程的研究相关联。此外，尾乘式原理也是他提出的。...现代数学许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式以及许多数学符号都冠以雅可比的名字，可见雅可比的成就对后人影响之深。 ? NO6....并且为微积分严格化，做出了史诗性贡献，通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难...，初等数论集大成者，代数数论萌芽始祖，现代微分几何鼻祖，对概率论作出重大贡献，并且在非欧几何，代数数论，椭圆函数论，椭圆积分作出早期系列工作，并且在电磁学，大地测量学，天文学等取得不凡成绩。...而且高斯也只是统治了初等数论，对代数数论，解析数论贡献不大，甚至不如黎曼，戴德金，狄利克雷！几乎在十九世纪近现代所有最重要数学标志性成果，竟然没有一项的发明权是属于高斯的！很惊异吧？

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人工智能之数学基础微积分：第四章积分应用

人工智能之数学基础微积分第四章积分应用前言积分是微积分的两大支柱之一，与导数互为逆运算。定积分不仅用于计算面积、体积，更是概率论中累积分布函数（CDF）的核心工具。...三、积分在概率论中的核心作用对连续型随机变量(X)，其概率由概率密度函数（PDF）(f_X(x))描述：概率=PDF在区间上的定积分P(a≤X≤b)=∫abfX(x)dxP(a\leqX\leqb)=\...infty}^xf_X(t),dtFX(x)=P(X≤x)=∫−∞xfX(t)dt因此，CDF就是PDF的定积分（从−∞-\infty−∞到xxx）四、常见连续分布的积分应用1.正态分布（高斯分布...：方法原理Python函数梯形法则用梯形近似曲边梯形np.trapz辛普森法则用抛物线近似scipy.integrate.simps自适应高斯-克朗罗德自动调整精度scipy.integrate.quad...；正态分布等重要分布的CDF无初等表达式，依赖特殊函数（erf）或数值积分；SciPy的scipy.stats封装了常见分布的PDF/CDF/数值积分，优先使用；自定义分布时，可用integrate.quad

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积分变量替换到legendre微分变换

阿德利昂·玛利·埃·勒让德为法国数学家。勒让德建立了许多重要的定理，提出了对素数定理和二次互反律的猜测并发表了初等几何教科书。...对该图像与x轴包围的面积求积分：实际情况是x=r/3，x不是自变量r才是真正意义上的自变量。则函数图像变成了：对该图像与x轴包围的面积求积分：通过图像判断我们很容易得到G(x)的表达式。...在公众中回复“定积分变量替换”查看答案。大家可留言告诉我出错在什么地方。再来看另外一个问题：请问g(t)的具体形式应该是多少？假设f(t)=(10-t)t。...在公总众号中回复“定积分变量替换”可查看答案。以上是比较简单的变量替换问题。自变量x和δf/δx之间的hard模式变量替换才是真正的重头戏。...物理化学中常有这么一个公式：该函数的独立变量V不太好使用。我们想将其转换为自变量是p,常量是V的函数形式。已知：该函数的独立变量V不太好使用。我们想将其转换为自变量是p,常量是V的函数形式。

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c++第n小的质数_形形色色的素数 -- 质数定理

还有另一个证据能证明高斯有过对素数定理的深入研究，在同一封信中，高斯说他后来找出了一个更好的对的估计函数：这个定积分函数可以这样理解，你在纸上画一个的图像，然后你算一下曲线下从2到n之间与...函数1/ln(x)的图像高斯选择用记号去表示这个函数，称为“对数积分”（也许更应该叫做“对数倒数积分”）。...这样我们有三个对质数数量函数的近似函数，勒让德的，高斯15岁时的猜想，，以及高斯后来改进后得到。那这三个函数哪个近似效果更好呢？ ...高斯在那封信中补充说，他认为他的是更好的估计，而勒让德的那个“-1.08366”毫无必要。原因在于，高斯发现勒让德的估计函数误差是不断增大的，且增大的速度也越来越快。...黎曼在报告中使用了创新的想法，将函数的定义解析延拓到整个复平面，并且将素数的分布与函数的零点紧密的联系起来。

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数学的学习不能脱离数学发展史-读万物皆数和数学简史

对现代数学与现代艺术进行阐述和比较，也是《数学简史》的一大亮点。数学来自人类对生活和世界的观察，以及对现实事物和问题的思考。...而更加重要的一位则是公元600多年的杰出数学家婆罗摩笈多，其主要贡献是将零作为一个完整数字进行描述，并给出数字0的运算性质，同时将数延伸到负数。...从印度到阿拉伯王朝，必须谈到的就是花剌子密，他可以说是在欧洲中世纪黑暗时期数学停滞不前的时候，全世界最具影响力的数学家和天文学家，其代表作是《代数学》和《印度的计算数》，虽然所讨论的数学问题并不比丢番图和婆罗摩笈多研究复杂...他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98……），同时得到结果：5050。这一年，高斯9岁。 18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。...其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。数学的深渊在我多年前谈搭建个人知识体系结构的时候，一个重要的观点就是个人不应该一叶障目，不见泰山。

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积分梯形法则

简介梯形法则是采用梯形来估计曲线下方面积，这等同将被积函数近似为直线函数，被积的部分近似为梯形，要求得较准确的数值，可以将要求积的区间分成多个小区间。...它的基本策略是用另一个易于积分的近似函数替换被积函数或表格型数据，即 I=\int_{a}^{b} f(x) d x \cong \int_{a}^{b} f_{n}(x) d x 其中，是具有如下形式的多项式...f_{n}(x)=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n} x^{n} 也可以将整个积分区间分成若干个等距的子区间，每个子区间上使用分段多项式来逼近函数或等距间隔的数据...在积分过程中，如果积分区间两端的数据点是已知的，则称为闭型积分，反之，若积分区间超出了数据范围，则称为开型积分。这里主要介绍闭型积分公式。...从几何上看，梯形法则相当于用连接f(a)和f(b)的直线与坐标轴所围梯形的面积来逼近积分。梯形法则的误差很明显，在使用直线段下的积分逼近曲线积分的过程中，不可避免地会引入误差。

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简单数学分支整理

计算机科学：在计算机图形学、人工智能等领域，分析学被用来处理和分析数据，如利用微积分进行图像处理、机器学习中的优化问题等。...数值计算则是利用计算机进行数学运算和模拟，以解决复杂的数学问题。应用领域应用数学的应用领域十分广泛，包括计算机科学、金融、工程、物理学等多个领域。...柯西（Augustin-Louis Cauchy）：对微积分学进行了严格化，引入了极限的概念和ε-δ语言。二、应用数学微分方程提出人：无特定提出人，但微分方程的概念起源于对物理问题的建模。...高斯（Carl Friedrich Gauss）：对数值分析有重要贡献，如高斯-赛德尔迭代法等。请注意，这里只列举了一些主要的数学分支和它们的提出人或重要贡献者。...重要著作：高斯《数学手册》（1809-1862年）：高斯在这本书中系统地介绍了数值分析的基本方法，包括高斯-赛德尔迭代法等。

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数学开窍最佳方法

计算机科学：在计算机图形学、人工智能等领域，分析学被用来处理和分析数据，如利用微积分进行图像处理、机器学习中的优化问题等。...数值计算则是利用计算机进行数学运算和模拟，以解决复杂的数学问题。应用领域应用数学的应用领域十分广泛，包括计算机科学、金融、工程、物理学等多个领域。...柯西（Augustin-Louis Cauchy）：对微积分学进行了严格化，引入了极限的概念和ε-δ语言。二、应用数学微分方程提出人：无特定提出人，但微分方程的概念起源于对物理问题的建模。...高斯（Carl Friedrich Gauss）：对数值分析有重要贡献，如高斯-赛德尔迭代法等。请注意，这里只列举了一些主要的数学分支和它们的提出人或重要贡献者。...重要著作：高斯《数学手册》（1809-1862年）：高斯在这本书中系统地介绍了数值分析的基本方法，包括高斯-赛德尔迭代法等。

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傅里叶级数理论详讲&实例应用

可得：我们继续采用两边积分的方法求系数an、bn，对泰勒级数两边同时乘以cos(mx),然后在[0,2π]范围积分，如下：则当m=n时：同理推bn：许多实际问题中，函数f(x)是一个定义在有限区间...对这样的函数如何展开傅里叶级数？大师告诉我们依旧可以用正弦函数、余弦函数展开：现在求展开系数的表达式：讲完傅里叶级数的理论，我们来看看实际傅里叶级数实际应用。...过冷水在学习过程中遇到如下一幅图，需要对该函数进行积分求值：数值图像求积分的问题过冷水的往期推文数值计算——MATLAB数值积分原理详讲、数值优化—三种复杂函数数值积分方法实例演示都有讲。...过冷水的实际问题是用具体函数表达式表示出第一个谷底区间的函数表达式，不需要给出整个图像区间的函数解析式，样问题就变得容易了，实际拟合一下图像：使用函数拟合工具箱直接给出多项式拟合、高斯拟合、傅里叶拟合的函数图像...，由拟合图像可知，傅里叶拟合和高斯拟合明显较好，使用起来比较简单。

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数学课可以学到什么

单位圆三角恒等式三角函数在图形和模型中的应用数列和级数：等差数列、等比数列数列的极限收敛和发散级数微积分：极限、连续性和可导性导数和微分函数的极值、最大值和最小值积分和定积分...数值计算则是利用计算机进行数学运算和模拟，以解决复杂的数学问题。应用领域应用数学的应用领域十分广泛，包括计算机科学、金融、工程、物理学等多个领域。...柯西（Augustin-Louis Cauchy）：对微积分学进行了严格化，引入了极限的概念和ε-δ语言。二、应用数学微分方程提出人：无特定提出人，但微分方程的概念起源于对物理问题的建模。...高斯（Carl Friedrich Gauss）：对数值分析有重要贡献，如高斯-赛德尔迭代法等。请注意，这里只列举了一些主要的数学分支和它们的提出人或重要贡献者。...重要著作：高斯《数学手册》（1809-1862年）：高斯在这本书中系统地介绍了数值分析的基本方法，包括高斯-赛德尔迭代法等。

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如何学好数学

计算机科学：在计算机图形学、人工智能等领域，分析学被用来处理和分析数据，如利用微积分进行图像处理、机器学习中的优化问题等。...数值计算则是利用计算机进行数学运算和模拟，以解决复杂的数学问题。应用领域应用数学的应用领域十分广泛，包括计算机科学、金融、工程、物理学等多个领域。...柯西（Augustin-Louis Cauchy）：对微积分学进行了严格化，引入了极限的概念和ε-δ语言。二、应用数学微分方程提出人：无特定提出人，但微分方程的概念起源于对物理问题的建模。...高斯（Carl Friedrich Gauss）：对数值分析有重要贡献，如高斯-赛德尔迭代法等。请注意，这里只列举了一些主要的数学分支和它们的提出人或重要贡献者。...重要著作：高斯《数学手册》（1809-1862年）：高斯在这本书中系统地介绍了数值分析的基本方法，包括高斯-赛德尔迭代法等。

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蒙特卡罗（Monte Carlo）方法——从数学原理到实际案例

该近似表明，不等式近似地以概率1-α成立，且误差收敛速度的阶为一般将蒙特克罗方法的误差ε定义为误差ε表达式中的正态差λ与置信度α是一一对应的，根据问题要求确定出置信水平之后，通过查阅正态分布表，就可以确定出...中心极限定理与高斯白噪声在使用KF、EKF、UKF进行滤波估计时，我们一般会假设传感器的观测噪声为高斯白噪声，并且在很多场合都会假设噪声是服从正态分布的。...中心极限定理的应用在微积分中，我们可以对一个函数在某个区间上积分，并得到积分值。但实际上，求积分的前提是，可以找到一个给定函数的原函数的完美解析表达式。...如果我们可以用函数来较好的描述区域A，那么很自然的我们会想到通过对函数积分来求A的面积，此时需要知道原函数，即：若A可以描述为那么A的面积可以通过以下积分来求如果函数f和g的原函数难以得到，那么积分法就很难实现了...，特别是在复杂积分运算中，通过蒙特卡罗方法模拟是一个有效的解决手段。

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微积分的发现是人类精神的最高胜利

积分思想的渊源求积问题就是求图形的面积、体积问题。...该问题的历史十分悠久，可以追溯到古代各个文明对一些简单图形进行的求面积和体积，比如求三角形、四边形、圆或球、圆柱、圆锥等等的面积或体积，以及17世纪欧洲人对圆面积、球体积、曲边三角形、曲边四边形等的面积的计算...这些问题直到牛顿和莱布尼兹建立微积分才从根本上得到了解决。求积问题是促使微积分产生的主要因素之一。在积分思想发展的过程中，有一批伟大的数学家为此做出了杰出的贡献。...在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题，在天文学中涉及到行星和太阳的最近和最远距离。 4. 求积问题。求曲线的弧长，曲线所围区域的面积，曲面所围的体积，物体的重心。...该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）的概念，虽然没有使用“流数”这一基本术语，但在其中提出了微积分的基本问题，用现在的数学语言可以表述如下： 1）已知物体的路程，求物体运动速度的问题。

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干货|机器学习的数学基础

如何在有限的计算资源下找出最优解，在目标函数及其导数的各种情形下，应该如何选择优化方法；各种方法的时间空间复杂度、收敛性如何；还要知道怎样构造目标函数，才便于用凸优化或其他框架来求解，这些都需要一定的数学基础...1.艾萨克·牛顿英国著名物理学家，数学家，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。 ?...4.西莫恩·德尼·泊松法国数学家，数据分布中的“泊松分布”就是以他的名字命名。 ? 5.布鲁克·泰勒英国数学家，我们经常用到“泰勒公式”： ? ?...6.洛必达法国数学家，在高等数学求极限的时候，我们经常用到“洛必达法则”。 ? 7.卡尔·弗里德里希·高斯德国数学家，在机器学习中他的名字肯定不会陌生，比如“高斯分布”、“高斯核函数”。 ?.../0.math

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线性代数的历史

行列式独立于解线性方程组的阐述最早由范德蒙在 1772 年的“Memoir on elimination”中给出。（行列式的名字最早由高斯在 1801 年给出，用于表示二次型的判别式。）...魏尔斯特拉斯和克罗内克大概在 19 世纪 60 年代给出了行列式的公理化定义。魏尔斯特拉斯定义行列式为赋范线性齐次函数。...3 矩阵和线性变换矩阵是高斯为简化线性变换的书写引入的。他把线性变换表示为矩形的数列——矩阵，尽管他没有使用矩阵这一术语。...他受到他的老师魏尔斯特拉斯的深刻影响，采用了魏尔斯特拉斯式的严格性，并探求理论背后的根本性想法。他对双线性型的标准型的一般问题进行了彻底的研究。...戴德金在代数数论的研究中引入了域的概念。他把域定义为复数集满足某些公理的子集。他给出了关于域的重要概念和结果，有些与线性代数有关。

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哥廷根群星闪耀时

卡尔·弗里德里希·高斯（左）和他的博士生伯恩哈德·黎曼（中）和理查德·戴德金（右）在哥廷根期间，高斯带出了多位杰出数学家，包括伯恩哈德·黎曼，他于1846年来哥廷根学习神学，后因着迷于高斯的工作而被高斯劝说学习数学...高斯的最后一个学生同时也是黎曼的同龄人：理查德·戴德金（1831-1916），1850年到1852年他在高斯门下学习并获得博士学位。在高斯的指导下，戴德金研究了欧拉积分。...戴德金后来还整理了高斯、黎曼和迪利克雷的著作并将其出版。他对后者工作的关注促使他开始研究代数数域和理想。他也是第一批在哥廷根教授伽罗瓦理论的人之一，他认识到群在代数和算术中的重要性。 ?...约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（左），他在柏林的接班人，恩斯特·库默尔（中）和库默尔的学生利奥波德·克罗内克（右）在狄利克雷离开柏林后，接任他的是库默尔，他曾是一位中学老师。...1954年，他因对量子力学的贡献，特别是他对波函数的统计解释被授予诺贝尔物理学奖。 ?

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