在逐次超松弛速率法中ω的意义是什么？

在逐次超松弛速率法中，ω（omega）是松弛因子，用于控制迭代过程中每次更新变量的幅度。它的取值范围通常为(0,2)，其中1 < ω < 2。ω的意义是调节迭代过程的收敛速度和稳定性。

具体来说，当ω的取值接近于1时，迭代过程的收敛速度较慢，但稳定性较好。这是因为较小的ω会减小每次迭代中变量的更新幅度，从而减缓收敛速度，但也减少了迭代过程中的震荡和振荡现象，提高了算法的稳定性。

当ω的取值接近于2时，迭代过程的收敛速度较快，但稳定性较差。较大的ω会增大每次迭代中变量的更新幅度，加快收敛速度，但也增加了迭代过程中的震荡和振荡现象，降低了算法的稳定性。

逐次超松弛速率法是一种用于求解线性方程组的迭代方法，常用于解决大规模稀疏线性方程组的数值计算问题。它通过引入松弛因子ω，可以加快迭代过程的收敛速度，提高算法的效率。在实际应用中，根据具体问题的特点和要求，选择合适的ω值非常重要。

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SOR迭代法解线性方程组

SOR迭代是在Gauss-Seidel迭代方法基础之上的进一步改进。其特征是取xk+1和xk的一个适当的加权平均来加快Gauss-Seidel收敛。对于方程组 ?...而参数ω>1时称为逐次超松弛(Successive Over-Relaxation,SOR)迭代，ω<1时称为逐次低松弛(Successive Under-Relaxation)迭代。...·数值算例对于下列的稀疏方程组，其精确解是X=[1,1,...,1]。 ?...1)当n=200时,分别用Jacobi，Gauss-Seidel以及SOR （ω=1.5和ω=1.2），比较三种方法收敛所需的迭代步数。 ?...而参数ω>1时称为逐次超松弛(Successive Over-Relaxation,SOR)迭代，ω<1时称为逐次低松弛(Successive Under-Relaxation)迭代。

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数值优化（A）——线性规划中的单纯形法与内点法

那么在优化中，我们也会关注它们，通过介绍他们来了解优化在运筹中的应用，也能够让大家更好的了解为什么“运筹优化”一般都放在一起来说。那么我们开始吧。...几何建构因为线性规划是一个具体的问题，这也为它带来了一定的几何意义。我们先给出它约束的一个几何定义。 Definition 1: Hyperplane 定义是一个超平面。其中 , 。...好的，有了这些铺垫，我们就可以慢慢的给出单纯形法的做法了。单纯形法我们要注意的是，我们的标准形式就蕴含着说，我们的约束就是多个超平面的交，因为。...但是如何做到这样的事情呢？还是一样，从源头找思路。在正常的情况下，我们的约束都是不等式约束，是添加了松弛变量才使得我们可以化简为标准的形式。所以为什么叫松弛变量呢？不就是因为它很多时候起不到作用吗？...这个可以在Numerical Optimization中的Thm 13.4中找到。内点法刚刚我们介绍完了单纯形法，但是单纯形法并非是一个速度很让人满意的方法。

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AAAI 2018 | 南京大学提出用于聚类的最优间隔分布机

在 UCI 数据集上的大量实验表明 ODMC 显著地优于对比的方法，从而证明了最优间隔分布学习的优越性。聚类是机器学习、数据挖掘和模式识别中的一个重要研究领域，其目标是分类相似的数据点。...Niu 等人 2013 年的研究提出了 MMC 的另一种实现，称为最大容量聚类（maximum volume clustering，MVC），其在理论的意义上更重要。...特别地，他们利用一阶和二阶统计量（即间隔均值和方差）描述间隔分布，然后应用 Li 等人 2009 年提出的极小极大凸松弛法（已证明比 SDP 松弛法更严格）以获得凸形式化（convex reformulation...作者扩展了随机镜像下降法（stochastic mirror descent method）以求解因而产生的极小极大问题，在实际应用中可以快速地收敛。...此外，我们理论上证明了 ODMC 与当前最佳的割平面算法有相同的收敛速率，但每次迭代的计算消耗大大降低，因此我们的方法相比已有的方法有更好的可扩展性。

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OReillyAI系列：将学习速率可视化来优化神经网络

在原始随机梯度下降（SGD）中，学习速率与误差梯度的形状无关，因为它使用了一个与误差梯度无关的全局学习速率。...基于相同的数据来源，可以通过在数据集的一个子集上训练网络来获得一个良好的初始学习速率估计。理想的策略是从一个很大的学习速率开始，逐次减半直到损失不再变化。...动量使学习到的网络更能抵抗输入中的噪声和随机性。将学习速率视为超参数的其他更新规则包括： Duchi等人在2011年提出的AdaGrad，其增加了根据每个维度的历史平方和来缩放梯度的各个元素。...除了这些规则，还有很多遵循牛顿更新规则但计算量非常大的二阶方法。然而二阶方法不会把学习速率视为超参数，由于其计算量大所以很少被用于大型深度学习系统。...图1显示了在差不多的超参数设置下不同优化技术的比较：图1 优化技术的比较。资料来源：Alec Radford，经许可使用在这个图像中，动量更新越过了目标，但是到达全局最小值的速度更快。

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【机器学习】支持向量机

其次，介绍线性模型中的一种强大操作—核函数，核函数不仅提供了支持向量机的非线性表示能力，使其在高维空间寻找超平面，同时天然的适配于支持向量机。...A、硬间隔（最大化最小间隔分类器）线性感知机中由于没有线性可分假设，所以其目标函数定义为最小化错分样本的损失，而硬间隔SVM则提出了一个线性可分假设，即样本在高维空间中线性可分，那么使得两类分开的超平面一定有无限个...上述问题可使用拉格朗日乘子法和对偶问题进行求解。拉格朗日函数: 其中由Fritz John条件得出，为互补松弛条件，互补松弛条件与支持向量有密切关系。...而不为的意义就是该点线性不可分—在支持向量以内，不能让太大的意义就是尽可能的不要让样本在支持向量太里面。这也就是惩罚项引入后的结果。...F、拉格让日乘子法与对偶问题补充拉格朗日乘子法通过引入松弛变量得到目标函数局部最优解的必要条件：拉格朗日乘子法的一般形式：引入松弛变量也称拉格朗日乘子，朗格朗日函数如下：如果是目标函数的局部最优解

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【原创】机器学习从零开始系列连载(3)——支持向量机

现实当中我们无法保证数据是线性可分的，强制要求所有样本能正确分类是不太可能的，即使做了核变换也只是增加了这种可能性，因此我们又需要做折中，允许误分的情况出现，对误分的样本根据其严重性做惩罚，所以引入松弛变量...到此为止，SVM和普通的判别模型没什么两样，也没有support vector的概念，它之所以叫SVM就得说它的对偶形式了，通过拉格朗日乘数法对原始问题做对偶变换： ?...从互补松弛条件可以得到以下信息： ? ? C越大表明你越不想放弃离群点分类超平面越向离群点移动当以上问题求得最优解后，几何间隔变成如下形式： ?...核方法‍ 上面对将内积用一个核函数做了代替，实际上这种替换不限于SVM，所有出现样本间内积的地方都可以考虑这种核变换，本质上它就是通过某种隐式的空间变换在新空间(有限维或无限维兼可)做样本相似度衡量，...regression 7.Spectral clustering 在我看来核方法的意义在于： 1、对样本进行空间映射，以较低成本隐式的表达样本之间的相似度，改善样本线性可分的状况，但不能保证线性可分；

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【运筹学】分支定界法 ( 分支定界法相关概念 | 分支定界法求解整数规划步骤 | 分支定界理论分析 | 分支过程示例 )

, 之后逐个讨论子问题 ; 定界 : 分支很多的情况下 , 需要讨论的情况也随之增多 , 这里就需要定界 , 决定在什么时候不在进行分支 ; 满足 ① 得到最优解 , ② 根据现有条件可以排除最优解在该分支中..., 二者其一 , 就可以进行定界 ; 定界的作用是剪掉没有讨论意义的分支 , 只讨论有意义的分支 ; 二、分支定界法求解整数规划步骤 ---- 分支定界法求解整数规划步骤 : ( 1 ) 求整数规划...非整数解变量 x_i , 在松弛问题中加上约束 : x_i \leq [x_i] 和 x_i \geq [x_i] + 1 形成两个新的松弛问题 , 就是两个分支 ; 上述分支 , 分的越细致...---- 假设考虑分支 1 松弛问题 , 每次都要给问题找到一个界 , 开始先使用观察法找到一个界 , 找到一个整数解 f , 将该解代入目标函数 , 然后在不断地计算中, 修改该界 ;...( 整数规划问题解的特征 | 整数规划问题与松弛问题示例 ) 中 , 求解如下整数规划解 : \begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm

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线性规划之单纯形法【超详解+图解】

1.作用单纯形法是解决线性规划问题的一个有效的算法。线性规划就是在一组线性约束条件下，求解目标函数最优解的问题。 2.线性规划的一般形式在约束条件下，寻找目标函数z的最大值。...3）若存在取值无约束的变量，可转变为两个非负变量的差，比如：本文最开始的线性规划问题转化为标准形为： 5.单纯形法 5.1几何意义在标准形中，有m个约束条件（不包括非负约束），n个决策变量...通过矩阵的线性变换，基变量可由非基变量表示：如果令非基变量等于0，可求得基变量的值：如果为可行解的话，Ci大于0。那么它的几何意义是什么呢？ ...使用单纯型法来求解线性规划，输入单纯型法的松弛形式，是一个大矩阵，第一行为目标函数的系数，且最后一个数字为当前轴值下的 z 值。下面每一行代表一个约束，数字代表系数每行最后一个数字代表 b 值。...（本来是x >= 0，我们只靠虑切割空间的平面……）要是顶点都是整点不是超开心？等价于从这m + n个方程中任取n个方程把它解掉得到的解是整数解。

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MachineLearing---SVM

yix今天我们来看看机器学习中的SVM,SVM是什么呢，它的中文名叫支持向量机（Support Vector Machine），是机器学习中的一种分类算法。...那下面我们来解释解释它的工作原理： ? 图像中的苹果和香蕉正好是我们要划分的两类，我们要做的事情是什么，要保证距离香蕉最近的苹果是最远的。...求分隔超平面，等价于求解相应的凸二次规划问题) 通过拉格朗日乘子法，求二次优化问题假设需要求极值的目标函数 (objective function) 为 f(x,y)，限制条件为 φ(x,y)=M #...这里我们解释一下SVM的松弛变量，可以参考：https://blog.csdn.net/wusecaiyun/article/details/49659183 之前讨论的情况都是建立在样例线性可分的假设上...C (在分割超平面内，是误差点 -> C表示它该受到的惩罚因子程度) 参考地址：https://www.zhihu.com/question/48351234/answer/110486455 &i是松弛变量

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SVM系列（三）：手推SVM

在Gradient Descent中，如果一个位置的loss太大那么它应该更加快速的下降以找到最优解，但是上述函数不符合要求，loss越大下降反而越慢，属于典型的“没有回报，不想努力。”...求解，我们需要用到KKT条件中的松弛互补条件，也就是第二个条件：对于超平面和，平面左上方的样本点都满足，而平面右下方的样本点都满足，所以，以上两个区域中的样本点都满足...因此，我们引入松弛变量，允许模型分割边界附近有一些样本点不满足约束，如下所示：同时我们也希望出错的样本越少越好，所以松弛变量也有限制。引入了松弛变量的margin我们称之为软间隔。...对于在间隔内部的样本点，我们过该样本点作一个超平面，上面定义了，实际上就是过样本点的超平面与之间的距离。...对第三种情况，进一步讨论：，则，样本在间隔边界与超平面之间。，则，样本在超平面上。，则，样本在超平面另一侧，说明分类错误。

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数据挖掘知识点串烧：SVM

回答：SVM是一种二分类模型，它的基本模型是在特征空间中寻找间隔最大化的分割超平面的线性分类器。如在下面的两个类别中(暂且称两个类为黄球和红球), ?...举个栗子，如在下方的图形中，A、B、C三点就属于支持向量，它们的alpha不为0，且支撑着分割超平面。而其它的样本点的alpha等于0，它们对分割超平面不会造成影响。 ?...回答：我们知道SVM的约束条件常常会有过拟合(过拟合表现为在训练集上模型的预测结果很准，但是在未知数据上预测效果却很差)的风险,而决定分割超平面的是支持向量，如果这些支持向量中存在异常值点，那么我们还傻兮兮地严格按照...因为引入了松弛变量之后，所有点到分割超平面的距离可以不需要严格地大于等于1了，而只需要>= 1-松弛变量值就可以了。...举个例子，如果松弛变量 = 0.1，那么数据点到分割超平面的距离只需要>= 0.9就可以。

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数据挖掘知识点串烧：SVM

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【运筹学】整数规划、分支定界法总结 ( 整数规划 | 分支定界法 | 整数规划问题 | 松弛问题 | 分支定界法 | 分支定界法概念 | 分支定界法步骤 ) ★★

5、第三次分支操作 6、整数规划最优解一、整数规划 ---- 1、整数规划概念线性规划使用单纯形法求解 , 线性规划中的运输规划使用表上作业法求解 ; 之前讨论的都是线性规划问题 ,...; 定界 : 分支很多的情况下 , 需要讨论的情况也随之增多 , 这里就需要定界 , 决定在什么时候不在进行分支 ; 满足 ① 得到最优解 , ② 根据现有条件可以排除最优解在该分支中 , 二者其一..., 就可以进行定界 ; 定界的作用是剪掉没有讨论意义的分支 , 只讨论有意义的分支 ; 2、分支定界法求解整数规划步骤分支定界法求解整数规划步骤 : ( 1 ) 求整数规划的松弛问题最优解...1 松弛问题 , 每次都要给问题找到一个界 , 开始先使用观察法找到一个界 , 找到一个整数解 f , 将该解代入目标函数 , 然后在不断地计算中, 修改该界 ; 假设分支 1 松弛问题...; 整数规划的整数解 , 肯定在上述两个分支之一中 , 中间将一部分可行域排除在外了 , 就是下图中两个红色箭头之间的可行域部分 , 被排除掉的部分肯定没有整数解 , 都是小数 ; 八、分支定界法求整数规划示例

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机器学习实战 - 读书笔记(06) – SVM支持向量机

见下图，在一个二维环境中，其中点R，S，G点和其它靠近中间黑线的点可以看作为支持向量，它们可以决定分类器，也就是黑线的具体参数。 ? 分类器：就是分类函数。...向量相乘: 内积: 解决的问题：线性分类在训练数据中，每个数据都有n个的属性和一个二类类别标志，我们可以认为这些数据在一个n维空间里。...是点对应的分类值（-1或者1）。求w和b. 则超平面函数是。为了求最优的f(x)，期望训练数据中的每个点到超平面的距离最大。...如上图：点w是一个异常点，导致无法找到一个合适的超平面，为了解决这个问题，我们引入松弛变量(slack variable) 。...参数: 训练数据/分类数据最大迭代数过程：初始化为0；在每次迭代中（小于等于最大迭代数）， - 找到第一个不满足KKT条件的训练数据，对应的， - 在其它不满足KKT条件的训练数据中

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ADC到底是什么？

在芯片世界中的ADC，其全称是Analog-to-Digital Converter, 模拟数字转换器！它是连接模拟世界与数字世界的桥梁。...在一个A/D中，任何数码所对应的实际模拟电压与其理想的电压之差并不是一个常数，把差值中的最大值定义为该A/D的绝对精度;而相对精度则定义为这个最大差值与满刻度模拟电压的百分数，或者用二进制分数来表示相对应的数字量...经典ADC芯片0809 adc0809是分辨率为8位的逐次逼近原理进行模/数转换的器件。其内部有一个8通道多路开关，它可以根据地址码锁存译码后的信号，只选通8路模拟输入信号中的一个进行A/D转换。...这一类型ADC的分辨率和采样速率是相互矛盾的，分辨率低时采样速率较高，要提高分辨率，采样速率就会受到限制。...现在的MCU中，好多都内部集成有ADC功能，小代最喜欢推荐的STC的芯片，目前比较新的STC8A系列芯片，内部已经集成12位分辨率的高速ADC模块，每秒80万次的转换速率，足矣满足8位MCU的日常使用。

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支持向量机

在样本空间中，划分超平面可能通过如下线性方程来描述： (1) 其中为法向量，决定了超平面的方向；b为位移项，决定了超平面与原点之间的距离。...显然，划分超平面可被法向量w和位移b确定，下面我们将其记为(w,b)。...显然，若已知适合映射的具体形式，则可写出核函数。但在现实任务中我们通常不知道 是什么形式，那么，适合的核函数是否一定存在呢？什么样的函数能做核函数？...显然，式(35)中每个样本都有一个对应的松弛变量，用以表征该样本不满足约束(28)的程度。但是，与式(6)相似，这仍是一个二次规划问题。...对率回归的优势主要在于其输出具有自然的概率意义，即在给出预测标记的同时也给出了概率，而支持向量机的输出不具有概率意义，欲得到概率输出需进行特殊处理；此外，对率回归能直接用于多分类任务，支持向量机为此需进行推广

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SVM原理详解

SVM入门（二）线性分类器Part 1 线性分类器(一定意义上,也可以叫做感知机) 是最简单也很有效的分类器形式.在一个线性分类器中,可以看到SVM形成的思路,并接触很多SVM的核心概念....例如我们有一个线性函数 g(x)=wx+b 【看到好多人都在问g(x)=0 和 g(x)的问题，我在这里帮楼主补充一下：g(x)实际是以w为法向量的一簇超平面，在二维空间表示为一簇直线（就是一簇平行线...，他们的法向量都是w），而g(x)=0只是这么多平行线中的一条。】...没错，这不就是解析几何中点xi到直线g(x)=0的距离公式嘛！（推广一下，是到超平面g(x)=0的距离， g(x)=0就是上节中提到的分类超平面）小Tips：||w||是什么符号？...以上是单个点到某个超平面的距离（就是间隔，后面不再区别这两个词）定义，同样可以定义一个点的集合（就是一组样本）到某个超平面的距离为此集合中离超平面最近的点的距离。

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【深度学习实验】网络优化与正则化（七）：超参数优化方法——网格搜索、随机搜索、贝叶斯优化、动态资源分配、神经架构搜索

在每次迭代中，SGD通过随机均匀采样一个数据样本的索引，并计算该样本的梯度来更新网络参数。具体而言，SGD的更新步骤如下：从训练数据中随机选择一个样本的索引。...随机搜索的主要优势在于它避免了网格搜索中的过度尝试不重要的超参数组合。对于那些对性能有较大影响的超参数，随机搜索有更大的可能性在更早的阶段找到优秀的配置，而不受网格搜索的较粗略采样的限制。 a....动态资源分配动态资源分配是一种在超参数优化中更加智能地分配有限资源的方法。...它的核心思想是通过早期停止和逐次减半等策略，在训练过程中识别哪些超参数组合可能不会带来较好的性能，从而及时中止这些配置的评估，将资源更多地留给其他有潜力的配置。...选择最佳超参数配置：根据逐次减半的过程，选择性能最好的超参数配置作为最终的结果。逐次减半方法通过在每一轮中聚焦于性能较好的超参数配置，更有可能找到全局最优或局部最优的配置。

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支持向量机（SVM）--(4)

对于这种偏离正常位置很远的数据点，我们称之为离群点Outlier ，在我们原来的支持向量机模型里，离群点的存在有可能造成很大的影响，因为超平面本身就是只有少数几个支持向量组成的，如果这些支持向量里又存在离群点的话...换言之，在有松弛的情况下，离群点也属于支持向量，同时，对于不同的支持向量，Lagrange 参数的值也不同，如此篇论文“Large Scale Machine Learning”中图所示（图下图），对于远离分类平面的点值为...当然，如果我们允许ξi 任意大的话，那任意的超平面都是符合条件的了。所以，我们在原来的目标函数后面加上一项，使得这些ξi 的总和也要最小，新的优化目标为： ?...其中C 是一个参数，用于控制目标函数中两项（“寻找间隔最大的超平面”和“保证数据点偏差量最小”）之间的权重。注意，其中是需要优化的变量（之一），而C 是一个事先确定好的常量。...和前面类似，采用Lagrange 乘数法进行求解，可以写出： ? 求偏导之后令偏导数为0 可以分别得到： ? 将w 回代L 并化简，即得到和原来一样的目标函数： ? 对偶问题可以写作： ?

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理解支持向量机

一个被证明为凸优化问题，意义是重大的，它意味着我们可以用通行的数值优化算法得到全局最优解。...需要强调的是，不是什么问题都可以用拉格朗日对偶转化为对偶问题求解，它需要满足强对偶条件，此时原问题与对偶问题有相同的最优解。强对偶成立的一种判据是Slater条件。...松弛变量与惩罚因子线性可分的支持向量机不具有太多的实用价值，因为在现实应用中样本一般都不是线性可分的，接下来对它进行扩展，得到能够处理线性不可分问题的支持向量机。...通过使用松弛变量和惩罚因子对违反不等式约束的样本进行惩罚，可以得到如下最优化问题 ? 其中 ? 是松弛变量，如果它不为0，表示样本违反了不等式约束条件。...算法的核心思想是每次在优化变量中挑出两个分量进行优化，让其他分量固定，这样能保证满足等式约束条件，这是一种分治法的思想。下面先给出这两个变量的优化问题（称为子问题）的求解方法。

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