这非常违反直觉：当它们都位于同一单元超立方体内时，两点是怎么距离这么远的？这一事实意味着高维数据集有很大风险分布的非常稀疏：大多数训练实例可能彼此远离。...简而言之，二维流形是一种二维形状，它可以在更高维空间中弯曲或扭曲。更一般地，一个d维流形是类似于d维超平面的n维空间（其中d < n）的一部分。...它们由连线组成，边界是白色的，大多是在图片中中间的，等等。如果你随机生成图像，只有一小部分看起来像手写数字。换句话说，如果您尝试创建数字图像，那么您的自由度远低于您生成任何随便一个图像时的自由度。...投影到d维空间 一旦确定了所有的主成分，你就可以通过将数据集投影到由前d个主成分构成的超平面上，从而将数据集的维数降至d维。选择这个超平面可以确保投影将保留尽可能多的方差。...为了将训练集投影到超平面上，可以简单地通过计算训练集矩阵X和Wd的点积，Wd定义为包含前d个主成分的矩阵（即由V^T的前d列组成的矩阵），如公式 8-2 所示。
我们 HyperCloud 方法主要的的想法是建立一个超网络，返回特定（目标）网络的权重，目标网络将均匀的单位球上的点映射到 3D 形状上。...在这种概念下，映射 I:R2→R3 是在给定平面上的任意坐标的一个点 (x,y) 返回三维单位空间上 [0,1]3 中的点，RGB 的值表示图像 (x,y) 上的颜色。...生成3D网格 与参考的方法相比，我们模型的主要优势是无需任何后处理即可生成3D点云和网格。在图5中，我们展示了点云以及同一模型生成的网格表示。由于在3D球上使用均匀分布，我们可以轻松地构造网格。...由于我们有两个不同的先验分布：超网络架构中的高斯分布（潜空间的自编码器），在目标网络中对单位球面上的均匀分布（参见图2）。首先，我们可以取两个 3D 对象并获得它们之间的平滑过渡，如图4。...一种可能的应用是在目标网络，而不是潜空间的经典的自编码器，如图6。通过采样两个在均匀球及其插值上，我们可以构造在对象表面上的点之间的插值。
中文翻译参考 特征维度太大，降维加速训练 能筛掉一些噪声和不必要的细节 更高维度的实例之间彼此距离可能越远，空间分布很大概率是稀疏的 1. 降维方法 1.1 投影 ?...上图，三维空间中的点，都近似在灰色平面附近，可以投影到其上 投影并不总是最佳的方法 1.2 流行学习 Manifold Learning 假设：在流形的较低维空间中表示，它们会变得更简单（并不总是成立...降维技术 2.1 PCA 《统计学习方法》主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）笔记 目前为止最流行的降维算法 首先它找到接近数据集分布的超平面 然后将所有的数据都投影到这个超平面上...m×n2)+O(n3)，所以当 d 远小于 n 时，它比之前的算法快得多 rnd_pca=PCA(n_components=154,svd_solver='randomized') X_reduced=...，但在训练过程中，它会学习类之间最有区别的轴，然后使用这些轴来定义用于投影数据的超平面 LDA 的好处是投影会尽可能地保持各个类之间距离，所以在运行另一种分类算法（如 SVM 分类器）之前，LDA 是很好的降维技术
魔鬼又加入了更多的球。随着球的增多，似乎有的球不能再被原来的木棍正确分开，如下图所示。 ? SVM实际上是在为天使找到木棒的最佳放置位置，使得两边的球都离分隔它们的木棒足够远。...如果用x表示数据点，用y表示类别（y可以取1或者0，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在n维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane），这个超平面的方程可以表示为（ wT中的...，当f(x) 等于0的时候，x便是位于超平面上的点，而f(x)大于0的点对应 y=1 的数据点，f(x)小于0的点对应y=-1的点，如下图所示： ?...假定对于一个点 x ，令其垂直投影到超平面上的对应点为 x0 ，w 是垂直于超平面的一个向量，γ\gammaγ为样本x到超平面的距离，如下图所示： ?...判别模型不关心数据是怎么生成的，它只关心信号之间的差别，然后用差别来简单对给定的一个信号进行分类。常见的判别模型有：KNN、SVM、LR，常见的生成模型有：朴素贝叶斯，隐马尔可夫模型。
我们的方法利用变分稀硫高斯过程作为一个生成模型，以一个紧凑的形式表示点云。这种轻量级表示通过低带宽通信传输到原始点云重建的基地。...关于 VSGP 的更多细节可以在图西人的作品中找到。 三、方法 该方法利用 VSGP 作为生成模型来编码3D点云。...同样，任何点云数据都可以使用以下公式从笛卡尔坐标 转换为球坐标 ，用公式： 所有位于圆形占用曲面外（半径 ）或曲面上（半径 ）的观测点均被忽略，视为自由空间。...生成一个由激光雷达在方位角和仰角轴上具有相同分辨率的查询点组成的网格 ，从 SGP 占用面重建原始点云——我们将重建的点云称为 SGP 点云。...如果由于任何原因需要对点云进行上采样，则可以使用具有更高分辨率的查询网格进行重建过程。利用 SGP 占用曲面预测每个点的占用率 的查询网格。将占用率转换回球半径 ，还原每个点的三维球坐标。
魔鬼又加入了更多的球。随着球的增多，似乎有的球不能再被原来的木棍正确分开，如下图所示。 ? SVM实际上是在为天使找到木棒的最佳放置位置，使得两边的球都离分隔它们的木棒足够远。...如果用x表示数据点，用y表示类别（y可以取1或者0，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在n维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane），这个超平面的方程可以表示为（ wT中的...这个超平面可以用分类函数 ? 表示，当f(x) 等于0的时候，x便是位于超平面上的点，而f(x)大于0的点对应 y=1 的数据点，f(x)小于0的点对应y=-1的点，如下图所示： ?...假定对于一个点 x ，令其垂直投影到超平面上的对应点为 x0 ，w 是垂直于超平面的一个向量，$\gamma$为样本x到超平面的距离，如下图所示： ?...判别模型不关心数据是怎么生成的，它只关心信号之间的差别，然后用差别来简单对给定的一个信号进行分类。常见的判别模型有：KNN、SVM、LR，常见的生成模型有：朴素贝叶斯，隐马尔可夫模型。
在二维平面中，感知机模型是去找到一条直线，尽可能地将两个不同类别的样本点分开。同理，在三维甚至更高维空间中，就是要去找到一个超平面。...定义这个超平面为wTx+b=0（在二维平面中，就相当于直线w_1*x+w_1*y+b=0），而在超平面上方的点，定义为y=1，在超平面下方的点，定义为y=-1。...其目标函数如下： (注：加入y_i是因为点若在超平面下，w*x_i+b为负数，需要乘上对应的y) 当w和b成比例增加了之后，比如都扩大N倍，会发现，分子和分母都会同时扩大N倍，这对目标函数并不影响。...二、理解线性支持向量机 2.1 线性支持向量机思想 正如上文所说，线性支持向量机的思想跟感知机的思想很相似。其思想也是对给定的训练样本，找到一个超平面去尽可能的分隔更多正反例。...不同的是其选择最优的超平面是基于正反例离这个超平面尽可能远。 线性支持向量机模型 从上图可以发现，其实只要我们能保证距离超平面最近的那些点离超平面尽可能远，就能保证所有的正反例离这个超平面尽可能的远。
hyperplane（超平面）: 在上面给出的例子中，由于数据点都在二维平面上，所以此时分隔超平面就只是一条直线。但是，如果所给的数据集是三维的，那么此时用来分隔数据的就是一个平面。...N-1 维呢？该对象被称为超平面，也就是分类的决策边界。分布在超平面一侧的所有数据都属于某个类别，而分布在另一侧的所有数据则属于另一个类别。...margin（间隔）: 我们希望能通过上述的方式来构建分类器，即如果数据点离决策边界越远，那么其最后的预测结果也就越可信。既然这样，我们希望找到离分隔超平面最近的点，确保它们离分隔面的距离尽可能远。...用一个函数来表示就是当直径 d 大于某个值 D ，就判定为豌豆，小于某个值就是米粒。 d>D, 豌豆 d<D,米粒 在数轴上就是在d左边就是米粒，右边就是绿豆，这是一维的情况。...以此类推，还有三维的，四维的，N维的 属性的分类，这样构造的也许就不是直线，而是平面，超平面。 一个三维的函数分类 ：x+y+z-2=0，这就是个分类的平面了。
全景图像最突出的特点是视场在水平方向360度的视角，尽可能地获取相机周围的图像信息。...本文介绍了一种利用全景图像和激光点云生成彩色点云的方法，根据三点（全向多相机系统的中心、球面上的像点、目标点）的共线原理，推导出全景图中点与激光点云的对应方程。...本文在全景图像与点云配准的基础上，利用全向多相机系统的中心、球面上的像素点与目标点成直线的共线原理，介绍了一种由激光点云和全景图像生成彩色点云的方法。该方法充分利用了360度全景图像和激光点云。...局部三维笛卡尔坐标系S1（X1,Y1,Z1）：系统原点位于当前全景相机球体的中心。我们可以通过将系统中的大地坐标系S的原点移到全景相机球的中心来得到新的坐标系S1。...用像素的RGB值指定对象点，如公式8所示； 其中，RGB（Xs Ys Zs）表示点（Xs Ys Zs）的RGB值，N表示图像的序列号，RGB（m,n,N）表示像素(m,n)的RGB值 彩色点云的生成
2.2 SVM的基本思想 SVM可以分为两个部分了解。 一什么是支持向量，简单来说，就是支持或支撑平面上把两类类别划分开来的超平面的向量点。...我们利用SVM方法将该条线放在最佳的位置，好让在这条线的两边有尽可能大的空间。如图2.4、图2.5. 图2.4 图2.5 即使是在原有的基础上加上一些球，该条线也是最佳的位置。...图2.12 除此之外，还有一种情况没有这么糟糕到不可分，但是会严重影响我们模型的泛化预测效果，比如图2.13，本来如果我们不考虑异常点，SVM的超平面应该是下图中的红色线所示，但是由于有一个蓝色的异常点...对于图2.12的情况，可以通过以下两个步骤解决： 利用一个非线性的映射把原数据集中的向量点转化到一个更高维度的空间中 在这个高纬度的空间中找一个线性的超平面来进行可区分处理 图2.14 如图2.14...图3.1 如图3.1，在二维空间中，有三个点：(1, 1) (2, 0) (2, 3) 。前两个点属于一类，第三个点属于另一类。
通过对金融数据进行预处理，提取特征，然后使用支持向量机进行训练和预测，可以帮助投资者和金融机构做出更好的决策。 用一根棍分开不同颜色小球，在放更多球之后，仍然适用。...我们可以在中间斜放一根直线将其分开，随后又在桌上放了更多的球，有一个球站错了类别。 这样放置我们以后在加其他小球这依然是一个良好的分割线，因为我们有了容错的间隔(margin)。 ...SVM学习的目的在于找到具有最大边缘的超平面。 SVM 是 N 维空间的分类超平面，它将空间切分成两部分。对于二维空间，它是一条线，对于三维空间，它是一个平面，对于更高维空间，它是超平面。 ...为了得到泛化性更好的分类器，分类平面应该应该不偏向于任何一类，并且距离两个样本都尽可能远，这种以最大化分类间隔为目标的线性分类器就是支持向量机。 ...鲁棒性较好，支持向量机只关心距离超平面最近的支持向量，对其他数据不敏感，因此对噪声数据具有较强的抗干扰能力。 缺点： 对于大规模数据集，支持向量机的训练时间较长，因为需要求解一个二次规划问题。
这更难区分：如果你在一个单位平方中随机抽取两个点，这两个点之间的距离平均约为0.52。如果在单位三维立方体中选取两个随机点，则平均距离将大致为0.66。但是在一个100万维的超立方体中随机抽取两点呢？...这非常违反直觉：当两个点位于相同的单位超立方体内时，两点如何分离？这个事实意味着高维数据集有可能非常稀疏：大多数训练实例可能彼此远离。...2.2 流形学习 瑞士卷是二维流形的一个例子。 简而言之，二维流形是一种二维形状，可以在更高维空间中弯曲和扭曲。 更一般地，d维流形是局部类似于d维超平面的n维空间（其中d <n）的一部分。...3.3 投影到d维度 一旦确定了所有主要组成部分，就可以将数据集的维数降至d维，方法是将其投影到由第一个主要组件定义的超平面上。 选择这个超平面确保投影将保留尽可能多的方差。...为了将训练集投影到超平面上，可以简单地通过矩阵Wd计算训练集矩阵X的点积，该矩阵定义为包含前d个主分量的矩阵（即，由VT的前d列组成的矩阵 ），如下公式所示。 ?
旋转向量：用一个旋转轴和一个旋转角来表示旋转，但是因为周期性，任何2nπ的旋转等价于没有旋转，具有奇异性[2,3]。...单位圆在一维空间的投影 为了更好地理解四维单位超球面在三维空间的投影， 我们先来看一看二维单位圆是怎么投影到一维空间的。 ? 在复数平面内，对于每一个在单位圆上的点，画一条线将 -1 点与这个点相连。...对于每一个单位球面上的点，我们都把它与 -1 点相连，这条线与 ij 平面的交点即是二维的投影点。 ? ?...当球面在三维空间中旋转时，延 i 轴或 j 轴的旋转都会使垂直方向上投影的线变成圆形，投影的圆形变成线。延实数轴的旋转投影在二维平面上仍然是一个二维的旋转。 ?...正如同三维中的圆投影到二维平面中是一条线一样，四维中的球（不是超球）投影在三维是一个平面，事实上，三维投影中的平面都是四维超球中过 -1 的球面在三维的投影。 ?
理论UMAP的核心与t-SNE非常相似，两者都使用图形布局（graph layout）算法在低维空间中排列数据。简单来说，UMAP首先构建数据的高维图表示，然后优化低维图以使其在结构上尽可能相似。...这个半径的选择很关键：太小会导致小而孤立的集群，太大会将所有东西全连接在一起。UMAP根据到每个点的第 n 个最近邻点的距离在本地选择半径来克服这个困难。...通过更改 n_neighbors和min_dist参数，您可以探索它们对生成投影的影响。...图片虽然UMAP的大多数应用都涉及高维数据的投影，但 3D 的投影可以作为一个有用的类比来理解UMAP如何根据其参数优先考虑全局结构和局部结构。...随着n_neighbors的增加，UMAP在构建高维数据的图表示时连接的相邻点越来越多，从而导致更准确地反映数据的全局结构的投影。在非常低的值下，任何全局结构的信息都几乎完全丢失。
理论 UMAP的核心与t-SNE非常相似，两者都使用图形布局（graph layout）算法在低维空间中排列数据。简单来说，UMAP首先构建数据的高维图表示，然后优化低维图以使其在结构上尽可能相似。...这个半径的选择很关键：太小会导致小而孤立的集群，太大会将所有东西全连接在一起。UMAP根据到每个点的第 n 个最近邻点的距离在本地选择半径来克服这个困难。...通过更改 n_neighbors和min_dist参数，您可以探索它们对生成投影的影响。...dimensions 虽然UMAP的大多数应用都涉及高维数据的投影，但 3D 的投影可以作为一个有用的类比来理解UMAP如何根据其参数优先考虑全局结构和局部结构。...随着n_neighbors的增加，UMAP在构建高维数据的图表示时连接的相邻点越来越多，从而导致更准确地反映数据的全局结构的投影。在非常低的值下，任何全局结构的信息都几乎完全丢失。
在球坐标系(SCS)中考虑这些信息是很自然的。作者首先研究了球坐标系中三维分子的结构鉴定。对于球坐标系中的任何点，其位置由三元组(d,θ,ϕ)指定，其中d,θ和ϕ分别表示径向距离、极角和方位角。...球形消息传递通过将这t个原子投影到垂直于ek并与sk相交的平面上来计算扭转角。然后在这个平面上，扭转角会在预定的方向上形成，如逆时针方向。...这种表示的一种形式可以表示为，其中jl( )是l次的球贝塞尔函数，是l次m阶的球谐函数，c表示临界值，βln是l次贝塞尔函数的第n个根。l。...L和N分别表示球谐函数和球贝塞尔函数的最高阶，它们是实验设置中的超参数。此外，还可以从Ψ(d,θ,ϕ)中推导出两个简化的表示Ψ(d)和Ψ(d,θ)。...通过在球坐标中合并位置信息，SphereNet还生成对输入分子平移和旋转不变的预测。网络由一个输入模块、几个交互模块和一个输出模块组成。假设图中边k的消息ek是要更新的消息。
对于距离的度量，我们有很多的距离度量方式，但是最常用的是欧式距离，即对于两个n维向量x和y，两者的欧式距离定义为：$$D(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 +...于此我们看见，KD树把二维平面划分成一个一个矩形，但矩形区域的角却是个难以处理的问题。 为了优化超矩形体导致的搜索效率的问题，牛人们引入了球树，这种结构可以优化上面的这种问题。 ...2) 从球中选择一个离球的中心最远的点，然后选择第二个点离第一个点最远，将球中所有的点分配到离这两个聚类中心最近的一个上，然后计算每个聚类的中心，以及聚类能够包含它所有数据点所需的最小半径。...从上面的描述可以看出，KD树在搜索路径优化时使用的是两点之间的距离来判断，而球树使用的是两边之和大于第三边来判断，相对来说球树的判断更加复杂，但是却避免了更多的搜索，这是一个权衡。 5....对于第 L类的$C_l$个样本。它会对这$C_l$个样本的n维特征中每一维特征求平均值，最终该类别所有维度的n个平均值形成所谓的质心点。对于样本中的所有出现的类别，每个类别会最终得到一个质心点。
此处，“k”是可以在模型超参数中指定的邻居数量。 找到邻居后，如果点是彼此的邻居，则构建邻域图，其中点相互连接。不是邻居的数据点保持未连接状态。 计算每对数据点（节点）之间的最短路径。...给定每对点之间的距离，MDS 将每个对象放入 N 维空间（N 被指定为超参数），以便尽可能保留点之间的距离。 对于我们的示例，让我们创建一个称为瑞士卷的 3D 对象。...该对象由 2,000 个单独的数据点组成。 接下来，我们要使用 Isomap 将这个 3 维瑞士卷映射到 2 维。要跟踪此转换过程中发生的情况，让我们选择两个点：A 和 B。...我们可以看到这两个点在 3D 空间内彼此相对靠近。如果我们使用诸如 PCA 之类的线性降维方法，那么这两个点之间的欧几里得距离在较低维度上会保持一些相似。...我们可以将这种转换描述为展开瑞士卷并将其平放在 2D 表面上： 我们可以看到，二维空间中点 A 和 B 之间的距离基于通过邻域连接计算的测地线距离。
样本空间中的任意一点到平面上的距离可以由下面的式子计算（中学的计算公式）d=\frac{|\omega x+b|}{\|\omega\|} 如果能找到合适的 \omega 和 b 使得这个超平面能够有效的区分两类数据...如下面这个例子，原来在二维平面中的时候，我们没有办法用线性平面分开两类点，但是当升维到三维的时候，两类点就线性可分了！ 支持向量机目前被广泛应用在文本分类，手写字识别这类应用中。...,x^N\right\} ，用它来对数据集进行划分，那么会产生 N 个分支节点，其中分支 n 包含的数据集我们令为 D^n 。...如果一个怪兽靠近吃豆人，那么如果附近有能量球的话，就去吃能量球（可以增加一条命），否则去尽量避开怪兽。如果怪兽不在吃豆人的视线内的话，就去看豆豆的距离，如果豆豆距离很近，或者不算远，那就去吃豆豆。...举个例子，本来在二维平面无法用一个超平面划开的数据，当我们多提取一维特征值，使其空间成为一个三维空间的时候，就可以找到一个超平面去划分了。
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