给定一个N个元素的数组，冒泡法排序将： 如果元素大小关系不正确，交换这两个数（在本例中为a> b）， 比较一对相邻元素（a，b）， 重复步骤1和2，直到我们到达数组的末尾（最后一对是第（N-2）和（N-...1）项，因为我们的数组从零开始） 到目前为止，最大的元素将在最后的位置。...外循环正好运行N次迭代。 但内部循环运行变得越来越短： 当 i = 0，（N-1）次迭代（比较和可能交换）时。 当 i = 1，（N-2）次迭代时，......当 i =（N-2）时，1次迭代, 当 i=（N-1），0迭代. 因此，总迭代次数=（N-1）+（N-2）+ ... + 1 + 0 = N *（N-1）/ 2。...冒泡排序的实例分析 以数组 arr = [5, 1, 4, 2, 8] 为例说明，加粗的数字表示每次循环要比较的两个数字： 第一次外循环 ( 5 1 4 2 8 ) → ( 1 5 4 2 8 )， 5
最后比较a[n-2]与a[n-1]的值。这样处理一轮后，a[n-1]的值一定是这组数据中最大的。 再对a[0]~a[n-2]以相同方法处理一轮，则a[n-2]的值一定是a[0]~a[n-2]中最大的。...算法介绍 设要排序的数组是A[0]……A[n-1] 首先任意选取一个数据作为关键数据，然后将所有比它小的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一趟快速排序。...一趟快速排序算法 设置两个变量 i、j，排序开始的时候：i=0，j=n-1； 以第一个数组元素作为关键数据，赋值给 pivot，即 pivot =A[0]； 从 j 开始向前搜索，即由后开始向前搜索(j...）； 不过，快排的最坏复杂度即退化为冒泡排序时，时间复杂度为O(n^2)，比如一种待排序的序列已经为升序序列，那么每轮分割区间长度为1，n-1，不就是退化为了冒泡排序了吗。...在实际操作中，有很多技术可以降低最坏情况发生的概率，快速排序克服了这个问题后，使得自己应用很广泛。
= n ∗ (n − 1)! 这样的思路就是把⼀个较⼤的问题，转换为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的问题来求解的。 n!---> n*(n-1)! (n-1)!...---> (n-1)*(n-2)!.... 直到n是1或者0时，不再拆解 再稍微分析⼀下，当 n<=1 的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过上述公式计算。...1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4 然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推 不断的 %10 和 \10 操作，直到1234的每⼀位都得到；...但是这⾥有个问题就是得到的数字顺序是倒着的，我们以这个思路设想一个Print函数 Print(n) 如果n是1234，那表⽰为 Print(1234) //打印1234的每⼀位 其中1234中的4可以通过...（n-1）+Fib（n-2） int Fib(int n) { if(n<=2) return 1; else return Fib(n-1)+Fib(n-2); } int main() {
因为是从第一个数开始和相邻的数进行比较，所有就需要循环n-1次，即比较n-1趟，又因为每一趟都会找到最大的一个数放在后面，所以每一趟的比较都会比上一趟少比较一次，即n-1次、n-2次、n-3次…..1次...(n是需要排序数字的个数) 二、java代码实现的基本思路 利用二重for循环实现，外重循环设为i(每一趟)，内重循环设为j(每一趟的每一次比较)，假设有n个数字需要排序，设int[] num=new...int[n],则外循环重复n-1次，内循环重复n-1次、n-2次、n-3次…….1次，所以i的值依次为1、2…..n-1，对应的j的值为n-1、n-2、n-3…….1。...，需要循环n-1次，即比较n-1趟 for (int i = 0; i < num.length – 1; i++) { //内重循环，即每一趟的每一次比较，每次比较n-1次、n-2次、n-3次……...=true ; //设置标志 //内重循环，即每一趟的每一次比较，每次比较n-1次、n-2次、n-3次…….1次 for (int j = 0; j < num.length – 1 – i; j++)
冒泡排序 假设数组arr长度为N，冒泡排序的过程为： 在arr[0～N-1]范围上： arr[0]和arr[1]，谁大谁来到1位置； arr[1]和arr[2]，谁大谁来到2位置 [N-2]和arr[N...外循环正好运行N次迭代。但内部循环运行变得越来越短： 当 i = 0，（N-1）次迭代（比较和可能交换）时。 当 i = 1，（N-2）次迭代时，......当 i =（N-2）时，1次迭代, 当 i=（N-1），0迭代....估算：很明显，如果arr长度为N，每一步常数操作的数量，如等差数列一般，所以，总的常数操作数量 = a*(N²) + b*N + c (a、b、c都是常数) 所以选择排序的时间复杂度为O(N²)。...很明显，在最差情况下，如果arr长度为N，插入排序的每一步常数操作的数量，还是如等差数列一般。
两个子问题构成了最终问题的解，所以当n>=3时，青蛙就有f(n)=f(n-1)+f(n-2)种跳法。...2 == n) return 2; return fib(n-1)+fib(n-2); } 3.1时间复杂度分析 以递归实现斐波那契数，效率是非常低下的，因为对子问题的求解...设f(n)为参数为n时的时间复杂度，很明显：f(n)=f(n-1)+f(n-2)变为f(n)-f(n-1)+f(n-2)=0，仔细一看，这就是数学上的二阶线性常系数齐次差分方程，求该差分方程的解，就是求得...image.png 有了关于差分方程的一些定义和概念，现在应该知道为什么f(n)-f(n-1)+f(n-2)=0叫作二阶线性常系数齐次差分方程了吧。...关于斐波那契数列递归 求解的期间复杂度我们简化其求解过程，按照如下方式求解。 image.png 递归的时间复杂度是： 递归次数*每次递归中执行基本操作的次数。
两个子问题构成了最终问题的解，所以当 n>=3 时，青蛙就有 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 种跳法。...return fib(n-1)+fib(n-2); } 5.1 时间复杂度 以递归实现斐波那契数，效率是非常低下的，因为对子问题的求解 fib(n-1) 和 fib(n-2) 两者存在重叠的部分，对重叠的部分重复计算造成了浪费...设 f(n) 为参数为n时的时间复杂度，很明显，f(n) = f(n-1) + f(n-2) 变为 f(n) - f(n-1) - f(n-2) = 0，仔细一看，这就是数学上的二阶线性常系数齐次差分方程...有了关于差分方程的一些定义和概念，现在应该知道为什么 f(n)-f(n-1)-f(n-2)=0 叫作二阶线性常系数齐次差分方程了吧。...关于斐波那契数列递归求解的期间复杂度我们简化其求解过程，按照如下方式求解。 递归的时间复杂度是：递归次数*每次递归中执行基本操作的次数。所以时间复杂度是： O(2^n) 。
N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到 最坏情况：N次找到 平均情况：N/2次找到 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N) 常见复杂度 常数阶O(...Σ(n-1)+(n-2)+...+1 = n(n-1)/2 = O(n^ 2) ，外层循环n次,内层循环每个都为O(n)， 所以整体时间复杂度是外层循环次数乘内层循环时间复杂度,即O(n)×O(n)=O..."沉底",即升序排列， 数组长度为n的排序,需要进行n-1轮比较才能完成排序，每一轮循环需要进行n-1次元素比较,最坏情况下每次比较都需要交换元素，所以总共需要进行(n-1)+(n-2)+...+1 =...2^N) 原因: 斐波那契数列的递归定义是:Fib(N) = Fib(N-1) + Fib(N-2)，每次调用Fib函数,它会递归调用自己两次。...二叉树的高度就是输入N,每一层节点数都是2的N次方，根据主定理,当问题可以递归分解成固定数目的子问题时,时间复杂度就是子问题数的对数,即O(c^ N )。
我们可以总结下，N个数字要排序完成，总共进行N-1趟排序，第i趟的排序次数为(N-i)次，所以可以用双重循环语句，外层控制循环多少趟，内层控制每一趟的循环次数。...时间复杂度分析 对包含n个数据的数组进行冒泡排序，最坏情况下，需要进行n*(n-1)/2次交换。最好情况下，无需进行交换。取中间值n*(n-1)/4，表示初始有序的的平均情况。...也就是平均情况下需要n*(n-1)/4次交换操作，比较操作肯定要比交换操作多，而这个复杂度的上限是O(n²)。 所以可粗略地认为冒泡排序平均情况下时间复杂度是O(n²)。...，需要比较N-1次； 第二次排序，需要比较N-2次； .........第N-1次排序，需要比较1次； 比较次数=(N-1)+(N-2)+...+1=((1+ N-1)*(N-1))/2=N²/2 + N/2 所以时间复杂度为：O(N²) 三、区别 一、相同点 1.都有两层循环
) 1）有n个数（存放在数组a(n)中），第一趟将每相邻两个数比较，小的调到前头，经n-1次两两相邻比较后，最大的数已“沉底”，放在最后一个位置，小数上升“浮起”； 2）第二趟对余下的n-1个数（最大的数已...“沉底”）按上法比较，经n-2次两两相邻比较后得次大的数； 3）依次类推，n个数共进行n-1趟比较，在第j趟中要进行n-j次两两比较。...,每进行一次测量 ,把测量结果放于队尾 ,而扔掉原来队首的一个数据 ,这样在队列中始终就有 N 个 “最新” 的数据。...当计算平均值时 ,只要把队列中的 N 个数据进行算数平均 ,就可得到新的算数平均值。这样每进行一次测量 ,就可得到一个新的算术平均值。...余数 M[1] = M - b[n-1]*pow(2, 2*n-2) (2) N的次高位b[n-2]可以采用试探法来确定。
A．n/2 B．n C．1 D．n-2 分析：按照上图介绍，把第n-1个元素移动到n，把第n-2个元素移动到n-1，就完成了两次移动。...(n-1)/2 B．n C．2n D．n-i 分析：删除第n-1个位置的元素需要移动0个元素；删除第n-2个位置的元素需要移动1个元素；…；删除第1个位置的元素需要移动n-2个元素；删除第0个位置的元素需要移动...（ T ） （3）浏览器记录用户的访问地址以实现“回撤”操作，可以通过“队列”结构来实现。（F ） 分析：这个操作应该是栈的结构来实现的，比如回撤了两次，肯定是先回撤到后访问的地址，是后进先出。...（n阶、n*n）的对称矩阵A的下三角部分（包括主对角线元素）以行序为主序方式存放于一维数组B中，那么，A中任一个下三角元素aij(i≥j≥0)在数组B中的下标位置k(k≥0)为（ B ）。...分析：第0趟冒泡排序需要进行n-1次元素间的比较，第1趟冒泡排序需要进行n-2次元素间的比较，…，第i次冒泡排序需要进行n-i-1次元素间的比较 （4）稳定的排序算法指（ A ）。
递归的三大要素 说明：刚开始学习递归可能会使自己一头雾水，看别人写的递归程序总是能够读懂，但是自己实际操作却困难重重，所以，在开始学习之前，不妨掌握递归的精髓，即我们自己写是应当以怎么样的看法去看待递归问题的代码写法...考虑是否重复计算 告诉你吧，如果你使用递归的时候不进行优化，是有非常非常非常多的子问题被重复计算的。 啥是子问题？ f(n-1),f(n-2)…就是 f(n) 的子问题了。...例如对于案例2那道题，f(n) = f(n-1) + f(n-2)。递归调用的状态图如下： ? 看到没有，递归计算的时候，重复计算了两次 f(5)，五次 f(4)。。。。...补充-递归在内存空间的栈实现 ? 递归的实现可以看作是一次次的压栈操作，我们每调用一次递归体，比如print(n-1)，就会一次一次地压栈。...为何无return的递归语句能够实现，主要原因有在栈中递归体的执行顺序是先进后出原则，每次运行完一次递归体（比如n-2）之后，继续执行栈语句相当于进入下一个递归体(n-1)。
在计算F(n)时要先计算F(n-1)和F(n-2)，而计算F(n-1)时要先计算F(n-2)和F(n-3)，这样就计算了两遍F(n-2)。...由于涉及二维数组的操作，所以对循环遍历的对象要格外注意：遍历的是索引还是下标，尽量避免混淆。...，也就是需要递归调用两次getMostGold()，对于一个规模为n的问题，该算法的时间复杂度为 O(2^n) 。...在走楼梯问题中，F(n-1)和F(n-2)就是F(n)的最优子结构，因为F(n-1)和F(n-2)就是F(n)的最优解。...需要注意的是，这两个数组在交换数据时，并没有使用改变指针方向的方式，是因为这样会导致两个指针指向同一段内存空间，实际是操作同一行的数据而不是两行。
死磕算法系列文章 干货 | 手撕十大经典排序算法 剑指offer | 认识面试 剑指offer | 面试题2：实现Singleton模式 剑指offer | 面试题3：二维数组的查找 剑指offer...递推性质 ，即 f(n)和 f(n-1)…f(1) 之间是有联系的。...当为 1 级台阶：剩 n-1 个台阶，此情况共有 f(n-1)种跳法； 当为 2 级台阶：剩 n-2 个台阶，此情况共有 f(n-2) 种跳法。...f(n) 为以上两种情况之和，即 f(n)=f(n-1)+f(n-2)，以上递推性质为斐波那契数列。...n 次，每轮循环内计算操作使用 O(1) 。
添加与搜索单词 - 数据结构设计 一 摘要 在前面算法题目解析：从一道题目看动态规划这篇文章中，描述了动态规划的概念、原理和典型示例，今天用几道典型的动态规划题目来做为练手，达到掌握的目的。70....如果我们从最后一次的选择倒推，f(n)表示到达第n个台阶的可能方法数，那么就可以很容易得到f(n) = f(n-1)+f(n-2)。...当前子问题的解将由上一次子问题的解推导而出。很显然，题目符合这个特征。因此可以使用动态规划的方法。...（1）比较容易，f(n) = f(n-1)+f(n-2)就是我们这个场景的状态转移方程； （2）边界条件，因为状态转移方程需要先知道f(n-1)和f(n-2)，所以说递推的计算只能从f(2)开始，并初始化...如果滚动数组不好理解，也可以简单地定义n_1 和 n_2两个变量，每计算一次后，更新n_1=f(i)，n_2=f(i-1)，下次就可以用这两个值计算f(i+1)了。
第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。...第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。 所以，小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。...这也是我要和你们说的，关于递归结束条件是否够严谨问题，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。...考虑是否重复计算 告诉你吧，如果你使用递归的时候不进行优化，是有非常非常非常多的子问题被重复计算的。 啥是子问题？f(n-1),f(n-2)….就是 f(n) 的子问题了。...例如对于案例2那道题，f(n) = f(n-1) + f(n-2)。递归调用的状态图如下： ? 看到没有，递归计算的时候，重复计算了两次 f(5)，五次 f(4)。。。。
它的基本操作是: 每一次通过n-i次关键字间的比较,从n-i+1个数据中选出关键字最小(大)的数据,并和第i(1≤i≤n)个数据交换 重复n-1次上述操作,直到全部待排序的数据元素排完....算法动图演示如下: 二.简单选择排序的代码实现 算法实现步骤:(以升序为例) 在元素集合arr[i]~arr[n-1]中选择关键码最小(大)的数据元素....在剩余的arr[i+1]~arr[n-1](arr[i]~arr[n-2])集合中,重复上述步骤,直到集合剩余一个元素....: 元素挪动交换次数很少,但是元素比较次数很多,并且无论是数组天生顺序的情况还是天生逆序的情况,元素比较次数都是一样的,都是:T(n)=(n-1)+(n-2)+...+2+1=n(n-1) / 2...而对于交换次数而言,最好的时候,交换次数为0次,最坏的时候,交换次数为n-1次. 基于最终的排序时间是交换次数和比较次数的总和,因此,总的时间复杂度依然是O(n^2).
，只需要遍历一次就可以了，执行N-1次 最坏的情况是顺序是完全相反的 若初始文件是反序的，需要进行n-1趟排序。...每趟排序要进行n-i 次关键字的比较(1≤i≤n-1)，且每次比较都必须移动记录三次来达到交换记录位置。...先依次跟0-n异或，并把结果赋值给自己（val^=) 然后再跟数组里的每个元素异或，最后得到的结果就是消失的数字 因为异或顺序不影响结果，相当于 这样0-n跟数组中如果有重复的数字，异或之后结果为零...，数组中消失的数字在0-n中落单，跟val（值为零）异或之后值还是它本身。...基本操作的执行数是T(N) = (N-1)+N O(N) 方法四： 利用等差数列计算 0-n本身就是一种等差数列，根据求和公式减去数组各元素，剩下的值就是消失的数字 O(N) 2.旋转数组OJ链接 输入
递归函数，通过把一个大而复杂问题简化为许多但规模较小的问题，以同一个相似模式来计算，降低了解题的难度；通过调用自身函数，极大地减少了函数代码量的优点而为开发者喜爱。...对数列进行分析，我们发现，从自三项开始，第N项的值就等于其前两项之和，即第N-1和第N-2项的和。...return n; }else{ cache[n-1]=cache[n-1]||fibonacci(n-1);//应用||或运算符“短路”的特性，若在数组中找到其值，则直接使用数组内的值，若没有...，再进行计算，并将值存入数组 cache[n-2]=cache[n-2]||fibonacci(n-2); return cache[n-1]+cache[n-2];//返回数组中的值... } } 由上可以看出，在计算过一次后，数据被存入数组，再次调用时便会优先找到数组内的值而免于大量计算，从而提升效率。
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