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分析 在极限基础上建立的宏伟大厦 微积分：分析的古典时代——从牛顿到柯西 先说说分析(Analysis)吧，它是从微积分(Caculus)发展起来 的——这也是有些微积分教材名字叫“数学分析”的原因。...我们在现在的微积分 课本中学到的那种通过“无限分割区间，取矩阵面积和的极限”的积分，是大约在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼积分。但是，什么函数存 在黎曼积分呢（黎曼可积）？...微分几何：流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构 拓扑学把极限的概念推广到一般的拓扑空间，但这不是故事的结束，而仅仅是开 始。在微积分里面，极限之后我们有微分，求导，积分。...而在所有的无限维空间中，单位球都不是紧的——也就是说，可以在单位球内撒入无限个点，而不出现一个极限点。...在有限维空间中，任何一点对任何一个子空间总存在投影，而在无限维空间中， 这就不一定了，具有这种良好特性的子空间有个专门的名称切比雪夫空间(Chebyshev space)。
直到柯西用数列极限的观点重新建立了微积分的基本概念，这门学科才开始有了一个比较坚实的基础。直到今天，整个分析的大厦还是建立在极限的基石之上。...我们在现在的微积分课本中学到的那种通过“无限分割区间，取矩阵面积和的极限”的积分，是大约在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼积分。但是，什么函数存在黎曼积分呢（黎曼可积）？...【微分几何：流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构】 拓扑学把极限的概念推广到一般的拓扑空间，但这不是故事的结束，而仅仅是开始。在微积分里面，极限之后我们有微分，求导，积分。...而在所有的无限维空间中，单位球都不是紧的——也就是说，可以在单位球内撒入无限个点，而不出现一个极限点。 5....在有限维空间中，任何一点对任何一个子空间总存在投影，而在无限维空间中，这就不一定了，具有这种良好特性的子空间有个专门的名称切比雪夫空间(Chebyshev space)。
我们在现在的微积分课本中学到的那种通过“无限分割区间，取矩阵面积和的极限”的积分，是大约在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼积分。但是，什么函数存在黎曼积分呢（黎曼可积）？...这个定义在讨论拓扑学的定理时很方便，它在很多时候能帮助实现从无限到有限的转换。对于分析来说，用得更多的是它的另一种形式 ——“紧集中的数列必存在收敛子列”——它体现了分析中最重要的“极限”。...微分几何：流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构 拓扑学把极限的概念推广到一般的拓扑空间，但这不是故事的结束，而仅仅是开始。在微积分里面，极限之后我们有微分，求导，积分。...而在所有的无限维空间中，单位球都不是紧的——也就是说，可以在单位球内撒入无限个点，而不出现一个极限点。...在有限维空间中，任何一点对任何一个子空间总存在投影，而在无限维空间中， 这就不一定了，具有这种良好特性的子空间有个专门的名称切比雪夫空间(Chebyshev space)。
极限技巧一般是：对无法把握的连续变量，用可以计算的序列（例如数列，时间序列，多项式序列等等）逐步逼近变量，并能够证明这些序列可以无限逼近所求的未知量，然后计算这个序列的极限就可得到变量。...极限思想是微积分的基本思想，函数的连续性，导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。 所以可以说：数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科。...其实牛顿的说法如果用极限概念，很容易在逻辑上说清楚：如果当变量（例如时间t)无限增大或变量的差无限接近0时（Δｔ-->0)，则ΔＳ／Δｔ无限地接近于常数Ａ，那么就说ΔＳ／Δｔ以Ａ为极限，这个极限就是s（...绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。...这个定义，本质揭示了无限与有限有本质的不同：无限个数的和不是一般的代数和，它是部分和的极限，是动态过程，而非静态计算结果。举例来讲，用任何静态计算，都无法计算出变速直线运动的瞬时速度，因为速度是变量。
---- Improper Integrals 反常积分 反常积分简单可以分为几种类型 ---- Type I: Infinite Intervals 无限区间 比如，这个图像，我们求对应的面积 ?...这里，我们具体收敛与否，只需要看一下对应的面积是否有极限 ? 我们得到对应的面积是无穷大的， 就知道对应的 improper integral 反常积分， 不收敛 ---- 例子2 ?...这样的，上面也提到过 需要在中间 去一点，分别求两边极限的积分，这里取0这一点： ? 右边： ? 左边类似，这时候两边一起为： ? 所以： ? 对应的图像，为： ?...大体就是 ： 对应的描述， 极限存在就是收敛， 否则不收敛的判断 还有 对应值的求值方法 ---- 例子5 ? 先注意，x=2是没有意义的，所以 x=2这块为开区间 我们求积分，可得： ?...也就是左图的面积： ? ---- 例子6 ? 判断是否收敛，我们只要求对应的积分，看极限是否存在 我们求值，可得： ?
当你爱上数学时，你可能愿意一辈子去研究它而不觉得厌烦，因为它的发展集成了无数人的贡献，自身是博大精深的，但输出却是简单的，简单到一个公式可以描述一个现象，一个方程可以解决一个问题，一片雪花的形成，一个陀螺的转动...微积分，研究着极限，微商是一种极限，定积分也是一种极限，先划分成"微元"再去"无限逼近”。通俗的讲，微分包括求速度、加速度和曲线的斜率，积分可以看作求和、求面积。...泛函分析，可以看作有限维线性空间和其中的线性变换在无限维空间的平行推广。Hilbert空间、Banach空间，很多都在探究什么样的算子在什么条件下可以从一个子空间延拓到整个空间而保持某些不变性。...而变分法，最终在寻求极值函数，它们使泛函取得极大或极小值，相当于把微积分的对象从变量推广到了函数上。 偏微分方程，将未知函数和它的偏导数融合在一个方程中。...在这里是否看到一些哲学，就像人类一直在探索宇宙中是否还有其他类似于地球的存在一样，数学也在探索有限空间外的无限空间，用离散去逼近连续，何时可以收敛，何时又是发散，看似不连通的空间是否连通，在各种变换映射下穿梭于不同维度的空间
0的场景，称此电路具有脉冲性质。...它具有很多非常神奇的性质，且往下看。...(即某序列元素为函数的极限)，它可以有如下定义： 此时 所以一般 -函数有如下定义 性质 由上述定义，不难引出一个重要的积分等式： 所以有 此外，对于任何一个无穷次可微的函数 ，都满足...-函数的频谱图 这就说明 -函数的两种变换都与常数1是互为变换对，这在信号处理领域(比如小波变换等)是非常关键的性质 总结 -函数可看作是在原点处无限高、无限细，但是总面积为1的一个尖峰的连续函数,...当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。 在应用上，如前所述，具有优良的积分变换性质，故在图像变换领域是理论基础和工具，此外还多数运用在有暂态分析的场景中。
观点 与机器学习相关的微积分的核心问题是极值问题 核心技能是偏导数和梯度 函数 定义如下： 对数集A施加一个对应的映射f，记做:f(A)得到数集B，记为函数：B=f(A) 这是我们中学学的最多的...image.png 从极限到导数 数列极限 给定一列数（从x1到xn），n为无穷大，常数a，假如随便取一个无限小的数b，无论n取多大总有xn-a<b ?...image.png 函数极限 与数列不同的是函数可以取在某个点的极限，即左极限和右极限（一元函数）， 假如再高元函数在某个点的极限为面，空间、、、后面常见的三元函数的在某一点的方向导数（导数即为极限...），便取最大定义了这点的梯度 两个重要极限 ?...image.png 导数的应用 1 通过函数的导数的值，可以判断出函数的单调性、驻点以及极值点： 若导数大于0，则单调递增；若导数小于0，则单调递减；导数等于零d 的点为函数驻点
从随机事件说起 回忆我们在学习概率论时的经历，随机事件是第一个核心的概念，它定义为可能发生也可能不发生的事件，因此是否发生具有随机性。...然而，有有限就有无限，对于可能有无限种情况的随机事件，我们该如何计算它发生的概率？...回忆微积分中的极限，对于下面的极限： image.png 虽然当x趋向于正无穷的时候，x和exp(x)都是无穷大，但它们是有级别的，在exp(x)面前，x是小巫见老巫。...它分为离散型和连续型两种，离散型随机变量的取值为有限个或者无限可列个（整数集是典型的无限可列），连续型随机变量的取值为无限不可列个（实数集是典型的无限不可列）。...从这个角度，我们可以将概率密度函数解释为随机变量落在一个区间内的概率与这个区间大小的比值在区间大小趋向于0时的极限： image.png 这个过程如下图所示： image.png 还是以上面的正方形为例
从随机事件说起 回忆我们在学习概率论时的经历，随机事件是第一个核心的概念，它定义为可能发生也可能不发生的事件，因此是否发生具有随机性。...回忆微积分中的极限，对于下面的极限： ? 虽然当x趋向于正无穷的时候，x和exp(x)都是无穷大，但它们是有级别的，在exp(x)面前，x是小巫见老巫。 同样的，对于整数集和实数集，也是有级别大小的。...它分为离散型和连续型两种，离散型随机变量的取值为有限个或者无限可列个（整数集是典型的无限可列），连续型随机变量的取值为无限不可列个（实数集是典型的无限不可列）。...这可以看做是离散型随机变量的推广，积分值为1对应于取各个值的概率之和为1。分布函数是概率密度函数的变上限积分，它定义为： ? 显然这个函数是增函数，而且其最大值为1。分布函数的意义是随机变量的概率。...从这个角度，我们可以将概率密度函数解释为随机变量落在一个区间内的概率与这个区间大小的比值在区间大小趋向于0时的极限： ? 这个过程如下图所示： ?
复变函数极限 ①复变函数极限概念： ②复变函数极限判断定理： 2. 复变函数的连续性 ①复变函数连续概念： ②复变函数连续性定理： 3....调和函数 积分 1.积分的概念、性质、计算 将实数域上有关积分的概念、性质推广到复数域上 1.原函数： 2.不定积分： 3. 常见公式： 4....幂级数 定义： 幂级数的收敛半径： 幂级数的和函数的性质： 在高等数学中,我们将一个具有 n + 1 阶导数的函数展为泰勒级数或麦 克劳林级数 .在下一节我们将解析函数...( 具有任意阶导数 ) 展为泰勒级数或麦 克劳林级数,也就是解析函数展为幂级数 . 3.泰勒级数 例1 4.洛朗级数 有些函数虽然不能表示为泰勒级数, 但是却能用含有负指数幂 的级数在某个圆环内表示...,这种含有负指数幂的级数就是下面要讨论的罗朗 级数 留数 1.解析函数的孤立奇点 1.可去奇点、极点、本性奇点 可去奇点、极点、本性奇点 分别对应罗郎展开式中无负次幂，只有有限个负次幂和无限个负次幂
导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。...以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。 比如当下， 我们有一个光滑的函数曲线，我们想要求出这个曲线在某个点的切线，那么应该怎么操作呢？ ?...如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。...所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数的导函数，记作。 不可导的情况 介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。 导数的本质是极限，根据极限的定义，如果。...那么就称为时，的极限是a。 我们对上面的式子进行变形，可以得到，当时: 也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。
通常所说的积分，都是黎曼积分。黎曼积分就是采用无限逼近的方法，求解曲线所围的面积。即，高等数学的核心都是逼近。 积分学中最有名的牛顿-莱布尼茨公式= ?...而贝叶斯学派，相信人具有先验知识，事件本身应该是确定的，只是因为人们的认识不足，而无法判断事件结果最后会走向何方，它研究的随机变量通常是估计参数，整个样本空间就是所有可能的参数值。...但由于矩估计没有充分利用分布所提供的信息，通常使得参数估计的解析式多于需要估计的参数个数，所以一般情况下，矩估计量不具有唯一性。...当样本无限时，由相合性可知，参数的估计量可以近似认为就是参数本身。但现实生活中无限样本不存在，退而求其次，在样本有限的情况下，我希望由不同样本所估计出的参数本身期望值要等于其真实值。...渐进正态性的概念和中心极限定理有点儿像，若将参数本身作为一个随机变量，不同的参数估计量作为样本，渐进正态性就是一个中心极限定理的特征。（这个比方是否恰当还有待考证。）
通常所说的积分，都是黎曼积分。黎曼积分就是采用无限逼近的方法，求解曲线所围的面积。即，高等数学的核心都是逼近。...而贝叶斯学派，相信人具有先验知识，事件本身应该是确定的，只是因为人们的认识不足，而无法判断事件结果最后会走向何方，它研究的随机变量通常是估计参数，整个样本空间就是所有可能的参数值。...但由于矩估计没有充分利用分布所提供的信息，通常使得参数估计的解析式多于需要估计的参数个数，所以一般情况下，矩估计量不具有唯一性。...当样本无限时，由相合性可知，参数的估计量可以近似认为就是参数本身。但现实生活中无限样本不存在，退而求其次，在样本有限的情况下，我希望由不同样本所估计出的参数本身期望值要等于其真实值。...渐进正态性的概念和中心极限定理有点儿像，若将参数本身作为一个随机变量，不同的参数估计量作为样本，渐进正态性就是一个中心极限定理的特征。（这个比方是否恰当还有待考证。）
传统的求面积的方法都是作为用无限小的面积和的极限来定义的定积分的等价物而来。牛顿则反其道而行，首先假定面积为 ? , 然后通过考虑在x点处的面积的瞬时变化率。...柯西认为必须把全部微积分建立在极限的思想基础上，并且给出了相当经典的关于极限概念的定义：“当属于一个变量(数列或函数)的相继的值无限地趋近于(接近)某个固定的值时，如果最终同固定值之差可以随意的小，那么这个固定值就称为所有这些值...类似的他给出关于“无穷小量”的定义，当一个变量的连续数值无限减小(小于任何给定的值)时，这个变量就是无穷小量，实际上就是量的极限为0。接着柯西开始考虑连续性。...一句话，ε-δ是一种精确描述极限(无限接近某个值)的数学语言，这种数学语言的思想由柯西提出，最终由魏尔斯特拉斯完成定义。从此以后，对于没有思想准备的数学门外汉而言，数学建立了一道形式化的门槛。...简单的说，就是他定义了称之为勒贝格积分的东西使得积分能够在更广阔的领域开展工作，而不仅仅限于连续函数，他的积分更具有普遍性。 ?
而且，教授顺序一般是先微分再积分。虽然这样从数学逻辑上更通畅，但是这与历史的发展恰好是相反的。在历史上是先有积分再有微分、级数、导数和极限概念的。 古希腊时期就有了积分思想的萌芽。...因此，莱布尼茨把微分看作变量相邻两值无限小的差，而积分则是由变量分成的无穷多个微分之和。于是他很自然地得到了微积分基本定理，即积分和微分是互逆运算。...他首先重新定义了极限：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，就称该值为所有其他值的极限。”...在极限定义的基础之上，柯西建立了对无穷小量、无穷大量、连续、导数、微分、积分等概念的严格定义。...他认为柯西的极限概念中“一个变量无限趋于一个极限”的说法依旧存在运动上的直观，因此为了消除这种描述性语言的含糊，他给出极限的 定义，用不等式区间来严格表示极限，这就使极限和连续性彻底摆脱了对几何和运动的依赖
今天我们再进入下一个领域——以极限为基础的微积分，看看在这个领域，到底什么才是基本定理。...微分和积分的定义 我们知道，微积分的核心运算就是极限，我们用抽象的epson-dirta语言定义了一套可推演的逻辑，同时也能够一定程度上符合人脑对这种无穷趋近时候发生事情的直观想象。...微分和积分是两种基本的极限运算形式，微分是变化的无穷小量，由此定义了微分商，也就是导数等；积分则是无穷小量的和，由此得到了函数围成面积的求法等神奇结果。...积分的定义并不只有一种，在分析领域有黎曼积分，勒贝格积分，达步积分等等，我们这里采用和我们今天要讲内容最相关的黎曼积分，这也是一般的最常用的一个定义，也最直观：对于给定区间，我们把它进行无限地分割，直到每一个子区间的长度都足够小...，如果这样的分割过程得到的每个区间长度乘以函数值的和有极限，那么称为函数在对应区间上的积分。
这是一个序列的10个项： ? 这是它们的数值： ? 这个数列的极值是什么？如果这个数列无限继续下去，我们会得到什么？...它们还是微积分的核心，不仅是因为它们被用来定义导数和积分的概念。 计算极限是 Mathematica 和 Wolfram 语言一直以来就具有的功能。在版本11 .2 中，这一功能被大幅扩展。...这个结果的数值近似于 0.8，正如人们可能从图中猜到的那样。 ? 当我们试图计算无限嵌套的根式值时，离散极限也会以自然的方式出现。例如，考虑以下嵌套根式的求值问题。 ?...通过 RecurrenceTable 所生成的下图可以看出，无限嵌套的根式值似乎是 2。 ?...这两个版本之间的微小百分比差异可以解释为，大多数Wolfram|Alpha单变量极限查询与大学微积分中的第一或第二个课程有关，在任一版本中都很容易用 Limit 计算。
他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。...什么是极限？ 百度百科的解释，“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。 ...所以，按照极限的定义，0.99999..这个无限小数的极限应该就是1。 ...用极限思想解决问题的一般步骤可概括为： 对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的“影响”趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果...重要的事情说三遍：用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果、用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果、用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果 请相信， 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论
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