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向具有节点容量的图添加最大可能边

是指在一个给定的图中，通过添加边来使得图中的每个节点都与其他节点相连，并且每条边的容量达到最大。

这个过程可以通过以下步骤来实现：

确定图的节点数量：首先，需要确定图中节点的数量，这可以通过统计图中的节点个数来得到。
计算最大可能边的数量：根据图的节点数量，可以计算出最大可能边的数量。对于一个无向图，最大可能边的数量为 n(n-1)/2，其中 n 是节点的数量。对于一个有向图，最大可能边的数量为 n(n-1)。
添加边：根据计算得到的最大可能边的数量，开始向图中添加边。可以使用循环来遍历所有节点对，并添加边来连接它们。在添加边的过程中，需要确保边的容量达到最大。

添加最大可能边的目的是为了实现图的全连接，使得图中的每个节点都能够直接或间接地与其他节点进行通信。这在一些场景中非常有用，例如在分布式系统中，节点之间需要进行大量的数据传输和通信。

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相关搜索:D3.js:向具有负值的条形图添加时间轴保留边的顺序以向Networkx图添加边权重具有有向边和标签的D3 4.0图向“组/捆绑节点”中的边添加标签问题D3 force布局示例在OntoRefine中向空白节点添加嵌套的三元组是不可能的吗？在不引入圈和/或新顶点的情况下向有向无环图添加边在两个相邻节点之间具有多条边的图中查找所有可能的路径在有向图的两个顶点之间遍历尽可能多的边如何使用PHP比较XML中的元素并添加具有3个或更多可能结果的新节点？如何向具有flex-end属性的元素添加边距？

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流问题Flow Problem（网络最大流）- HDU 3549

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数据结构：八大数据结构分类

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Maximum Flow

本文参考以下文章 Maximum flow Flow Networks基本性质在图论中，网络流被定义为一个有向图，其中包含一个起点Source和一个终点Target，以及几条连接各顶点的边。...每条边都有各自的容量Capacity，这是边所能允许的最大流量网络流中的流量$f$应满足如下条件从节点$x$流向节点$y$的流量，不能比$edge(x,y)$的capacity还大，$f(x,y)≤...若在Path：S-A-C-D-T上的所有边都有6单位的流量，那么这些边，$edge(S,A)$、$edge(A,C)$、$edge(C,D)$、$edge(D,T)$的剩余容量都应该减6。...,y)还能容纳多少流量 Residual Networks也是一个有向图，其中：顶点集与原有向图完全相同边的容量被residual capacity取代，如下图所示 ?...最关键的是，若$edge(A,C)$上有6单位的流量流过$f(A,C)=6$，那么在其Residual Networks上，会相应产生出一条顶点C指向顶点A的边$edge(C,A)$，并具有6单位的residual

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《算法设计与分析》学习笔记

贪心活动选择问题哈夫曼编码摊还分析聚合法/合计法栈操作分析核算法/记账法栈操作势能法栈操作图论图入度：有向图中连向该节点边的条数。...出度：有向图中从该节点连出的边的条数。度：节点出度与入度之和，即连接该节点边的条数。简单图：没有多重边，没有自环。简单路径：对于一条由连续边与节点组成的路径，没有经过重复的节点。...连通图：对于一个无向图，任意两个节点之间都存在一条路径连接。强连通图：对于一个有向图，任意2个节点之间都存在一条有向路径连接。...稀疏图：|E|≈|V| 稠密图：|E|≈|V|² 完全图：对于一个有向或者无向图，任意两个节点之间都有边邻接（对于有向图需要两个方向的边）。...需要注意的是，Prim算法的实现通常需要使用优先队列（最小堆）来高效地选择权值最小的边。流网络流网络是一个有向图G=（V，E），其中每条边(u,v)均有一非负容量c(u,v)≥0。

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超越ToT，苏黎世理工发布新一代思维图GoT：推理质量提升62%，成本降低31%

thoughts）作为图的顶点，顶点之间的依赖关系作为图的边。...用于选择最相关思维的排序函数推理过程研究人员将推理过程建模为一个有向图，顶点代表某个问题（初始问题、中间问题、最终问题）的一个解决方案，有向边代表使用「出节点」作为直接输入构造出的思维...每次变换操作都包含两部分：1）反映当前推理状态的图，以及2）一个用到的语言模型。变换操作会修改当前的图，添加新的节点和输入边。...为了最大化GoT的表现力，用户可以指定要删除的相应顶点和边来显式删除思维；为了节省上下文空间，用户可以删除推理中未来不改进的部分。...ToT提供logk N的延迟，但容量也下降了； GoT是唯一一个同时具有logk N的低延迟和高容量N的方案，可能是由于GoT利用聚合思想，可以从分解图中的其他中间思维获取到最终思维。

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经典数据结构实现与分析：顺序表，单链表，栈，队列，树结构，图结构；

；它是又有限节点组成的一个具有层次关系的集合。...树的属性：节点的度：该节点子节点的个数；树的度：一颗树中，最大的节点的度，为树的度；根节点：没有父节点的节点；叶节点：度为零的节点；兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；节点层次：从根开始定义起...图结构：图G由顶点V和边E构成；边可以是单向的和双向的；权重可以加在边和顶点上；图有有向图和无向图；一个顶点有出度和入度；实际生活中的交通运输网，社交网络都可以利用图来进行表示；无向图与有向图： ?...无向完全图：每两个点之间，都存在边； ? 有向完全图：每两个点之间，都存在相反的两条边； ? 有向无环图：如果一个有向图无法从某个顶点出发经过若干条边回到该点，则这个图是一个有向无环图。...无权与有权图；图的连通性；简单图：不考虑平行边和自环边的图； ? 图的表示：邻接矩阵：v表示顶点，表中的数组表示权重； ?

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数据结构基础温故-5.图（上）：图的基本概念

有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权（Weight）。...因此，有向图的邻接表分为出边表和入边表（又称逆邻接表），出边表的表节点存放的是从表头节点出发的有向边所指的尾节点；入边表的表节点存放的则是指向表头节点的某个顶点，如下图所示。 ? 　　...，默认容量为10，且不需要数组存储空间不够的情况，简化了操作。...3.2 基本方法实现　　（1）添加一个顶点 View Code 　　就是往集合里边加入新元素；　　（2）添加一条边　　这里需要分为两种情况，一种是添加无向图的边，这时无向图的两个顶点都需要记录边的信息...); 　　②有向图 View Code 　　③如何添加边　　在实现中，无论是无线图还是有向图都是添加的有向边，只不过无向图是添加了两条有向边： View Code 　　（3）打印每个顶点及其邻接点的信息

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数据结构：图基本介绍

图的类型有向图在有向图中，边具有方向。它们从一个节点转到另一个节点，并且该方向是单向的。如下图所示，边（连接）现在具有指向特定方向的箭头。...只可以向一个方向前进并到达目的地，无法通过同一条边返回。 ? 无向图在这种类型的图中，边是无向的（它们没有特定的方向）。将无向边视为双向街道。您可以从一个节点转到另一个节点并返回相同的“路径”。...因为每个节点都可能与所有其他节点连接并与自身连接。因此，图表可以具有的最大边数是|V|*|V|，即节点总数乘以每个节点可以具有的最大连接数。当图形中的边数接近最大边数时，图形是密集的。...稀疏图稀疏图形边缘很少。如下图所示，节点之间的连接不多。当图中的边数明显少于最大边数时，图是稀疏的。 ? 循环如果您按照图中的一系列连接边，可能会找到一条路径使得从开始节点出发然后带回到同一节点。...当图形的边具有特定的方向时，可以指向图形，类似于单向街道，或者当它们的边没有特定方向时，类似于双向街道。边可以具有与它们相关联的值，称为权重。如果图形有许多边，则称为密集图。

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30 个重要数据结构和算法完整介绍(建议收藏保存)

节点是由边互连的值 - 描述两个节点之间的依赖关系（有时与成本/距离相关联）的线。图有两种主要类型：有向图和无向图。在无向图中，边(x, y)在两个方向上都可用：(x, y)和(y, x)。...树（Trees）一棵树是一个无向图，在连通性方面最小（如果我们消除一条边，图将不再连接）和在无环方面最大（如果我们添加一条边，图将不再是无环的） ....所以任何无环连通无向图都是一棵树，但为了简单起见，我们将有根树称为树。根是一个固定节点，它确定树中边的方向，所以这就是一切“开始”的地方。叶子是树的终端节点——这就是一切“结束”的地方。...在严格二叉树中，除了叶子之外，每个节点都有两个孩子。具有 n 层的完整二叉树具有所有2ⁿ-1 个可能的节点。...特性作为一棵树，具有 n 个顶点的图的 MST 具有 n-1 条边；可以使用以下方法解决： Prim 算法 — 密集图的最佳选择（具有 n 个节点且边数接近n(n-1)/2)的图）； Kruskal

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普林斯顿算法讲义（三）

如果每个顶点到每个其他顶点都有一条有向路径，那么有向图是强连通的。一个非强连通的有向图由一组强连通分量组成，这些分量是最大的强连通子图。...实现一个算法来定向无向图中的边，使其成为强连通图。罗宾斯定理断言，当且仅当无向图是双边连通的（没有桥）时，这是可能的。...混合图是具有一些有向边和一些无向边的图。设计一个线性时间算法来确定是否可以定向无向边，使得结果有向图是无环的。...设计一个线性时间算法来确定是否可以定向无向边，使得结果有向图具有有向循环。应用：确定最大流是否唯一。解决方案：一个算法。后序引理变种。...有向图的传递闭包是具有与原始有向图相同传递闭包的边数最少的有向图。设计一个 V（E + V）算法来计算有向图的传递闭包。请注意，有向图中的传递闭包不一定是唯一的，也不一定是原始有向图的子图。

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最大流量和线性分配问题

匈牙利算法(也称为kuhn-munkres算法)是一种多项式时间算法，使加权二分图中的权重匹配最大化。在这里，承包商和合同可以被模型化为二分图，，它们的效力是承包商和合同节点之间的边权值。...原因如下：在上面的方法中，每个节点添加到新的流网络表示为有向图 K或者是完全相同的副本节点从有向图 H或者一个节点 n已经具有添加到其的相同数量n.datum.flowIn作为它的n.datum.flowOut...**还要注意，由于具有“拉”的残差可能是扩展路径的一部分，所以在流网络的DiGraph中受影响的节点可能不在路径中G!。...如果我们找到一个完美的匹配上有向图中的代表性线性分配问题，如果每个的重量弧的匹配是零，那么我们已经找到了最小重量的匹配，因为这种匹配表明，所有节点的有向图已经匹配由圆弧具有最低可能的成本（根据先前的定义...没有其他弧可以添加到匹配（因为所有节点已经匹配），并且不应该从匹配中删除弧，因为任何可能的替换弧将至少具有相同的重量值。

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网络流算法Push-relabel的Python实现

网络流的背景我就不多说了，就是在一个有向图中找出最大的流量，有意思的是，该问题的对偶问题为最小割，找到一种切分，使得图的两边的流通量最小，而且通常对偶问题是原问题的一个下界，但最小割正好等于最大流，即切割的边就是最大流中各个...说得可能比较含糊，这里想要了解清楚还是查阅相关资料吧。最大流最原始最经典的解法就是FF算法，算法复杂度为O(mC)，C为边的容量的总和，m为边数。...而今天讲的Push-relabel算法是90年代提出的高效算法，复杂度为O(n^3)，其实网络流最关键的步骤就是添加反向边，得出剩余图。而其他的改进就是为了在寻找增广路径时尽可能贪心，流量尽可能大。...好了，开始讲Push-relabel的主要思想，首先构造一个函数excess，代表每个节点保存的流量，就是等于该节点的入流量-出流量，正常来说，s的保存流量为负，t的保存流量为正，其他节点的保存流量均为...然后，初始化过程是，h(s)=n，h(v)=0，对于所有不为s的节点，f(s, u)=c(s, u)，对于所有从s出发的边都默认饱和，这是上界。

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图论--网络流最大流问题

问题表述：给定一幅图（n个结点，m条边），每一条边有一个容量，现在需要将一些物品从结点s（称为源点）运送到结点t（称为汇点），可以从其他结点中转，求最大的运送量。...在介绍最大流问题的解决方法之前，先介绍几个概念. 网络：网络是一个有向带权图，包含一个源点和一个汇点，没有反向平行边。...容量约束：每条边的实际流量不能超过改变的最大流量。流量守恒：除了源点s和汇点t之外，所有内部节点流入量等于流出量。源点s：源点主要是流出，但也有可能流入。...反向弧：若从u到v的边的容量为c ，这条边上有流量 f 流过（称为正向弧），则相当于v到u有一条容量为0的边，其流量为- f ，这条边就是反向弧。反向弧的作用主要是用于寻找增广路。...残余网络：计算出图中的每条边上容量与流量之差（称为残余容量），即可得到残余网络。注意由于反向边的存在，残余网络中的边数可能到达原图中边数的两倍。观察图下图，这种状态下它的残余网络。 ?

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思维链CoT进化成思维图GoT，比思维树更优秀的提示工程技术诞生了

研究者表示，使用这一指标的目标是更好地理解 prompt 设计方案之间的差异。对于一个给定的思维 v，v 的容量是指 LLM 思维的数量，用户可以基于此使用有向边得到 v。...推理过程这里，推理过程被建模为一个有向图 G = (V, E)，其中 V 是一组顶点，E ⊆ V × V 是一组边。G 是有向的，因此边是有序顶点对 E ⊆ V × V 的子集。...有向边 (t_1, t_2) 表示思维 t_2 的构建方式是将 t_1 用作「直接输入」，即通过明确指示 LLM 使用 t_1 来生成 t_2。在某些用例中，图节点属于不同类别。...使用图模型，可以轻松实现聚合变换：通过添加来自建模了几条链中最后思维的顶点 v_1, ..., v_k 的传出边，使之指向组合这些链的单个思维 v^+。...而在 GoT 中，会在其叶节点处加入一个完全 k 叉树，并带有一个「镜像」k 叉树 —— 其大小一样而边是反向的。详细分析见表 2。CoT 的容量较大，最大可至 N，但也有 N 的高延迟成本。

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