一种替代的方法是使用欧拉角(Euler-angle)进行插值, 欧拉角将一个物体的旋转表示为分别绕xyz三轴的旋转组合, 这样我们通过分解和组合旋转的角度就可以用旋转矩阵来实现旋转的插值....欧拉角旋转有一个常见的问题是著名的万向节死锁问题(常平架锁定, 框架自锁; Gimbal Lock), 下图是这种情况的典型情况....由于欧拉角旋转是首先按照世界坐标系中的一个轴进行旋转, 这个旋转会改变局部其余两个轴的朝向, 然后再依次绕局部的轴进行旋转(见下图的常平架示例图, 这里是依YZX顺序)....://www.bilibili.com/video/BV1Lt411U7og 而关于四元数的详细数学计算可以参考下面Krsjt的笔记: 四元数与三维旋转 https://github.com/Krasjet...四元数乘法法则 有了这个对应表后我们就可以以向量运算的方式对四元数进行运算了, 看表中有标颜色的区域我们很容易意识到四元数乘法并不满足交换律. 如果一个四元数的s项为0, 称为纯四元数.
这里我们考虑一种特殊的曲线：内摆线。内摆线定义如下，它将是我们这一节讨论的，不同于圆的环绕曲线。 ? 在这一小节，我们只讨论改变 A 的情形，下一节“环面上的曲线”会讨论推广的改变 B 的情形。...这个函数里的 k 表示了截面是正 k 边形，n 则表示自身旋转扭曲的程度，相比原来多旋转了 n/k 圈。下图展示了 k 分别为 3、4、5 时的环面： ?...所用的方法和一开始我们从圆得到环面是一样的：找到沿着曲线的一个局部标架，然后就可以得到参数方程了。幸运的是，微分几何中提供了空间曲线一种局部标架：Frenet 标架。...要计算这种标架，先要知道的是曲线的一阶和二阶导数，这可以说是 Mathematica 的强项： ? ?...有了一阶和二阶导数就可以得到组成 Frenet 标架的三个单位向量，进而定义上述"弹簧"管状版本的函数： ? 我们用和之前相似的做法，可以到的上述管状曲线的 GIF 动画： ? ? ?
，按照不同的轴顺序进行旋转得到的欧拉角也是不同的，旋转变换可以归结为若干个沿着坐标轴旋转的组合，组合个数不超过三个并且两个相邻的旋转必须沿着不同坐标轴，总共有12种旋转方式，分别是XYZ、XZY、XYX...而航空专业通常采用的旋转方式是ZYX顺序，下图是一架飞机按照ZYX组合进行旋转产生欧拉角的过程，其中，ψ为偏航角，θ为俯仰角，φ为滚转角。 ?...所以下图陀螺仪中运动的那个方向其实是被锁住了的，你在俯仰角达到±90°时就不可能有这个方向的运动，这是因为当你俯仰角达到±90°时，你改变了第三个要旋转的轴的方向，它与你第一次旋转的Z轴重合了，所以在空间中失去了一个自由度...这说明你改变φ和ψ的值都是一个效果，而矩阵的第一行和最后一列始终是保持不变，这说明无论你怎么改变φ和ψ，你的旋转轴一直是Z轴不变，要想改变φ和ψ有不同的效果，你只能是去改变θ的值，以上就是用数学方法来解释为什么俯仰角在...基本运算规律 四元数是由1个实数加上3个复数组合而成，通常可以表示成w+xi+yj+zk或者（w，（x，y，z）），其中w、x、y、z都是实数，而i^2 = j^2 =k^2 = -1， i^0 = j
\alpha 和改变 \gamma 的值，得到的效果是一样的。...或者说，两个向量之间变换的轨迹不是唯一的。 Gimbal平衡环架中的死锁 在参考链接2中，作者自己画了一个平衡环架用于表示欧拉角死锁的问题。非常的直观，本章节中的图片都来自于参考链接2。...但是在后来长期的应用中，人们发现了四元数在几何旋转表示中的独特优势。在蛋白质折叠软件AlphaFold2和MEGAProtein中都使用到了四元数，用于表征分子结构的三维旋转。...关于四元数的介绍材料，可以参考一下参考链接3、4，分别是英文版和中文翻译版。 要理解四元数，至少需要了解复数，可以把四元数当做是复数的一个推广形式。...在最前面的章节中，我们讲Gimbal Lock欧拉角死锁问题时，提到了一个比较重要的点：在特定条件下（如绕一个指定的轴旋转90度），两个空间向量中间可以对应无穷多个欧拉角的组合。
面板，点击面板下方图标，出现下拉菜单，然后点击“色标簿”\ PANTONE+ Solid Coated（这里可选择自己需要查找的色卡类型） 第三步，色卡类型选好后，单击“颜色参考”面板推荐的颜色，然后切换到...第五技： 使用吸管工具复制样式 关于吸管工具的用法，这里只介绍它与快捷键组合后的功能。 与Shift键组合：仅提取目标颜色并应用到当前属性，以下图为例，红色矩形提取黑色来填充而不影响描边。...与Alt键组合：提取并应用当前软件设置的属性（很重要，提高效率的必备良药） 按住Alt键后，吸管图标会变成这样 与Alt键组合可以提取并应用的对象属性很多，比如填充/描边的颜色，文字的字体字号等 第六技...文字、区域文字、路径文字、竖向文字、竖向区域文字、竖向路径文字 【T】 椭圆、多边形、星形、螺旋形 【L】 增加边数、倒角半径及螺旋圈数（在【L】、【M】状态下绘图） 【↑】 减少边数、倒角半径及螺旋圈数...将所选对象变成参考线 【Ctrl】+【5】 将变成参考线的物体还原 【Ctrl】+【Alt】+【5】 贴紧参考线 【Ctrl】+【Shift】+【;】 显示/隐藏网格 【Ctrl】+【”】 应用敏捷参照
以二维空间为例，旋转变换就是一种线性变换(不了解旋转变换的请看上条推送)，其对应的矩阵叫旋转矩阵： 该变换作用在二维空间的任一个向量，相当于将该向量逆时针旋转θ角度，于是该变换可以把整个二维空间旋转θ...全排列： 由高中数学的排列组合可知，n个元素的排列种数为n的阶乘。比如三个数1、2、3，则有六种组合：123、132、231、213、321、312。...上面的解法是看该元素前面有几个比它大的数，还有另一种解法，看该元素后面有几个比它小的数，还是上个题，可以这样算： 对于3，其后面有两个数比它小，分别是1、2，所以其逆序数为2； 对于2，其后面只有一个数比它小...，除了系数外，都可写为 其中第一个下标(行标)是标准次序123，p1、p2、p3 是1、2、3的某个排列，前文提到，这三个数的排列有六种，所以得出上式右侧的六个乘积项，而系数的计算方法为： p1、p2...所以，各项的系数可以表示为(-1)t ,其中t是该项各元素列标排列的逆序数。 本文以三阶为例，高阶的依此类推。
世界坐标系以屏幕中心为原点(0, 0, 0)，在OpenGL中用来描述场景的坐标。比如使用这个坐标系来描述物体及光源的位置。世界坐标系，是不会被改变的。...OpenGL中几种变换 视点变换 视点变换确定了场景中物体的视点位置和方向，就向上边提到的，它象是 在场景中放置了一架照相机，让相机对准要拍摄的物体。...投影变换 经过模型视景的转换后，场景中的物体放在了所希望的位置上，但由于显示器只能用二维图象显示三维物体，因此就要靠投影来降低维数（投影变换类似于选择相机的镜头）。...缺省时，参数值即(0, 0, winWidth, winHeight) 指的是屏幕窗口的实际尺寸大小。所有这些值都是以象素为单位，全为整型数。...参考博文
欧拉角 来源 https://www.zhihu.com/question/47736315 参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840 为何要引入四元数？...2.1 什么是万向节（Gimbal） 平衡环架（英语：Gimbal）为一具有枢纽的装置，使得一物体能以单一轴旋转。...由彼此垂直的枢纽轴所组成的一组三只平衡环架，则可使架在最内的环架的物体维持旋转轴不变，而应用在船上的陀螺仪、罗盘、饮料杯架等用途上，而不受船体因波浪上下震动、船身转向的影响。...： 万向节死锁的根源在于欧拉角的定义方式 万向节死锁的结果，不是说不能旋转了，而是会导致旋转不自然 要规避万向节死锁，需要选择合适的旋转顺序（有12种旋转顺序） 4 总结 在编程中很难规避死锁问题，所以现在很多时候都使用四元数实现旋转...，四元数那又是另外的话题了。
图3右下用红色虚线模拟PPT里面的智能参考线，使对称位置的球对齐。 ? 图3 球的画法及排列方式 通过“右键-置于顶层/置于底层”，调整球的先后顺序，使之符合透视原理（图4左）。...图4 调整各个球体的层次顺序 选中8个球作为一个整体，复制两次，拖动到合适位置；选中其中一组8个球，右键-设置形状格式-填充-渐变填充，改变渐变光圈里面的色标（下图红圈表示）颜色，中间改成一个浅橙色，最右边的色标改成橙色...如果不喜欢紫棕色、橙色和黄色的配色，我们改变一下颜色配置，既可以获得其他颜色的蛋白酶体，我们这里画了一个蓝色系的蛋白酶体。 ?...这里为了省事直接画的椭圆，几个椭圆调整方向组合成一个高光区域。...绘制好一个调节单元之后，复制粘贴并旋转180°，作为另一个调节单元，但是在旋转之后另一个调节单元的高光区域已经发生变化，所以要根据实际进行修改，最后把两个调节单元和中间的核心单元拼接在一起就是一个蛋白酶体
---- 零件篇 前言：我学习的是2021版的Solidworks，不过应该都大差不差，做一个简单的学习记录，操作都很琐碎，不及下次就忘喽~ ---- 常用指令： 按住滚轮 旋转图像 回归原视图面：...延伸 延伸算是剪裁实体模块下的一个小功能 按住shift键+鼠标延伸线段 ---- 实体 实体的相关操作需要退出草图 实体显示类型 点击下图中的显示类型按钮 常用的两种显示方式： 带边线上色 线架图...（即投影面） 3.拉伸实体： 从：等距 方向：1.先点该栏目下左上角的切换方向 2.选择所需的即可 eg：给定深度 转换实体引用＋拉伸实体 ---- 旋转实体 特征——旋转凸台/基体（指定旋转轴即可）...扫描 将草图轮廓沿着另一线性草图扫描出来的实体 等距实体 同心圆类似的道理 尺寸标注 点击智能尺寸进行标注，输入指定尺寸即可 从动尺寸 相当于因变量，只能随其他长度改变而改变；若想自主改变长度，则需点击尺寸标注...，在其他里将从动的对勾取消 驱动尺寸 相当于自变量，可以自主改变 拉伸切除 同上（自定义切除深度即可） 旋转切除 同上（选择旋转轴，与切除深度等） 尺寸标注 ---- 自建基准面 特征栏——参考几何体—
零件篇 前言：我学习的是2021版的Solidworks，不过应该都大差不差，做一个简单的学习记录，操作都很琐碎，不及下次就忘喽~ 常用指令： 按住滚轮 旋转图像 回归原视图面： 3.点击草图文件 4...延伸 延伸算是剪裁实体模块下的一个小功能 按住shift键+鼠标延伸线段 ---- 实体 实体的相关操作需要退出草图 实体显示类型 点击下图中的显示类型按钮 常用的两种显示方式： 带边线上色 线架图...（即投影面） 3.拉伸实体： 从：等距 方向：1.先点该栏目下左上角的切换方向 2.选择所需的即可 eg：给定深度 转换实体引用＋拉伸实体 旋转实体 特征——旋转凸台/基体（指定旋转轴即可） 扫描 将草图轮廓沿着另一线性草图扫描出来的实体...等距实体 同心圆类似的道理 尺寸标注 点击智能尺寸进行标注，输入指定尺寸即可 从动尺寸 相当于因变量，只能随其他长度改变而改变；若想自主改变长度，则需点击尺寸标注，在其他里将从动的对勾取消 驱动尺寸...相当于自变量，可以自主改变 拉伸切除 同上（自定义切除深度即可） 旋转切除 同上（选择旋转轴，与切除深度等） 尺寸标注 自建基准面 特征栏——参考几何体——基准面 圆角和倒角 特征——圆角——选择边线
一般切削点离夹持点的距离，如果长径比超过3的话就容易振刀，可以考虑改变下工艺； 薄壁零件的外圆车削； 箱形部品（如钣金焊接结构件）车削； 超硬材质切削。...二、排查机床及装卡部位原因 查找一下你的活顶尖是不是伸出过长，轴承是不是良好。里面有平面滚动轴承组合。...实在怀疑，可以用死顶尖换用，注意中心孔的牛油润滑； 查找一下你尾架顶夹紧情况，夹紧条件下是不是左右里、上下里与机床主轴不同心； 把大中小拖板都紧一些，尤其是中拖板； 如果是机床的尾架部分你暂时无法去检查...目前应用于加工现场中有一些比较具体而实用的方法： 减轻造成振动的部份的工作重量，惯性越小越好； 针对振动最大的地方予以固定或夹持，如中心架、工作保持器等； 提高加工系统的刚性，例如使用弹性系数较高的刀柄或使用加入动态减振器的特殊抗震力...，以吸收冲击能量； 从刀片与工作旋转方向下功夫； 改变刀具的外型与进角，刀具鼻端半径越小越好，以降低切削阻力。
百分数、百分数p 三种样式，比如 50、50%、50%p，当为数值时，表示在当前View的左上角，即原点处加上50px，做为起始缩放点；如果是50%，表示在当前控件的左上角加上自己宽度的50%做为起始点...android:fromYDelta 起始点Y轴从标，可以是数值、百分数、百分数p 三种样式； android:toXDelta 结束点X轴坐标 android:toYDelta...translatel.gif rotate-旋转变化 android:fromDegrees 开始旋转的角度位置，正值代表顺时针方向度数，负值代码逆时针方向度数 android:toDegrees 结束时旋转到的角度位置，正值代表顺时针方向度数，负值代码逆时针方向度数 android:pivotX 缩放起点X轴坐标，可以是数值、百分数、百分数...rotate.gif set-组合动画 这个前面没有提到，这也是一个动画属性，不过他没特殊独有属性，只有继承基类Animation的共有属性，他的特点就是可以将多个动画组合在一起。如下： <?
小兵也凑个热闹，参考《SPSS统计分析》书中的案例，运用SPSS进行因子分析，作为我博客 SPSS案例分析系列 的第三篇文章。...【三、解决方案】 1、spss因子分析 同一指标在不同地区是不同的，用单一某一个指标难以对12个地区进行准确的评价，单一指标智能反映地区的某一方面。所以，有必要确定综合评价指标，便于对比。...但是可以通过可观测到的变量获得。前面说到，因子分析模型是原始变量为因子的线性组合，现在我们可以根据回归的方法将模型倒过来，用原始变量也就是参与分析的变量来表示因子。从而得到因子得分。...【四、结果解释】 1、验证数据是否适合做因子分析 主要参考kmo结果，一般认为大于0.5，即可接受。...同时还可以参考相关系数，一般认为分析变量的相关系数多数大于 0.3，则适合做因子分析；从 KMO=0.575 检验来看，不是特别适合因子分析，基本可以通过。
前言 上篇文章主要讲述了CSS样式更改中的裁剪、Z-Index、清除、改变元素的特性基础知识，这篇文章我们来介绍下CSS样式更改中2D转换的基础用法。...); /* Safari and Chrome */ -o-transform:matrix(1.3，0.32,1.32,0.22，0.54,0.65); /* Opera */ } 定义6个数的矩阵...测试 rotate3d(x,y,z,angle) 定义 3D 旋转 rotateX(angle) 定义沿着 X 轴的 3D 旋转 rotateY(angle) 定义沿着 Y 轴的 3D 旋转 rotateZ...(angle) 定义沿着 Z 轴的 3D 旋转 其它的都是差不多的用法，不过还有一个用法不同的就是： perspective(n) 为3D转换元素定义透视视图。...参考文档：W3C官方文档（CSS篇） 总结 这篇文章主要介绍了CSS样式更改篇中的2D转换基本设置，希望对大家的学习有帮助。
数组与线性表的关系：数组是线性表的推广。一维数组可视为一个线性表；二维数组可视为其元素也是定长线性表的线性表，以此类推。数组一旦被定义，其维数和维界就不再改变。...因此，将非零元素及其相应的行和列构成一个三元组（行标，列标，值）。然后再按某种规律存储这些三元组。稀疏矩阵压缩存储后便失去了随机存取特性。...这里我选择两个比较简单的应用：有效的数独以及旋转图像。 ? 有效的数独 ? 判断一个 9×9 的数独是否有效，只需要根据以下规则，验证已填入的数字是否有效即可。...数独部分空格内已填入数字，空白格用'.'表示。 说明： 一个有效的数独（部分已被填充）不一定是可解的。 只需根据以上的规则，验证已填入的数字是否有效即可。...给定数独永远是 9×9 形式的。 思路 ? 一个简单的解决方案是遍历该 9×9 数独三次，以确保： 行中没有重复的数字。 列中没有重复的数字。 3×3 子数独内没有重复的数字。
at position：可选，指定径向渐变的起始位置，可以是具体的像素值或比例值，或者关键字 top、 bottom、 left、 right，或者它们的组合形如 top left。...color-stop-list：色标组，表示径向渐变的颜色和渐变位置。可以是一个或多个颜色值，以及它们的位置百分比，形如 color stop....实际生产代码中已经与设计师沟通去掉了旋转角度，以左上角为圆心，100rpx 为纵轴，父盒子宽度为横轴的径向渐变。...crimson, cyan); 这个表示旋转 0.5 圈后的，从绯红到青色的一个渐变，模拟了一个烟囱浓烟污染天空的效果。...blue 0, black 8%); 看到这里，我想到一个好玩的：我们动态改变结束色值的位置，会是什么样的效果呢？
注：用“空间”二字是指被分类的并不是单个事物，而是一类事物。空间是指这类事物所有个体的集合。 升维/降维 放大/缩小 旋转 平移 “弯曲” ?...若确定 Y是三维向量，就会形成如下网络的形状 (神经网络的每个节点表示一个维度)。通过改变权重的值，可以获得若干个不同物质。右侧的节点数决定了想要获得多少种不同的新物质（矩阵的行数）。 ?...若减少右侧的一个节点，并改变权重 W 至(2)，那输出Y就会是两个新物质， [ O_{0.3} ；CO_{1.5}]。...比如下图就是经过放大、平移、旋转、扭曲原二维空间后，在三维空间下就可以成功找到一个超平面分割红蓝两线 (同SVM的思路一样)。 ? 上面是一层神经网络可以做到的空间变化。...如果我们完全掌握一架飞机是如何从分子开始一层一层形成的，拿到一堆分子后，我们就可以判断他们是否可以以此形成方式，形成一架飞机。
以上图中的 16 QAM 格式为例，每个符号表示着四个二进制位的一种可能组合。对于这四个二进制位来说，总共可能有16个组合。换言之，每个符号表示着四位。...符号率等于比特率除以每个符号可以传输的比特数。例如，在 QPSK 中，每个符号表示两个比特。QPSK 的符号率就是其比特率的一半。信号带宽和符号率成正比。...在极坐标中，矢量表示正弦波的峰值电压幅度对于相位改变量的关系。相位旋转360度表示一个完整的频率周期。请注意，相向的符号提供了一种表示正弦波相位随时间变化的便捷方法。...其中，幅度：是一个绝对值 相位：相对于一个参考值（载波）。 幅度：是一个绝对值 相位：相对于一个参考值（载波） 上图中正弦波表示了一种信号幅度随时间变化的过程。矢量不能直接提供任何频率信息。...事实上，我们测量矢量相对于载波信号的参考相位。这意味着，矢量仅在频率不同时会发生旋转。
4.0 变换 要是愤怒的航船改变了方向 围绕着你沉睡的脑袋，和身体 那就永远不必去害怕 穷苦世界的抽象风暴之暴行 --罗伯特·佩恩·沃伦 变换是一种采用点、向量或颜色等实体并以某种方式转换它们的操作...此函数称为缩放变换，因为它会更改对象的缩放（大小）。旋转变换是另一种线性变换，它围绕原点旋转向量。 缩放和旋转变换，实际上所有三元素向量的线性变换，都可以用 矩阵表示。...将函数保持在迄今为止使用的简单形式中，很难轻松地将它们组合起来。 可以使用仿射变换来组合线性变换和平移，通常存储为 矩阵。仿射变换是先执行线性变换然后再进行平移的变换。...仿射矩阵的主要特征是它保留了线的平行度，但不一定保留了长度和角度。仿射变换也可以是单个仿射变换的任何级联序列。 本章将从最基本的仿射变换开始。本节可以看作是简单转换的“参考手册”。...然后描述更专业的矩阵，然后讨论和描述四元数，这是一种强大的变换工具。然后是顶点混合和变形，这是表达网格动画的两种简单但有效的方法。最后，描述了投影矩阵。
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