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2022-11-07：给你一个 n 个节点的有向图，节点编号为 0 到 n - 1 ，其中每个节点至多有一条出边。图用一个大小为 n 下标从 0 开始

2022-11-07：给你一个 n 个节点的有向图，节点编号为 0 到 n - 1 ，其中每个节点至多有一条出边。...图用一个大小为 n 下标从 0 开始的数组 edges 表示，节点 i 到节点 edgesi 之间有一条有向边。如果节点 i 没有出边，那么 edgesi == -1 。...请你返回图中的最长环，如果没有任何环，请返回 -1 。输入：edges = 3,3,4,2,3。输出：3。答案2022-11-07：一个环指的是起点和终点是同一个节点的路径。用强联通分量。

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推荐算法：HNSW算法简介

要找到一个query的k个最近邻元素，一个朴素的思想就是我去计算这个query和所有的总量个候选元素的距离，然后选择其中的前k个最小元素，这个经典算法的算法复杂度是，显然这个算法复杂度实在是太高了...；将点集P中的点逐一加入到三角剖分当中，并进行如下调整：找出当前三角剖分当中的所有外接圆中包含新插入点的全部三角形；将这些三角形的内部边全部删除，然后将边界上的所有顶点均与新的插入点...我们摘录下述参考链接5中的介绍如下：在候选节点V里面随机挑选一个节点将节点插入到已经构建好的图中，并构建边。...具体而言，就是首先使用全部的向量构造一个nsw图，然后找出其中比较具有代表性的点构成一个上层子图，其节点数目满足指数衰减。重复上述操作直至只剩下一个输入查询节点。...因此，在具体构造方法来说，就是我们不断地对当前层增加新的节点，如果某一层的节点数超过了某一个上限值，就对当前节点往下分出一个新的层，然后对这个层继续进行操作。

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复杂性思维第二版二、图

在本章中，图是一个系统的表示，它包含离散的互连元素。元素由节点表示，互连由边表示。例如，你可以表示一个路线图，每个城市都是一个节点，每个城市之间的路线是一条边。...的代码。with_labels选项标注了节点；在下一个例子中，我们将看到如何标注边。为了产生图（？）...为了测试这个说法，我们将开发算法来生成随机图，并检查它们是否连通。 2.4 生成图我将首先生成一个完全图，这是一个图，其中每个节点都彼此连接。...；默认情况下，pop删除并返回列表的最后一个元素，这是一个常数时间的操作。...练习 4：实际上有两种 ER 图。我们在本章中生成的一种，G(n，p)的特征是两个参数，节点数量和节点之间的边的概率。一种替代定义表示为G(n，m)，也以两个参数为特征：节点数n和边数m。

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数据结构高频面试题-图

无向图：若图的每条边都没有方向，则称该图为无向图。有向图：若图的每条边都有方向，则称该图为有向图。顶点的度：对于无向图，顶点的度表示以该顶点作为一个端点的边的数目。...直到以vt出发的所有节点都被访问到，回溯到v0的下一个未被访问过的邻接点，以这个邻结点为新节点，重复上述步骤。直到图中所有与v0相通的所有节点都被访问到。...解题思路：可以用dfs遍历每个节点；遍历时，用map存储新图结点、旧图结点的映射关系；之所以要存储映射关系，是因为：图中同一个结点只能出现一次，该结点的相关边都是对它的引用。...解题思路：拓扑排序从 DAG 图中找出所有入度为0的顶点，放入队列。每次从队列取出一个结点，从图中删除该顶点以及所有以它为起点的有向边。...对每个equation如"a/b=v"构造a到b的带权v的有向边和b到a的带权1/v的有向边，之后对每个query，只需要进行dfs并将路径上的边权重叠乘就是结果了，如果路径不可达则结果为-1。

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MADlib——基于SQL的数据挖掘解决方案（28）——图算法之单源最短路径

计算时根据已知条件，从有关线段上一点开始，连结相关线段上的点，连线与表示所求量线段的交点即为答案。图算法是对树的拓展，树是自上而下的数据结构，除根节点外，其它每个节点都有一个父节点，从上向下排列。...邻接表在存储上占优势，但是在判断两个节点 ? 是否联通时，要首先在邻接表中找到 u，然后再遍历 u 后面的链表。（2）邻接矩阵图4是图1所示无向图的邻接矩阵表示。...二、单源最短路径（1）问题描述给定一个带权有向图 ? ，其中每条边的权值是一个非负实数。另外，还给定 ? 中的一个顶点，称为源。...weight：从源顶点到目标顶点最短路径边长合计，使用weight入参的值作为列名。parent：在最短路径上，本顶点的上一节点，列名为‘parent’。...weight：从源顶点到目标顶点最短路径边长合计，使用weight入参的值作为列名。 parent：在最短路径上，本顶点的上一节点，列名为‘parent’。

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GREEDY ALGORITHMS II

我们要证明，该路径的长度不会小于π(v)。设(x, y)是路径P中第一个离开集合S的边，即从S中的节点x到非S中的节点y的边。然后，P’是从起始节点s到节点x的子路径。...T 在每对节点之间都有一条唯一的简单路径最小生成树属性最小生成树本质还是生成树，最重要的一条属性就是边权重之和最小，是最优情况下的生成树贪心算法（涂色）红色规则：设C是一个没有红边的环...完成：重复步骤3，直到最小生成树中的边数等于顶点数减1（因为一个生成树有V-1条边，其中V为顶点数）。 Kruskal算法确保加入的边不会在生成树中引起循环，这使得它成为一种安全的选择。...如果删除边后图仍然是连通的，说明这条边不是MST必需的，将其删除。否则，保留这条边。重复步骤3，继续删除边，直到只剩下V-1条边为止，其中V是图的顶点数。此时，得到的边集合构成了图的最小生成树。...以下是Borůvka’s算法的步骤：将每个顶点作为一个单独的连通组件。重复以下步骤，直到只剩下一个连通组件（即构建完整的最小生成树）：对于每个连通组件，选择连接该组件的最小权重的边。

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GREEDY ALGORITHMS II

我们要证明，该路径的长度不会小于π(v)。设(x, y)是路径P中第一个离开集合S的边，即从S中的节点x到非S中的节点y的边。然后，P’是从起始节点s到节点x的子路径。...T 在每对节点之间都有一条唯一的简单路径最小生成树属性最小生成树本质还是生成树，最重要的一条属性就是边权重之和最小，是最优情况下的生成树贪心算法（涂色）红色规则：设C是一个没有红边的环...完成：重复步骤3，直到最小生成树中的边数等于顶点数减1（因为一个生成树有V-1条边，其中V为顶点数）。 Kruskal算法确保加入的边不会在生成树中引起循环，这使得它成为一种安全的选择。...如果删除边后图仍然是连通的，说明这条边不是MST必需的，将其删除。否则，保留这条边。重复步骤3，继续删除边，直到只剩下V-1条边为止，其中V是图的顶点数。此时，得到的边集合构成了图的最小生成树。...以下是Borůvka’s算法的步骤：将每个顶点作为一个单独的连通组件。重复以下步骤，直到只剩下一个连通组件（即构建完整的最小生成树）：对于每个连通组件，选择连接该组件的最小权重的边。

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技术面试要了解的算法和数据结构知识

（Node）组成的线性数据集合，每个节点通过指针指向下一个节点。...p指向前一个节点，n指向下一个节点；最后一个节点指向空。循环链表：每个节点指向下一个节点，最后一个节点指向第一个节点。...一个节点的所有子节点都有相同的前缀，根节点则是空字符串。 ? 大数据树状数组树状数组，又称为二进制索引树（Binary Indexed Tree，BIT），其概念上是树，但以数组实现。...大数据图图是G =（V，E）的有序对，其包括顶点或节点的集合 V 以及边或弧的集合E，其中E包括了两个来自V的元素（即边与两个顶点相关联，并且该关联为这两个顶点的无序对）。...无向图：图的邻接矩阵是对称的，因此如果存在节点 u 到节点 v 的边，那节点 v 到节点 u 的边也一定存在。有向图：图的邻接矩阵不是对称的。

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手把手：四色猜想、七桥问题…程序员眼里的图论，了解下？（附大量代码和手绘）

从专业角度而言，我们将称之为“节点”（V），以及连接它们的“边”（E）。V代表节点（vertex），E代表边（edge）。下一个重要的概念就是所谓的节点自由度，即入射（连接）到节点的边的数量。...定理：一个有限无向连通图是一个欧拉图，当且仅当只有两个节点有奇数自由度或者所有节点都有偶数自由度。在后一种情况下，曲线图的每条欧拉路径都是一条闭环，前者则不是。...给定一个Airbnb房屋（H）和过滤器（F）的二分图，其中H的每个元素（顶点）都可以有多个相邻的F元素（顶点）相连。请查找一个和F子集内顶点相邻的H顶点子集。...这个问题也可以很容易应用到亚马逊的商品搜索中，因为用户通常通过在亚马逊上输入他们感兴趣的内容（如“图算法”）来查找相关产品，并得到以商品评分排序的清单。...正因为我们一直从左开始，所以最先的得到的是“最靠左”的节点，也就是最左节点，这是在整个二叉树里具有最小值的节点。因此，简单地将遍历方法改成右节点优先，就可以得到降序排列的列表。

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文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （200）-- 算法导论15.2 4题

子问题图（也叫DAG，有向无环图）的顶点表示子问题的解，边表示子问题之间的关系。在矩阵链乘法问题中，每个子问题可以定义为计算从第i个矩阵到第j个矩阵的乘积的最优方式，其中i 边的数量： • 子问题图中的边是由顶点间的父子关系决定的，每个顶点都有两个孩子节点（除了叶子节点，即最底层的节点），所以如果忽略叶子节点，每层的边数是上一层顶点数的两倍。...因此，子问题图中的顶点数为 (n+1) * (n+1)，其中每个顶点表示一个子问题，它包含了两个矩阵相乘的区间。边数：对于每个子问题，我们需要考虑不同的划分位置，以确定两个相乘矩阵的乘积。...因此，在子问题图中，每个顶点最多有 n 条出边和入边。连接关系：具体来说，子问题图中的边连接着相邻的顶点。每条边连接一个父节点和一个子节点，并表示将父节点划分成两部分进行乘积运算得到子节点。...为了计算这个值，我们需要遍历所有可能的分割点 k，计算从 i 到 k 和从 k+1 到 j 的最小乘积，然后将它们相乘。这样，我们就得到了一个边 (i, k) 和一个边 (k+1, j)。

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字典树和前缀树_前缀树和后缀树

从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串。每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。...经过证明, 在最坏情况下, 后缀树的节点数也不会超过2N (N为文本的长度). 这使构造后缀树的线性时空开销成为可能....每个后缀会在以下三种节点的其中一种结束. 一个叶节点. 这个是常识了, 图4中标号为1, 2, 4, 5的就是叶节点. 一个显式节点....那么要构造下一个前缀BOOKK的后缀树的话, 只需要访问树中已存在的每一个后缀, 然后在它们的末尾加上K. 前4个后缀BOOK, OOK, OK和K都在叶节点上结束....后缀指针存在于每个结束在非叶节点的后缀上, 它指向“下一个更短的后缀”. 即, 如果一个后缀表示文本的第0到第N个字符, 那么它的后缀指针指向的节点表示文本的第1到第N个字符.

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每周学点大数据 | No.45 基于路径的图算法

王：Steiner 树是连接给定集合的最小代价树，后面会再提到它的。这里我们要考虑的核心问题就是，如何将这些算法并行化，以解决对比较大的图的操作算法。...它求解的问题是这样定义的：在一个加权有向图G=(V,E) 中，每一条边都有一个非负实数作为它的权，在图中我们标定一个源点u，去求解u 到图中其他所有顶点的最短距离，也就是最短路径的长度。...并行性在于在下一步开始之前，我们对本轮的这些节点的访问是可以并行进行的。在传统的算法中，对于Dijkstra 算法仔细考察每个u，在其维护的堆中找到堆顶，从而可以安全地删除确定顶点。...这部分内容前面已经提到过了，现在要考虑的就是在MapReduce 中，我们怎么去寻找其中潜在的并行性。  对每个v 考察所有潜在的u。  通过保存u 的前沿集合迭代计算（距离源点i 条边）。... 第二个数据域表示最短路径上的下一个节点。小可：嗯，这个时候，最短路径多长还不知道，下一个节点也不知道，这里都初始化成无穷和空。 Mr.

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30 个重要数据结构和算法完整介绍(建议收藏保存)

树（Trees）一棵树是一个无向图，在连通性方面最小（如果我们消除一条边，图将不再连接）和在无环方面最大（如果我们添加一条边，图将不再是无环的） ....它基本上是使用每个元素的频率（一种散列），确定最小值和最大值，然后在它们之间迭代以根据其频率放置每个元素。它在 O(n) 中完成，空间与数据范围成正比。如果输入范围不明显大于元素数量，则它是有效的。...Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法迪杰斯特拉（Dijkstra）算法给定一个图和图中的一个源顶点，找出从源到给定图中所有顶点的最短路径。...所有顶点都用 BFS 遍历，那些最短距离尚未最终确定的顶点被存储到最小堆（优先队列）中。创建最小堆并将每个节点连同它们的距离值一起推入其中。然后，源成为距离为 0 的堆的根。...如果在 DAG 中的 DFS 期间，节点 x 具有到节点 y 的输出边，则 y 属于第一类或第三类。如果 y 在堆栈上，则(x, y)将结束一个循环，这与 DAG 定义相矛盾。

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复杂性思维第二版四、无标度网络

但是对于更大的图，它们都太慢，需要与nk^2成正比的时间，其中n是节点数，k是每个节点的邻居数。幸运的是，NetworkX提供了一个通过随机抽样来估计群聚系数的函数。...简而言之，Pmf 是值到概率的映射。Pmf 是每个可能的度d，到度为d的节点比例的映射。...ba = nx.barabasi_albert_graph(n=4039, k=22) 参数是n要生成的节点数量，k是每个节点添加到图形时的起始边数。...我选择k=22，是因为这是数据集中每个节点的平均边数。图 4.3：Facebook 数据集和 BA 模型中的节点的 PMF，在双对数刻度上。...，k是每个新节点边的数量（近似为每个节点的边的数量）。

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普林斯顿算法讲义（三）

你的算法在最坏情况下的运行时间应该与E V成正比。应用：给出一组需要肾移植的患者，每个患者都有一个愿意捐赠肾脏但类型不匹配的家庭成员。愿意捐赠给另一个人，前提是他们的家庭成员得到肾脏。...给定边权图 G 的最小生成树，假设删除一个不会使 G 断开的边。描述如何在与 E 成正比的时间内找到新图的最小生成树。解决方案. 如果边不在最小生成树中，则旧的最小生成树是更新后图的最小生成树。...否则，从最小生成树中删除边会留下两个连通分量。添加一个顶点在每个连通分量中的最小权重边。给定边权图 G 的最小生成树和一个新边 e，描述如何在与 V 成正比的时间内找到新图的最小生成树。...图的反馈边集是包含图中每个循环中至少一条边的子集。如果删除反馈边集的边，则结果图将是无环的。设计一个高效的算法，在具有正边权的加��图中找到最小权重的反馈边集。两个 MST 中边权重的分布。...（Bentley-Sedgewick）给定一个输入集，无论字符串插入的顺序如何，其 TST 中的节点数都是相同的。证明。在集合中，TST 中每个不同字符串前缀都有一个唯一的节点。

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点云处理算法整理（超详细教程）

不同　　1.实现方法和结果不同：最小二乘法是直接对求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个，然后向下降最快的方向调整，在若干次迭代之后找到局部最小。...在平面上有n个不重合种子点（节点），把平面分为n个区域，使得每个区域内的点到它所在区域的种子点（节点）的距离比到其它区域种子点（节点）的距离近。每个区域称为该种子点（节点）的Voronoi区域。...Voronoi图是Delaunay三角剖分的对偶图。Voronoi图的每条边是由相邻种子点（节点）的垂直平分线构成，在边上的点到两个种子点（节点）的距离相等。...那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件： 1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。 2.没有相交边。...多边形，每个Voronoi多边形内有且仅有一个节点（种子点）。

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哪种一致性哈希算法才是解决分布式缓存问题的王者？

(其中hash算法采用的md5)，每个hash值生成4个4字节的hash值，总共40*4=160个hash值，对应160个虚拟节点； 3）把所有的hash值及对应的节点地址存到一个continuum存组中...在算法的复杂度方面，Ketama算法的复杂度是O(log(vn))，其中n是节点数，v是节点的虚拟节点数。...，如下图6所示：图6 介绍完查找表是如何生成的，还剩下一个问题就是各节点的偏好序列又是如何生成的。...以下图9为例，我们在图5原来的基础上假设B1节点出现故障被淘汰掉了，这必然导致查找表里的一些槽位编号发生变化，从图9可以看到，当B1节点删除后，有3个槽位发生了变化，其中0号跟2号位置，由于B1节点的删除被重新分配给了...图9 在稳定性方面，经典一致性哈希、Rendezvous和Jump consistent hash都做到了在后端节点数量发生变化的时候的最小重新映射，而从图9删除节点的情况来看，Maglev hash并没有做到最小重新映射

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使用贪心算法解决最小生成树问题

**贪心选择**： - 从已访问集合中的顶点出发，找出连接已访问集合和未访问集合的最小权重边。 - 将这条边加入到最小生成树集合 `mst` 中。...**重复步骤**： - 重复步骤 2，直到所有顶点都被加入到已访问集合中，或者直到最小生成树集合中的边数等于顶点数减一（对于一个连通图，最小生成树的边数为 `n-1`，其中 `n` 为顶点数）。...- `mst` 列表用于存储构成最小生成树的边，每个元素是一个三元组 `(frm, to, weight)`，表示从 `frm` 到 `to` 的边及其权重。...- 时间复杂度在很多情况下表现出色，如使用最小堆优化的 Prim 算法时间复杂度为 $O(m log n)$，Kruskal 算法为 $O(m log m)$，在合理的时间内能够找到最小生成树，其中 `...使用贪心算法解决最小生成树问题时，要根据实际情况选择合适的算法（Prim 或 Kruskal），并且要考虑图的特性，如稀疏度、是否为动态图等，以达到最优的性能。

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反向传播算法：定义，概念，可视化

在训练阶段，我们有一个额外的信息，这就是网络应该得到的实际结果，y。我们的损失函数就是这些值之间的距离。当我们想要最小化这个距离时，我们首先要更新最后一层的权重。...把它扩展到现实的网络是这样的， ? 我们需要给网络添加一些额外的符号。让我们通过 a¹₁计算一下计算图 a²₁。 ? ? 实际上你会发现两个计算图有一个很大的共同点,特别是到a¹₁。...符号对符号导数到目前为止，您已经了解了如何得到神经网络中节点梯度的代数表达式。通过链式法则在张量上的应用和计算图的概念。...代数表达式或计算图不处理具体问题，而只是给我们的理论背景，以验证我们正在正确地计算它们。它们帮助指导我们的编码。在下一个概念中，我们将讨论符号对数值导数的影响。...利用这个图，我们可以构造另一个图: ? G中的每个节点计算正向图节点u^i，而B中的每个节点使用链式法则计算梯度。 ?

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数据结构-概述

删除相同查找为log2n 4.5.3 哈夫曼树和哈夫曼编码哈夫曼树的带权路径长度最小构造对于给定的N棵仅含有一个结点的二叉树，构成森林构造一个新结点，选取森林中权值最小的两个结点作为左右子树，...思路如下：添加任意顶点至最小生成树子图中。重复将子图到非子图范围内最小的边添加进来，并将对应的结点加入子图中。...kruskal 初始化，每个顶点构成一棵独立的树，得到一个森林将权值最小的边选定，如果将该边的两个顶点没有都加入最小生成树，则添加该边完成可以用并查集实现判断顶点是否在最小生成树中。...B树的插入定位：利用前述的B树查找算法，找出插入该关键字的最底层中某个非叶节点插入：在B树中，每个非失败结点的关键字个数都在ceil(m/2)-1到m-1之间。...删除的关键字在叶节点上且符合条件：直接删除删除的关键字在非叶结点上且符合条件：会从孩子结点提取合适的前驱或后继关键字，升上来。如果孩子结点全部不满足。如果都不满足，合并孩子结点。

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