使用syms、f和Hessian编写具有动态变量的函数，以获得其hessian矩阵 - 腾讯云开发者社区 - 腾讯云

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OpenCV实战 | Hessian矩阵以及在血管增强中的应用

Hessian矩阵的由来及定义由高等数学知识可知，若一元函数f(x) 在 ? 点的某个邻域内具有任意阶导数，则 ? 在 ? 点处的泰勒展开式为： ? 其中 ? , ? 二元函数 ? 在 ?...根据尺度空间理论，二阶导数可以通过图像与高斯函数的卷积获得，例如，在点(x,y)处有 ? 其中 ? ,为尺度 ? 为的高斯函数。...5.Hessian矩阵特征值的图像性质一个Hessian矩阵可以分解为两个特征值以及定义的特征向量。 ? 和 ? 其中最大的绝对特征值 ?...2.计算Hessian矩阵我们来看frangi2d_hessian这个函数，正如注释说明，它就是Hessian运算的具体实现： //计算Hessian矩阵 with parameter sigma on...的filter2D 函数是如何实现卷积的，和Matlab有何区别，可以参考《实际比较filter2D和imfilter之间的关系》 3.Hessian特征值的计算我们回忆一下最前面得到的结论： ?

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梯度下降及其优化

尤其当输入时多维的时候，所有这些都将使优化变得困难。因此，我们通常寻找使f非常小的点，但这在任何形式意义下并不一定最小。我么经常使用最小化具有多维输入的函数：。...三、Jacobian和Hessian函数有时我们需要计算输入和输出都为向量的函数的所有偏导数。包含所有这样的偏导数的矩阵被称为Jacobian矩阵。...如果二阶导数是正的，函数曲线是向上凹陷(向下凸出)，因此代价函数将下降得比少。当我们的函数具有多维输入时，二阶导数也有很多。我们可以将这些导数合并成一个矩阵，称为Hessian矩阵。...在深度学习背景下，我们遇到的大多数函数的Hessian矩阵几乎处处都是对称的。因为Hessian矩阵是实对称的，我们可以将其分解成一组是特征值和一组特征向量的正交基。...这通常意味着步长太小，以至于在其他较小曲率的方向上进展不明显。可以使用Hessian矩阵的信息来指导搜索，以解决这个问题。其中最简单的方法是牛顿法(Newton's method)。

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Theano 中文文档 0.9 - 7.2.3 Theano中的导数

计算梯度现在让我们使用Theano来完成一个稍微复杂的任务：创建一个函数，该函数计算相对于其参数x的某个表达式y的导数。为此，我们将使用宏T.grad。例如，我们可以计算相对于的梯度。...为了手动计算某些函数y相对于某个参数x的雅可比矩阵，我们需要使用scan。我们所做的是循环y中的条目，并计算y [i]相对于x的梯度。...原因是y_i将不再是x的函数，而y[i]仍然是。计算Hessian 在Theano中，术语Hessian具有通常的数学概念：它是由函数的二阶偏导数组成的矩阵，该函数的输出为标量和输入为向量。...注意 v是求值的关键点，其在L操作和R操作中不同。对于L操作符，这个求值的关键点需要具有与输出相同的形状，而对于R操作符，该点应具有与输入相同的形状参数。此外，这两个操作的结果不同。...内置函数使得高效地计算向量乘以Jacobian和向量乘以Hessian。优化工作还在进行中，包括有效计算完全Jacobian和Hessian矩阵以及Jacobian乘以向量。

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机器学习最优化算法（全面总结）

学习率的设置通常采用直线搜索（line search）技术。在实现时，一般不直接求Hessian矩阵的逆矩阵，而是求解下面的线性方程组：其解d称为牛顿方向。...拟牛顿法牛顿法在每次迭代时需要计算出Hessian矩阵，并且求解一个以该矩阵为系数矩阵的线性方程组，Hessian矩阵可能不可逆。为此提出了一些改进的方法，典型的代表是拟牛顿法。...拟牛顿法的思路是不计算目标函数的Hessian矩阵然后求逆矩阵，而是通过其他手段得到一个近似Hessian矩阵逆的矩阵。...具体做法是构造一个近似Hessian矩阵或其逆矩阵的正定对称矩阵，用该矩阵进行牛顿法的迭代。...接下来检查如下比值以更新wk和Δk：这是函数值的实际减少量和二次近似模型预测方向导致的函数减少量的比值。根据之前的计算结果，再动态调整可信域的大小。

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最新训练神经网络的五大算法

d2f/dwi·dwj (i,j = 1,…,n) 　　多变量的连续可微分函数的求解问题一直被人们广泛地研究。...4.拟牛顿法（Quasi-Newton method）牛顿法在计算上是相当昂贵的，因为它需要许多操作来评估Hessian矩阵并计算其逆矩阵。...为了解决这个缺点，出现了被称为拟牛顿法或可变矩阵法的替代方法。这种方法在算法的每次迭代中建立并逼近Hessian逆矩阵，而不是直接计算Hessian矩阵，然后评估其逆矩阵。...该近似值仅使用损失函数的一阶导数的信息来计算。 Hessian矩阵由损失函数的二阶偏导数组成。拟牛顿法背后的主要思想是仅使用损失函数的一阶偏导数，通过另一矩阵G得到近似Hessian矩阵的逆。...第一步是计算损失值、梯度和Hessian逼近，然后调整阻尼参数，以减少每次迭代的损失。 Levenberg-Marquardt算法是针对误差平方和型函数的特定方法。

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机器学习中的最优化算法（全面总结）

学习率的设置通常采用直线搜索（line search）技术。在实现时，一般不直接求Hessian矩阵的逆矩阵，而是求解下面的线性方程组：其解d称为牛顿方向。...拟牛顿法 ---- 牛顿法在每次迭代时需要计算出Hessian矩阵，并且求解一个以该矩阵为系数矩阵的线性方程组，Hessian矩阵可能不可逆。为此提出了一些改进的方法，典型的代表是拟牛顿法。...拟牛顿法的思路是不计算目标函数的Hessian矩阵然后求逆矩阵，而是通过其他手段得到一个近似Hessian矩阵逆的矩阵。...具体做法是构造一个近似Hessian矩阵或其逆矩阵的正定对称矩阵，用该矩阵进行牛顿法的迭代。...接下来检查如下比值以更新wk和Δk：这是函数值的实际减少量和二次近似模型预测方向导致的函数减少量的比值。根据之前的计算结果，再动态调整可信域的大小。

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Jacobin和Hessian矩阵

有时我们需要计算输入和输出都为向量和函数的所有偏导数。包含所有这样的偏导数的矩阵被称为Jacobian矩阵。具体来说，如果我们有一个函数 , 的Jacobian矩阵定义为。...当我们的函数具有多维输入时，二阶导数也有很多。我们可以将这些导数合并成一个矩阵，称为Hesian矩阵。...如果Hessian的特征值中至少一个是正的且至少一个是负的，那么x是f某个横截面的局部极大点。最后多维二阶导数测试可能像单变量版本那样是不正确的。...我们可以使用Hessian矩阵的信息来指导搜索，以解决这个问题。其中最简单的方法是牛顿法(Nowton's method)。...使用Hessian矩阵的优化算法称为二阶优化算法，如牛顿法。

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梯度下降算法数学原理讲解和Python代码实现

当f(x + d)的一阶导数为零时，函数达到最小值。 ? 而在n维中，f’’(x)为hessian矩阵，1/f’’(x)为逆hessian矩阵。最后，f’(x)为梯度。...我们需要计算hessian矩阵的逆。对于大型矩阵，这是一项计算量很大的任务。因此，实际上，我们以完全等效的方式解决了这一问题。 ?...它真正快速的原因是它使用了二阶信息(hessian矩阵)。即使使用了hessian，即使使用hessian矩阵也要付出代价:效率。...计算逆矩阵是一项计算量很大的任务，因此数学家想出了解决此问题的解决方案。主要是：拟牛顿法和梯度法。拟牛顿法尝试使用各种技术来逼近hessian 矩阵的逆，而梯度法只使用一阶信息。...由于我们希望此更新尽可能高效，即使得f最小化，也就是说我们正在寻找α，使得: ? 请注意，在此步骤中，x和grad(x)是常量。因此，我们可以定义一个新函数q： ? 其中q实际上是一个单一变量函数。

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Jacobian矩阵和Hessian矩阵

前言还记得被Jacobian矩阵和Hessian矩阵统治的恐惧吗？本文清晰易懂的介绍了Jacobian矩阵和Hessian矩阵的概念，并循序渐进的推导了牛顿法的最优化算法。...希望看过此文后，你对这两类矩阵有一个更深刻的理解。在向量分析中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式....于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。在某个给定点的雅可比行列式提供了在接近该点时的表现的重要信息。例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数。...海森Hessian矩阵在数学中，海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：如果f的所有二阶导数都存在，那么f的海森矩阵即...矩阵, 而是每一步的时候使用梯度向量更新hessian矩阵的近似。

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hesse矩阵和jacobi矩阵_安索夫矩阵和波士顿矩阵区别Jacobian矩阵和Hessian矩阵

，海森矩阵和牛顿法的介绍，非常的简单易懂，并且有Hessian矩阵在牛顿法上的应用。...Jacobian矩阵和Hessian矩阵发表于 2012 年 8 月 8 日 1. Jacobian 在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式....在某个给定点的雅可比行列式提供了在接近该点时的表现的重要信息. 例如, 如果连续可微函数FF在pp点的雅可比行列式不是零, 那么它在该点附近具有反函数. 这称为反函数定理....海森Hessian矩阵在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵, 此函数如下： 2), 最优化在最优化的问题中,...假设任务是优化一个目标函数ff, 求函数ff的极大极小问题, 可以转化为求解函数ff的导数f′=0f′=0的问题, 这样求可以把优化问题看成方程求解问题(f′=0f′=0).

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NO.2 《机器学习期末复习篇》以题（问答题）促习（人学习），满满干huo，大胆学大胆补！

共轭梯度法流程损失函数梯度：梯度对参数 a 和 b的形式为： Hessian矩阵：目标函数 J(a,b)为二次型函数，其 Hessian 矩阵为：对于线性回归模型的 MSE：...在高维问题中，Hessian 矩阵的计算和存储成本很高（尤其是当维度较高时，Hessian 是一个的矩阵）。若 Hessian 矩阵稀疏性较差，计算代价会进一步增加。...Hessian 矩阵可能是非正定的：如果目标函数的 Hessian 矩阵不是正定矩阵，牛顿法可能会走向错误的方向，导致迭代发散。特别是在非凸优化问题中，Hessian 可能有负特征值。...避免直接求 Hessian 的逆矩阵：拟牛顿法使用更新公式构造 Hessian 近似的逆矩阵（如 BFGS 方法）。在每次迭代中，仅通过向量运算更新近似矩阵，计算成本大大降低。...蒙特卡洛法核心思想蒙特卡洛方法是一种基于随机采样的数值计算方法，其理论基础是大数法则和概率统计理论：大数法则：大数法则表明，当随机变量的独立样本数足够大时，其样本均值会收敛于总体期望值。

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理解牛顿法

实际实现时一般不直接求Hessian矩阵的逆矩阵，而是求解如下方程组：求解这个线性方程组一般使用迭代法，如共轭梯度法，当然也可以使用其他算法。...拟牛顿法牛顿法在每次迭代时需要计算出Hessian矩阵，然后求解一个以该矩阵为系数矩阵的线性方程组，这非常耗时，另外Hessian矩阵可能不可逆。...拟牛顿法的思想是不计算目标函数的Hessian矩阵然后求逆矩阵，而是通过其他手段得到Hessian矩阵或其逆矩阵的近似矩阵。...具体做法是构造一个近似Hessian矩阵或其逆矩阵的正定对称矩阵，用该矩阵进行牛顿法的迭代。...在这里我们以线性支持向量机和liblinear为例。liblinear是一个线性算法的开源库，其作者是中国台湾大学林智仁教授和他的学生，与libsvm的作者相同。

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每日一问之鞍点（saddle point）

结合自己的情况并针对这道问题，整理出了以下概念：什么是鞍点？什么是 Hessian 矩阵？如何证明一个点为鞍点？局部最小值和鞍点的区别？...在数学中，Hessian 矩阵是标量值函数或标量场函数的二阶偏导数的方块矩阵。它描述了许多变量函数的局部曲率，可以用于判定多元函数的极值。...如下所示：如果 H 在 x 处为正定矩阵时，则函数 f 在 x 处有一个局部极小值；如果 H 在 x 处为负定矩阵时，则函数 f 在 x 处有一个局部极大值；如果 H 在 x 处为不定矩阵时（即同时有正特征值和负特征值...所以，一个简单标准的方法验证一个静止点是否为一个实数函数的鞍点，就是计算该函数的在该点上的 Hessian 矩阵。如果该 Hessian 矩阵为不定的，则该点为该函数的鞍点。...局部极小值和鞍点局部极小值和鞍点的相同点是，在该点处的梯度（导数）都为零。从上面可以看出，局部极小值和鞍点的区别就在于，在该点处的 Hessian 矩阵的特性。

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训练神经网络的五大算法：技术原理、内存与速度分析

,n) 类似地，损失函数的二阶导数可以用Hessian矩阵，写成： Hi,jf(w) = d2f/dwi·dwj (i,j = 1,...,n) 许多连续和可微函数的最小化问题已经有许多研究。...使用泰勒级数得到f在w0上的二次近似值： f = f0 + g0 · (w - w0) + 0.5 · (w - w0)2 · H0 H0是在点w0处估计的f的Hessian矩阵。...这种方法在算法的每次迭代中建立并逼近Hessian逆矩阵，而不是直接计算Hessian矩阵，然后评估其逆矩阵。该近似值仅使用损失函数的一阶导数的信息来计算。...Hessian矩阵由损失函数的二阶偏导数组成。拟牛顿法背后的主要思想是仅使用损失函数的一阶偏导数，通过另一矩阵G得到近似Hessian矩阵的逆。...第一步是计算损失值、梯度和Hessian逼近，然后调整阻尼参数，以减少每次迭代的损失。 ? Levenberg-Marquardt算法是针对误差平方和型函数的特定方法。

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机器学习_最优化

两者关系：随机梯度下降方法以损失很小的一部分精确度和增加一定数量的迭代次数为代价，换取了总体的优化效率的提升。...牛顿法和拟牛顿法牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。牛顿法最大的特点就在于它的收敛速度很快。单变量例如：方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)= 0的根。...x坐标x_1,x_1比x_0更加接近收敛值的解，也就是使得f(x)=0，单变量迭代公式： x_n+1=x_n-f(x_n)/f'(x_n) 如果f ' 是连续的，牛顿法必定收敛多变量的话，需要用到雅可比矩阵和海森矩阵...拟牛顿法的本质思想是改善牛顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷，它使用正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从而简化了运算的复杂度。...在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

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划重点！十分钟掌握牛顿法凸优化

1 牛顿法求解方程的根有时候，在方程比较复杂的情况下，使用一般方法求解它的根并不容易。牛顿法通过迭代的方式和不断逼近的思想，可以近似求得方程较为准确的根。牛顿法求根的核心思想是泰勒一阶展开。...例如对于方程 f(x) = 0，我们在任意一点 x0 处，进行一阶泰勒展开：令 f(x) = 0，带入上式，即可得到：注意，这里使用了近似，得到的 x 并不是方程的根，只是近似解。...从矩阵的角度来说，一阶导数和二阶导数分别对应雅可比矩阵（Jacobian matrix）和海森矩阵（Hessian matrix）。...Jacobian 矩阵 Hessian 矩阵牛顿法不仅需要计算 Hessian 矩阵，而且需要计算 Hessian 矩阵的逆。当数据量比较少的时候，运算速度不会受到大的影响。...BFGS 算法使用近似的方法来计算 Hessian 矩阵的逆，有效地提高了运算速度。但是仍然需要将整个 Hessian 近似逆矩阵存储起来，空间成本较大。

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数学建模--整数规划和非线性规划

梯度法梯度法是一种基于一阶导数的优化方法，其基本思想是在目标函数的当前点处沿着负梯度方向进行搜索，以寻找函数的最小值。梯度法的优点在于实现简单，计算量相对较小，适用于大规模问题。...牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数的优化方法，其基本思想是在目标函数的当前点处使用泰勒展开式来近似目标函数，并通过求解二次方程来确定下一步的搜索方向和步长。...牛顿法的优点在于收敛速度快，尤其是在目标函数是凸函数时，可以快速收敛到全局最优解。然而，牛顿法需要计算和存储Hessian矩阵及其逆矩阵，这在高维问题中可能导致计算复杂度和内存消耗过高。...拟牛顿法拟牛顿法是牛顿法的一种改进版本，旨在降低牛顿法的计算成本。拟牛顿法通过近似Hessian矩阵或其逆矩阵来代替真实的Hessian矩阵，从而减少计算负担。...计算复杂度：牛顿法：较高，需要计算和存储Hessian矩阵及其逆矩阵。梯度法：较低，只需计算梯度。拟牛顿法：介于两者之间，通过近似Hessian矩阵来减少计算负担。

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从浅层模型到深度模型：概览机器学习优化算法

以最小化 ? 以满足割线方程 sk = (B^-1)yk。使用精心挑选的规范表达，这个问题的解析式可以显示的写成 ? 其中 ? 之间的差异可以仅表示为二阶矩阵。...计算这种乘积的复杂度只是比计算梯度多一个常数因子。所得到的类的方法通常被称为海塞-自由优化方法，因为当访问和使用 Hessian 信息时，没有显式地存储 Hessian 矩阵。...这两种方法都在训练 DNN 的情况中探讨过，例如，在 [54,55] 中，提出了一种高斯牛顿法，其在（11）中函数 F 的 Hessian 的公式中的第一项近似于 Hessian 矩阵（省略了正则化项）...在这项工作中，它表明，只要梯度和 Hessian 估计是足够准确的一些正概率，使用随机不精确梯度和 Hessian 信息的标准优化方法就可以保留其收敛速度。...需要注意的是，对于采样的海塞矩阵，其对样本集的大小要求比采样的梯度要高得多，因此支持使用精确梯度的海塞估计的思想催生了强大的算法，它拥有强大理论支撑和良好的实践高效性。 ?

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常用矩阵

Hessian matrix (黑塞矩阵) Hessian 矩阵是一个由多变量实值函数的所有二阶偏导数组成的方块矩阵。...2.1 定义假设实值函数的所有二阶偏导数都存在并在定义域内连续，那么函数的 Hessian 矩阵为 H=[∂2f∂x12⋯∂2f∂x1∂xn⋮⋱⋮∂2f∂xn∂x1⋯∂2f∂xn2]...\boldsymbol{H} = \nabla^2 f H=∇2f 2.2 性质若函数有次连续性，则函数的 Hessian 矩阵是对称方阵。...函数的 Hessian 矩阵和 Jacobian 矩阵有如下关系： H(f)=J(∇fT)\begin{array}{c} \boldsymbol{H}(f) = \boldsymbol{J...}(\nabla f^T) \end{array} H(f)=J(∇fT) 即函数的 Hessian 矩阵等于其梯度的 Jacobian 矩阵。

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算法优化之道：避开鞍点

在这种情况下，(0,0)点叫作该函数的鞍点（saddle point）。为了区分这种情况，我们需要考虑二阶导数∇2f（x）——一个n×n的矩阵（通常称作Hessian矩阵），第i,j项等于 ? 。...同样，当Hessian矩阵负定时，此点是一个局部最大值点；当Hessian矩阵同时具有正负特征值时，此点便是鞍点。...梯度∇f(x)很大。 2. Hessian矩阵∇2f(x)具有负的特征值。 3. 点x位于局部极小值附近。从本质上讲，每个点x的局部区域看起来会与下图之一类似： ?...多项式高度依赖于维度N和Hessian矩阵的最小特征值，因此不是很实用。对于严格鞍问题，找到最佳收敛率仍是一个悬而未决的问题。最近 Lee et al....然而他们的结果依赖于动态系统理论（dynamical systems theory）的稳定流形定理(Stable Manifold Theorem) ，其本身并不提供任何步数的上界。

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