，主要分为两大类，一类是单源最短路径，即计算一个给定的顶点到其他顶点的最短路径，一类是多源最短路径，即计算顶点两两之间的最短路径。...去除正权值环路会使路径减小，因此在此最短路径中一定不存在正权值环路，此环路一定为负。 在完成核心算法后再次遍历尝试松弛即可检验出该图是否含有负权值环路。 下面图里有5个点8条边，需要遍历4轮。...给定两个节点 start 和 end ，找到从 start 到 成功概率最大的路径，end 并返回其成功概率。 如果没有从 start to 的路径 end ，则返回 0 。...给定数组where表示城市和之间的双向加权边缘，并给定整数。...接下来我们需要证明新图中所有边的边权非负，因为在非负权图上，Dijkstra 算法能够保证得出正确的结果。 根据三角形不等式，新图上任意一边 上两点满足： 。这条边重新标记后的边权为 。
关于蚁群算法的具体介绍详见之前推文干货|十分钟快速get蚁群算法（附代码） 本文将解决 TSP 的一个实例，其目标是找到访问60个城市中每一个城市的最短路径。...这四只蚂蚁在60个城市中被初始化为随机路径; 初始化后，最好的蚂蚁的最短路径长度为260.0个单位。蚁群算法的核心思想是利用模拟信息素，吸引蚂蚁在图中寻找更好的路径。...主处理循环在根据当前信息素值更新蚂蚁行踪和根据新行踪更新信息素之间交替进行。在通过主处理循环的最大次数(1000次)之后，程序显示找到的最佳路径及其对应的长度(61.0个单位)。 ?...这个60个城市的图表是人工构建的，每个城市都与其他城市相连，任意两个城市之间的距离是1.0到8.0任意单位(英里，公里等等)之间的随机值。求解 TSP 问题没有简单的方法。...，该线路即为所求的最优线路；但在实际计算中，在给定一定循环次数的条件下很难实现这种情况。
它通常通过以下步骤实现：定义问题的状态：将原始问题划分为较小的子问题，并确定状态变量来表示问题的解。确定状态转移方程：找到子问题之间的关系，以便通过已知子问题的解来计算更大问题的解。...问题描述TSP是一个经典的组合优化问题，其目标是找到一条最短路径，使得旅行商能够访问给定一组城市并返回起始城市，同时每个城市只能被访问一次。假设有n个城市，我们需要找到一条路径，使得总旅行距离最小。...这个问题可以被建模为一个图，其中城市表示节点，路径表示边，每条边都有一个权重（即两个城市之间的距离）。...j的最短路径长度等于从城市k到城市i，经过集合j XOR {k}的最短路径长度加上从城市k到城市i的距离，其中k属于集合j。...通过两个嵌套的循环，我们逐步计算并存储子问题的解。最后，我们在dp数组的最后一列中找到最小路径长度，并返回结果。
而在n点图中想求多源最短路径,如果从Dijkstra算法的角度上，需要将Dijkstra执行n次才能获得所有点之间的最短路径，不过执行n次Dijkstra算法即可,复杂度为O(n3)。...Floyd算法又称为插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，与Dijkstra算法类似。...而算法的具体思想为： 1 .邻接矩阵(二维数组)dist储存路径，数组中的值开始表示点点之间初始直接路径，最终是点点之间的最小路径，有两点需要注意的，第一是如果没有直接相连的两点那么默认为一个很大的值(...顺序加入(k枚举)松弛的点时候，需要遍历图中每一个点对(i,j双重循环)，判断每一个点对距离是否因为加入的点而发生最小距离变化，如果发生改变(变小)，那么两点(i,j)距离就更改。...Floyd像什么呢，最终最短路径大部分都是通过计算得到而存储下来直接使用的，我觉得它和MySQL视图有点像的，视图是一个虚表在实表上计算获得的，但是计算之后各个数据就可以直接使用，Floyd是在原本的路径图中通过一个动态规划的策略计算出来点点之间的最短路径
以下是一些经典的 NP 问题的示例： 旅行推销员问题（Traveling Salesman Problem，TSP） ：给定一组城市和它们之间的距离，找到一条最短路径，使得每个城市都恰好被访问一次，然后返回起始城市...最大独立集问题（Maximum Independent Set Problem） ：给定一个图，找到一个节点的子集，其中没有两个节点相邻，使得这个子集的大小最大。...旅行推销员问题是一个经典的组合优化问题，通常描述为以下情景： 假设有一个推销员，他需要访问一组不同的城市，然后返回出发城市，使得他在旅途中经过每个城市恰好一次，同时总路程最短。...问题的目标是找到一条最短路径，即旅行的最优路线。 TSP 的形式化定义如下： 给定一组城市，这些城市之间的距离或成本。 推销员从某个城市出发，然后需要返回到出发城市。...它的思想很简单：从一个起点出发，每次选择距离当前位置最近的未访问城市，直到所有城市都被访问。 这样，推销员会在每一步都朝着最近的城市前进，希望最终找到最短路径。
有趣的是，带有E=-22的路径是在不到1秒的时间内找到的，并且花了大部分时间来找到下一步。 下面按长宽比排序来展示了100条64位数E=-23的路径。 ?...对于每种形状，选择给定颜色（透明、白色、黄色、红色、蓝色）的概率是相同的。 形状的颜色选择也会受到相邻形状的颜色的影响。要做到这一点，我们需要创建一个图来捕捉每个层次上所有形状之间的邻接关系。...下面将展示π树图的前四层及其邻接图。在每个图中，节点对应一个形状，节点之间的一条边表示形状共享其边缘的一部分。只在角上接触的形状不被认为是相邻的。 ? ?...15000 步效果： ? 当以不同的初始条件重复模拟时，结果集称为集合。 下面，重复模拟100次，n=3，k=0.2，每次初始速度略有不同。速度的x、y分量均为正态分布，均值为零，方差固定。...进一步放大，你可以看到克里斯蒂安堡宫，丹麦的宫殿之一，并且是丹麦国会的所在地。 ? 创建城市条带 城市条带由对于0.015度*0.015度（转化后的经纬度）的图块取样得到。
这题目比较简单，给定一棵树，给定一个数字，要你找到所有和等于给定数字的路径。这个题目的树没有给出是二叉树，自然不能按照原来二叉树的方法来构建了。...对于前序遍历，祖先肯定在26的前面，以此类推就好了。 所以首要一步就是要找到当前两个关键字的位置，然后看他中间的数是不是在前序遍历的那两个关键字的前面即可。一开始是直接遍历找位置，结果超时了。...存在一个旅行推销员的问题，给定一个城市列表和这些城市之间的距离，问，哪条最短的路能够访问所有的城市并且最后能回到出发的城市？...一个帮派是指帮派成员超过两个人，并且这些人之间互相都有联系，且通话量超过既定阈值K。在每一个帮派，存在一个通话量权重最高的人，以此人为首。现在给定一些通话列表，你应该团伙以及头目。...说是有几个城市，城市之间存在路径，通过路径需要花费，而每经过一个城市就可以获得这个城市的快乐值，问路径最短并且能得到最大快乐值的是那一条路。
BFS 还用于计算源节点和所有其他节点之间的最短距离。BFS 的另一个版本是 Lee 算法，用于计算网格中两个单元格之间的最短路径。 该算法首先访问源节点，然后访问将被推入队列的邻居。...弗洛依德算法（Floyd-Warshall） Floyd-Warshall / Roy-Floyd 算法解决了所有对最短路径问题：找到给定边加权有向图中每对顶点之间的最短距离。...然后我们将每个顶点视为其他两个节点之间的中间体。最短路径在每两对节点之间更新，任何节点 k 作为中间顶点。...如果 k 是 i 和 j 之间排序路径中的中间值，则dist[i][j]成为dist[i][k]+dist[k][j]和dist[i][j]之间的最大值。...Dijkstra 算法用于在加权图中找到这样的路径，其中所有的权重都是正的。 Dijkstra 是一种贪心算法，它使用以源节点为根的最短路径树（SPT）。
通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度高的路径，并且释放一定的信息素，使该条路径上的信息素浓度增高，进而使蚂蚁能够找到一条由巢穴到食物源最近的路径。...蚁群算法的参数选择需要一栏经验或者试错，所以在参数设置方面，需要注意： 蚂蚁数量m如果数量设置过大，将会使每条路径上信息素趋于平均，使正反馈作用减弱，从而使收敛速度减慢；如果蚂蚁数量m如果数量设置过小，...根据经验该参数的取值范围一般在[0,5]之间。 信息素挥发因子 表示信息素的消失水平。...（2）构建解空间 将各个蚂蚁随即放置在不同的出发地，对于每个蚂蚁k（ ），计算下一个待访问城市，直至每个蚂蚁都访问完所有城市。 蚂蚁在构建路径的每一步中，采用轮盘赌法选择下一要到达的城市。...第t+1次循环后从城市i到城市j上的信息素含量等于第t次循环后从城市i到城市j上的信息素含量乘以信息素残留系数 并加上新增信息素含量，其中新增信息素含量可表示为所有蚂蚁在城市i到城市j的路径上留下的信息素总和
这些算法包括： 最短路径算法(Dijkstra)：找到图中各个顶点到给定顶点的最短路径。 旅行推销员问题(TSP)：在图中找到一条访问每个顶点一次并回到出发点的最短路径。...2，旅行推销员问题(TSP) 旅行推销员问题(TSP)是在一个无向图中找到一个经过每一个顶点的最短路径。假如有一个推销员，他要到某一地区的所有城市去推销，他想要走过的总路程最少。...最小生成树的最直接应用是在路径规划工具方面(道路、电力、水等)，用来确保这些基础设施资源能在最小消耗的前提下到达所有城市(例如最短距离，路径图的边权值表示城市间的距离)。...2，找到图中最短的边，将其添加到结果集合中。其对应的两个顶点设置成已访问顶点。 3，找到连接已访问顶点和未访问顶点中的边的最短的那条，将其添加到结果集合中。对应的未访问顶点设置成已访问顶点。...得到较多的含有标签的顶点后，再利用K邻近的方式对未知顶点的标签进行预测。
1.最小生成树 1.1 问题背景： 假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。...在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?...若是图中的弧，则称顶点i是顶点j 的直接前驱，顶点j 是顶点i 的直接后驱。 AOV 网中的弧表示了活动之间存在的制约关系。...例如，某一地区的一个公路网，给定了该网内的n 个城市以及这些城市之间的相通公路的距离，能否找到城市A 到城市B 之间一条举例最近的通路呢？...算法的基本思想是： 设置两个顶点的集合S 和T＝V－S，集合S 中存放已找到最短路径的顶点，集合T 存放当前还未找到最短路径的顶点。
现在给定所有的城市和航班，以及出发城市 src 和目的地 dst，你的任务是找到从 src 到 dst 最多经过 k 站中转的最便宜的价格。 如果没有这样的路线，则输出 -1。...在 1 站中转以内的最便宜价格是 200，如图中红色所示。...从城市 0 到城市 2 在 0 站中转以内的最便宜价格是 500，如图中蓝色所示。...+;//可以走K+1步 vector> price(n, vector(K+1,INT_MAX)); price[src][0] = 0...;//在某点，走了几步的最少花费 priority_queue,cmp> q; q.push({0, {src, 0}});//路径机票价格总和
关于Floyd Floyd算法又称为插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，与Dijkstra算法类似。...高桥君认为，Atcoder人的幸福在很大程度上取决于交通的便利性。为了找出人们的幸福程度，他想找到所有可能城市之间最短路径长度的总和S。...如果城市i和j之间的最短路径的长度为 D(i,j)，则 img 高桥先生正计划建造K条新道路作为公共项目。...输入格式： 第一行两个数n和m，分别表示城市数和道路数。接下来2~m+1行每行三个数u,v,w表示有一条连接u,v城市的长度为w的路径。第m+2行一个数k，表示有k条新的路要修建。...第m+3~m+k+2行每行三个数x,y,z，表示又要建一条连接x,y的长度为z的路径。 输出格式： 输出k行，每行一个数，表示在修完第ii条道路后的S。
自然界常理，蚂蚁可以通过群体行动在没有任何提示下从家找到食物源的最短路径，并能随着环境变化不断调整适应性地搜索出新的路径产生新的选择使得找到的路径最短。...城市i到城市j的信息素为 其中，令 此时 为一次完整迭代时(一次迭代时间为城市数量n，即需要遍历完所有的城市后才计算信息素更新)在边ij所产生的信息素，这里就又涉及到一个问题，每只蚂蚁在城市i到j...走过后信息素变化 怎么计算，为此文献中有几种方法，即 其中 表示第k只蚂蚁在本次周游(遍历n个城市后)中所走过的所有路径长度， 表示城市i到j之间的距离，Q为一个正常数，且当蚂蚁没有从城市i走到城市...k的禁忌表中 第四步不断循环且t=t+1，直到蚂蚁k完成周游即t>n，禁忌表为所有城市后结束，禁忌表此时的长度为n已满 选择下一个蚂蚁，设置当前蚂蚁k的索引号k=k+1 重复四步，直到周游(三、四步可以并行执行...时间t不是严格意义上的时间，尽管城市i到j之间的距离不一样，依然认为每次经过的时间间隔为1个单位，而路径长短的因素是放在了信息素的产生值上面和增强城市ij切换的期望程度(一般是城市距离的倒数)上面 特点
在实际问题中，权可以表示某种含义。比如，在一个地方的交通图中，边上的权值表示该条线路的长度或等级。在一个工程进度图中，弧上的权值可以表示从前一个工程到后一个工程所需要的时间或其它代价等。...11、连通、连通图、连通分量：在无向图中，若两个顶点之间有路径，则称这两个顶点是连通的(Connect)。...例如， n 个城市之间的一个公路网，给定这些城市之间的公路的距离，能否找到城市 A 到城市 B 之间一条距离最近的通路呢？如果城市用顶点表示，城市间的公路用边表示，公路的长度作为边的权值。...第二步：找到顶点 C 后，再观察从源点经顶点 C 到各个顶点的路径是否比第一步所找到的路径要小（已选取的顶点则不必考虑），可发现，源点到顶点 B的路径长度更新为 20（A， C， B），源点到顶点 F...第四步：找到顶点 C、 F、 D 后，现在只剩下最后一个顶点 E 没有找到最短路径了，再观察从源点经顶点 C、 F、 D 到顶点 E 的路径是否比第三步所找到的路径要小（已选取的顶点则不必考虑），可以发现
，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）相当于上图中，从B移向BC之间的小波峰时，每次右移（即接受一个更糟糕值）的概率在逐渐降低。...城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。...初始解可选为(1，……，n) 目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数： 我们要求此代价函数的最小值。...，第一行的数字表示一个有多少座城市，第2至最后一行，每行有两个数字表示，城市的坐标（平面直角坐标系）。...而在TSP问题中，我们可以采用的方式其实是很多的。上面代码中GetNext()函数所采用的方式是随机交换两个城市在路径中的顺序。
对于上面显示的64位π我们模拟了500次，发现了200多条具有相同的低能量路径。有趣的是，带有E=-22的路径是在不到1秒的时间内找到的，并且花了大部分时间来找到下一步。...对于每种形状，选择给定颜色（透明、白色、黄色、红色、蓝色）的概率是相同的。 形状的颜色选择也会受到相邻形状的颜色的影响。要做到这一点，我们需要创建一个图来捕捉每个层次上所有形状之间的邻接关系。...下面将展示π树图的前四层及其邻接图。在每个图中，节点对应一个形状，节点之间的一条边表示形状共享其边缘的一部分。只在角上接触的形状不被认为是相邻的。...15000 步效果： 当以不同的初始条件重复模拟时，结果集称为集合。 下面，重复模拟100次，n=3，k=0.2，每次初始速度略有不同。速度的x、y分量均为正态分布，均值为零，方差固定。...进一步放大，你可以看到克里斯蒂安堡宫，丹麦的宫殿之一，并且是丹麦国会的所在地。 创建城市条带 城市条带由对于0.015度*0.015度（转化后的经纬度）的图块取样得到。
每种算法和数据结构都有自己的 README 并提供相关说明以及进一步阅读和 YouTube 视频。 数据结构 数据结构是在计算机中 组织和存储数 据的一种特殊方式, 它可以高效地 访问和修改 数据。...A 贝尔曼-福特算法 - 找到图中所有顶点的最短路径 A 弗洛伊德算法 - 找到所有顶点对 之间的最短路径 A 判圈算法 - 对于有向图和无向图 (基于DFS和不相交集的版本) A 普林演算法 - 寻找加权无向图的最小生成树...- Fleury的算法 - 一次访问每个边 A 哈密顿图 - 恰好访问每个顶点一次 A 强连通分量 - Kosaraju算法 A 旅行推销员问题 - 尽可能以最短的路线访问每个城市并返回原始城市 未分类...独特路径 B 雨水收集 - 疏导雨水问题 A 莱温斯坦距离 - 两个序列之间的最小编辑距离 A 最长公共子序列 (LCS) A 最长公共子串 A 最长递增子序列 A 最短公共子序列 A 0-1背包问题...A 整数拆分 A 最大子数列 A 弗洛伊德算法 - 找到所有顶点对之间的最短路径 A 贝尔曼-福特算法 - 找到所有图顶点的最短路径 回溯法 - 类似于 BF算法 试图产生所有可能的解决方案, 但每次生成解决方案测试如果它满足所有条件
当局为了控制疫情，不让疫情扩散到边境城市（叶子节点所表示的城市），决定动用军队在一些城市建立检查点，使得从首都到边境城市的每一条路径上都至少有一个检查点，边境城市也可以建立检查点。...但特别要注意的是，首都是不能建立检查点的。 现在，在 H 国的一些城市中已经驻扎有军队，且一个城市可以驻扎多个军队。...一支军队可以在有道路连接的城市间移动，并在除首都以外的任意一个城市建立检查点，且只能在一个城市建立检查点。一支军队经过一条道路从一个城市移动到另一个城市所需要的时间等于道路的长度（单位：小时）。...接下来的 n-1 行，每行 3 个整数，u、v、w，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从城市 u 到城市 v 有一条长为 w 的道路。数据保证输入的是一棵树，且根节点编号为 1。...接下来一行 m 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示这 m 个军队所驻扎的城市的编号。 输出格式 共一行，包含一个整数，表示控制疫情所需要的最少时间。如果无法控制疫情则输出-1。
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