需要注意的是xArr中的第一项均为1，其实是偏置项的占位。...我们要想可视化数据的分布，在读取数据的时候可以不用考虑： def loadDataSet2(fileName): #general function to parse tab -delimited...rssError(yArr,yHatArr): #yArr and yHatArr both need to be arrays return ((yArr-yHatArr)**2).sum() 3、简单线性回归...') plt.plot(xArr2[100:199],yArr2[100:199],'o') plt.plot(x_test,y_test,'r') plt.show() 最后的结果是这样的...： ws的值： ?
机器学习（六）——线性回归的多变量、特征缩放、标准方程法 （原创内容，转载请注明来源，谢谢） 一、多变量 当有n个特征值，m个变量时，h(x)=θ0+θ1x1+θ2x2…+θnxn，其中可以认为x0...其将每个特征值，除以变量中该特征值的范围（特征值最大值减最小值），将结果控制在-1~1之间。 对于x0，不需要改变，其仍是1，也在期望的范围内（-1~1）。...四、多项式回归（Polynomialregression） 当图像用直线表示不是很准确的时候，可以考虑使用其他函数，如二次、三次、根号等函数进行表示。...五、标准方程法（normalequation） 1、公式推导 标准方程法是与梯度下降法功能相似的算法，旨在获取使代价函数值最小的参数θ。代价函数公式如下： ?...主要原因： 出现这种情况的主要原因，主要有特征值数量多于训练集个数、特征值之间线性相关（如表示面积采用平方米和平方公里同时出现在特征值中）。
机器学习（六） ——线性回归的多变量、特征缩放、标准方程法 （原创内容，转载请注明来源，谢谢） 一、多变量 当有n个特征值，m个变量时，h(x)=θ0+θ1x1+θ2x2…+θnxn，其中可以认为x0=...其将每个特征值，除以变量中该特征值的范围（特征值最大值减最小值），将结果控制在-1~1之间。 对于x0，不需要改变，其仍是1，也在期望的范围内（-1~1）。...四、多项式回归（Polynomialregression） 当图像用直线表示不是很准确的时候，可以考虑使用其他函数，如二次、三次、根号等函数进行表示。...五、标准方程法（normalequation） 1、公式推导 标准方程法是与梯度下降法功能相似的算法，旨在获取使代价函数值最小的参数θ。...主要原因： 出现这种情况的主要原因，主要有特征值数量多于训练集个数、特征值之间线性相关（如表示面积采用平方米和平方公里同时出现在特征值中）。
本文对吴恩达老师的机器学习教程中的正规方程做一个详细的推导，推导过程中将涉及矩阵和偏导数方面的知识，比如矩阵乘法，转值，向量点积，以及矩阵（或向量）微积分等。...求θ的公式 在视频教程中，吴恩达老师给了我们一个如下图红色方框内的求参数 θ 的公式 ? 先对图中的公式简单的说明一下。...具体到上图中的例子，X 和 y在上图已经有了，它们都是已知的值，而未知的 可以通过图中的公式以及X和y的值求出来，最终得到假设函数(hypothesis function)为 假设函数和代价函数 多元线性回归的假设函数和代价函数如下...因为当J(θ)取最小值时，该函数对于θ的导数为0，于是我们可以得到J'(θ)=0的方程，从而解出θ的值。...于是有 根据矩阵的复合函数求导法则有 先来推导 ，J是关于u的函数，而u是一个元素为实数的m维列向量，所以 与 的点积是一个实数，也就是有 根据因变量为实数，自变量为向量的导数定义，可得
0.完整代码 下面一段代码实现了2个功能： 1.用keras库编程实现拟合线性方程的回归模型； 2.对比了4种优化器的性能。...__class__, w_error, b_error)) 上面一段代码的运行结果如下： X[:5]: [ 2. 4. 6. 8. 10.]...1.结论 对于线性方程的回归模型，使用Adam优化器能够得到不错的拟合效果。
多变量预测 多元线性回归 对于多个特征量(Features)，规定符号表示： n 特征的总数量 x^{(i)} 第i个训练样本的输入特征向量， i 表示的是一个索引(Index) x_j^i...第i个训练样本中特征向量的第j个值 此时的假设函数不再是单纯的 h_θ (x)=θ_0+θ_1 x 对于多个特征量，此时的假设函数为： h_θ (x)=θ^T x=θ_0+θ_1 x^{...x_n\end{bmatrix}n ，系数向量： θ=\begin{bmatrix}θ_0\\θ_1\\…\\θ_n\end{bmatrix} 有： h_θ (x)=θ^T x 这就是假设函数的向量形式...梯度下降算法在多元线性回归中的应用 对于假设函数： h_θ (x)=θ^T x=θ_0+θ_1 x^{(1)}+θ_2 x^{(2)}+…+θ_n x^{(n)} 和损失函数： J(θ_0,...θ_1,…,θ_n)=\frac{1}{2m} ∑_{i=1}^m(h_θ (x^{(i)} )−y^{(i)} )^2 此时的梯度下降算法： Repeat{ θ_j≔θ_j−α\frac{∂
其实所谓的多变量的线性回归（Linear Regression with multiple variables ）本质上将与单变量的线性回归没啥差别。...多项式回归（Polynomial Regression ） 对于某些不能用线性回归的问题，我们有时候可以试着用多项式来进行回归拟合。...其实多项式回归完全可以看成是多变量的线性回归问题，因为我们完全可以把其中的x^i看成是第i个独立的变量，只不过他的值是由x推出来的而已。原理很简单，但是如果想不到那就头大了0.0。...公式法（Normal equation） 介绍 对于多变量的线性回归，除了用我们之前学的GD算法，我们其实还有另外一个直接套公式的算法（卧槽早说）。...这牵涉到线性代数的知识，我们需要做的只是将数据集组合成几个矩阵，然后运算一个公式即可，这个公式就叫 Normal equation （觉得叫成“正规方程”好难听）： \theta=(X^TX)^{-1}
单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)¶ In [54]: #初始化工作 import random import numpy as np import
*十六、线性回归方程式与线性系统 本章节的内容涉及线性代数的知识，读者应该先去了解，如不了解也可略过本章，无影响 16.1 Gaussian Elimination 在线性代数中我们解方程组的办法一般都是用高斯消去法...，即为了找到x1,x2,x3…的解，我们首先把他们对应的系数作为一个矩阵，称为系数矩阵，然后将等式右边的常数作为常数项矩阵放在系数矩阵的右边作为增光矩阵，通过增广矩阵简化为行阶梯形求得x1,x2,x3…...当然，matlab给我们提供了高斯消去法的函数rref，其调用格式为：rref([a b])，其中a是系数矩阵，b是常数项矩阵 示例： ?...图16-1 rref函数 这样一目了然，我们就知道x1=-3,x2=2,x3=1 16.2 “\” 还是求解方程组，方程组我们可以抽象为Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数项矩阵，那么我们直接下命令
将一个或多个变量的事件阈值映射到直观地表示与该事件。 一个优化问题试图最小化损失函数。 目标函数是损失函数或其负值，在这种情况下它将被最大化。 代价函数是解决回归问题最常用的处理手段。...对于学习优化算法，我们最终的目标，就是找到最优的处理算法。也是线性回归的目标函数。...梯度下降和代价函数的结合，以及推导，可以得出以下式子： 计算推导梯度下降算法的过程： 最后不断简化得到线性回归算法： 对于线性回归的代价函数，总是会出现一个弓状函数（凸函数） 图中的函数不存在什么局部最优...当我们计算这种类型的代价函数的梯度下降时，只要使用线性回归，它总是会收敛到全局最优，因为它自己本身没用其他的局部最优解。...而线性回归的损失函数为凸函数，有且只有一个局部最小，则这个局部最小一定是全局最小。所以线性回归中使用批量梯度下降算法，一定可以找到一个全局最优解。
在之前的单变量线性回归问题中，我们是通过房屋的大小来作为预测房屋价格。但是我们知道了很多其他的变量，例如卧室的数量，楼层的数量，房子的年龄等。...42.png 那么之前的假设函数就会不再之前的函数表达式，取而代之的是： 43.png 下面是重新该写后的假设函数的形式： 44.png 为了简化方便，涉及初始的x_0=1， 45.png 以上就是多元线性回归...使用梯度下降法来处理多元线性回归问题 46.png 执行偏导数之后如下： 47.png 梯度下降法的应用实例——特征缩放的方法 特征缩放前后，相对应的代价函数的图形也会随之不同。...54.png 对于这样子的多元线性回归，做一下简单的修改来实现： 55.png 但是除了三次函数的拟合之外，采用二次函数，我们不希望说因为房子的面积的增加而导致房子的价格还下降。...所以就可以使用 56.png 由于根式的图像是上升的，最后趋于平缓状态，也是可以拟合所给的数据集。 正规方程 对于某些线性回归问题，会给我们更好的方式去得到未知参数θ的最优解。
参考链接： 线性回归(Python实现) 机器学习其实就是在学习模型的参数，最近学习吴恩达老师的机器学习视频，看完线性回归，自己用python手动实现了一下，整理一下写出来，希望可以帮到大家。 ...一、代码和数据获取 https://download.csdn.net/download/zpf123456789zpf/11223526 二、结果展示 三、分析 上图一散乱的数据，有两个参数...上图二为生成100个-20到20之间的随机数，有三个参数，因为是二次函数，初始化都为0，学习率为 0.00001，训练次数为500000次，结果如图，输出为三个参数的值，完全拟合，注意学习率不能过大...如果你有问题，欢迎给我留言，我会及时回复您的。
m: traing examples x: input variables/features y: output variable/targer (...
前言 构建多元线性回归模型时，如果能够充分的使用已有变量，或将其改造成另一种形式的可供使用的变量，将在一定程度上提高模型精度及其泛化能力。...从上表中，不难发现： 该名义变量有 n 类，就能拆分出 n 个名义变量 巧妙的使用 0 和 1 来达到用虚拟变量列代替原名义变量所在类别 接下来要做的就是将生成的虚拟变量们放入多元线性回归模型，但要注意的是...ols 函数（最小二乘法）进行多元线性回归建模 为原数据集的某名义变量添加虚拟变量的步骤： 抽出希望转换的名义变量（一个或多个） Python pandas 的 get_dummies 函数 与原数据集横向拼接...其实根据原理趣析部分的表格来看，如果房屋在C区，那等式中 A 和 B 这两个字母的值便是 0，所以这便引出了非常重要的一点：使用了虚拟变量的多元线性回归模型结果中，存在于模型内的虚拟变量都是跟被删除掉的那个虚拟变量进行比较...还有，虽然模型精度比较理想，但在使用 ols 进行建模时，结果表格下方其实还显示了如下的 Warnings(警告)，表明可能存在比较强的多元共线性问题，这也是提升多元线性回归模型精度和泛化性的非常经典且简单的操作
Machine Learning笔记（二） 单变量线性回归 注：本文内容资源来自 Andrew Ng 在 Coursera上的 Machine Learning 课程，在此向 Andrew Ng 致敬...m: 训练样本个数 x: 输入变量/特征 y: 输出变量/目标变量 (x(i), y(i)): 第i个训练样本 对于给定的训练集（Training Set），我们希望利用学习算法（Learning Algorithm...由于假设函数为线性函数，且训练样本中输入变量只有一个特征（即尺寸），将此类问题称之为 单变量线性回归（Linear Regression with One Variable，或 Univariate Linear...七、线性回归梯度下降（Gradient Descent for Linear Regression） 现在，了解了梯度下降与线性回归，现在需要将它们进行结合，以求解本文中的房价问题的单变量线性回归模型。...对于线性回归模型，由于可以求 J(θ) 关于 θ 的偏导： ? 因而，梯度下降方法转化为如下形式（θ0 和 于 θ1 必须同步更新）： ?
多元线性回归 5.2 多元梯度下降法 ?...使用多元线性回归的方法，我们可以对算法做一个简单的修改来实现它 ?...除了选择用三次函数外，我们还可以选择用平方根函数，基于我我们对平方根函数的了解（到一定值之后会缓慢提升） 5.6 正规方程（区别于迭代方法的直接解法） 对于某些线性回归问题，它会给我们更好的方法，来求得参数...目前为止，我们一直使用的线性回归算法是“梯度下降法”。 正规方程法 直观理解 J 是 Θ 的一个函数，Θ 为实数： ?...X 是 m * (n+1) 维矩阵，y 是一个 m 维向量 m ：样本数 n ：特征变量数 ? 这个求得的 Θ 即为 使得代价函数最小化的 Θ。 如果你使用“正规方程法”，那么就不需要特征缩放。
Machine Learning笔记（三） 多变量线性回归 注：本文内容资源来自 Andrew Ng 在 Coursera上的 Machine Learning 课程，在此向 Andrew Ng 致敬...多特征的线性回归问题，被称为 多变量线性回归问题。 二、多变量梯度下降（Gradient Descent for Multiple Variables） ?...多变量的线性回归问题与单变量类似，由于特征数量从1变为n，所以需要更多的计算。其对比如下： ? 三、特征规范化（Feature Scaling） 由于现在有多个特征，且各个特征的取值范围有所不同。...五、特征以及多项式回归（Features and Polynomial Regression） 现在我们了解了多变量线性回归问题。...六、正规方程（Normal Equation） 对于某些线性回归问题，使用正规方程来求解参数 θ 的最优值更好。 对于目前我们使用的梯度下降方法， J(θ) 需要经过多次的迭代才能收敛到最小值。
当我们设计一个机器学习算法时，第一个需要做的是：决定怎么表达这个假设函数h 一种可能的表达方式为: ? ，因为只含有一个特征/输入变量，因此这样的问题叫作单变量线性回归问题。...这个模型叫做“线性回归”，这个例子是一元线性回归。这个模型的另一个名字“单变量线性回归” 2.2 代价函数 那么我们要如何选择θ_1和θ_2这两个参数。 ?...梯度下降是很常用的算法，它不仅被用在线性回归上，还被广泛应用于机器学习的众多领域。 用梯度下降法最小化其他函数，而不仅仅是最小化线性回归的代价函数J....线性回归算法 = 平方代价函数 结合 梯度下降法 线性回归的梯度下降 ? 我们要做的就是，将’梯度下降法’应用于’平方差代价函数’，以最小化’平方差代价函数’ ? ? ?...其他的算法（即，其他的梯度算法），没有览概整个训练集，它每次只关注了小子集 “正规方程组方法”： 求解函数J的最小值，不需要使用像梯度下降的迭代算法。 但‘梯度下降’适用于更大的数据集。
回归的基本思路 在模型领域，解释性较好的模型毋庸置疑就是回归。回归模型主要能做两件事情，一是用模型去体现事物间的关系，即解释模型变量间的关系；二是用模型进行预测。...回归模型里的坑 构建回归模型时经常需要对变量进行变换，在调整量纲的过程中不怕数据长度发生变化，怕的是数据的相对长度发生变化，因为眼睛能看到的空间为欧式空间，欧式空间的弱点是数据很容易受到量纲的影响...简单线性回归模型的假定 简单线性回归模型有下面几个假定： 1、线性假定 所谓线性假定指构建模型时需将模型构建成线性的模式，例如Y=b0+b1x2+e，虽然是x2的形式，但可将x2的整体看做X。...单变量线性回归模型SAS示例 单变量线性回归模型一般形式为：Y=b0+b1X1+e。其中Y为因变量，X为自变量或预测变量，e为扰动项，b为模型的系数。...如下示例建模背景为针对消费与收入构建单变量线性回归模型，下面为SAS实现代码以及我对模型结果的解读思路： PROC REG DATA=XUHUI PLOTS(ONLY)=ALL; Linear_Regression_Model
手写线性回归 使用numpy随机生成数据 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 生成模拟数据 np.random.seed(42)...# 可视化数据 plt.scatter(X, y) plt.xlabel('X') plt.ylabel('y') plt.title('Generated Data') plt.show() 定义线性回归参数并实现梯度下降...对于线性拟合，其假设函数为： h_θ(x)=θ_1x+θ_0 这其中的 θ 是假设函数当中的参数。...) plt.ylabel('y') plt.legend() plt.title('Linear Regression using Gradient Descent') plt.show() 实现多元线性回归...多元线性回归的梯度下降算法： θ_j≔θ_j−α\frac{∂J(θ)}{∂θ_j} 对 \frac{∂J(θ)}{∂θ_j} 进行等价变形： θ_j≔θ_j−α\frac{1}{m}∑_{i=1}^
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