如上图所示，仅使用定理语句作为证明生成模型的输入，然后从模型中抽取证明尝试，并使用Isabelle执行证明检查。...如果Isabelle接受了证明尝试而没有错误，就说明证明成功；否则从证明生成模型中抽取另一个证明尝试。...Baldur在6336个Isabelle/HOL定理及其证明的基准上进行评估，从经验上证明了完整证明生成、修复和添加上下文的有效性。...Baldur可以与定理证明助手Isabelle合作，Isabelle对证明结果进行检查。当给定一个定理陈述时，Baldur几乎在41%的时间内能够生成一个完整的证明。...研究人员从数据集中提取每个定理的证明步骤，并将它们连接起来以重建原始证明。 证明修复 还是以上面的fun_sum_commute为例， Baldur首次生成的证明尝试，在证明检查器中失败。
著名数学家陶哲轩在个人博客中写道。 素数定理是数学中的一个重要定理，描述了素数在自然数中的分布规律，该定理在数论中是一个比较重要的研究方向。...举例来说，陶哲轩在论文《A MACLAURIN TYPE INEOUALITY》中给出的证明只有不到一页，但形式化证明使用了 200 行 Lean 语言。...Lean 中证明素数定理。...他们表示该问题仍然是 Wiedijk 列出的需要形式化的 100 个定理中突出的问题之一。值得注意的是，PNT 之前已被形式化过，由 Avigad 等人在 Isabelle 中完成。...现在，陶哲轩他们又将该工具用于素数定理的形式化证明，可见 Lean 已成为数学研究中的得力助手。
在本科的时候，学习电路系统分析时印象很深的一堂内容是讲解叠加定理：对于一个线性系统，一个含有多个独立源的双边线性电路的任何支路的响应，等于每个独立源单独作用时的响应的代数和。...恰巧最近分析应用中的电路时序问题，在分析各种类型的时序时发现这条定理用在保持时间与建立时间上也非常nice！
来源：ScienceAI本文约2000字，建议阅读9分钟一个以 AlphaGo 等人工智能系统为原型的新计算机程序解决了组合学和图论中的几个未解决问题。...Wagner 开始尝试使用类似的策略来提出反例——与数学假设相矛盾（或「反」）的例子，从而证明它是错误的。他将寻找反例重新想象成一场猜谜游戏，然后在数十个开放的数学问题上尝试了他的程序。...强化学习已被证明是在复杂策略游戏中训练模型的有效方法。Wagner 将其应用于数学研究的愿景非常简单。 要了解如何使用强化学习来发现反例，考虑一下这个场景。...这个猜想是不正确的——你可以通过产生一个 x 的值（一个反例）来证明它是错误的。（0 到 2 之间的任何数字都是反例，2x – x^2 的值在 x = 1 处达到峰值。）...这项新工作是一个令人兴奋的概念证明，尽管到目前为止它对数学的实际贡献并不大。 「 [模型解决的问题] 都不是超级重要的猜想。」Wagner 说。
在面试中，候选人经常会被问到，你在项目里用到过哪些设计模式？对此，你可以按本文给出的步骤，系统地通过工厂模式展示自己在设计思想方面的能力。...在上述的案例中，如果遇到新需求，需要再创建C语言的书，首先可以在Book父类下再创建一个CBook子类，随后可以在BookFactory接口下再创建一个新的工厂来创建，代码如下。...比如要在同一类产品（比如书）里生产多个子产品（比如文稿和视频），那么就可以通过抽象工厂模式，而如果需要生产的产品里只有主部件（比如文稿），而不需要附属产品（比如视频），那么就可以用一般工厂模式。...通过工厂模式，我们一般都是创建一个（或一类）产品，而不关心产品的组成部分，建造者模式也是用来创建一个产品，但它不仅创建产品，更专注这个产品的组件和组成过程。...我们经常通过建造者模式来创建项目里的业务对象，所以候选人在他们的项目里一般都会用到这种模式，在面试中也经常听到候选人用这种模式来举例，这里列一种比较好的回答。
LLEMMA模型经过进一步的预训练，以处理与这些证明相关的任务。在给定问题、非正式证明和正式声明后，LLEMMA可以生成Isabelle代码的正式证明。...此外，模型还可以根据证明助手给出的状态，生成证明的下一个步骤。 LLEMMA在Proof-Pile-2的预训练包括从Lean和Isabelle提取的正式数学数据，总计超过15亿个标记。...作者对LLEMMA在两个任务上的少样本性能进行了评估： 非正式到正式的证明：根据非正式的说明，为数学问题生成正式的证明。 正式到正式的证明：在已知的证明步骤中，为下一个步骤生成代码。...结果显示，LLEMMA在Proof-Pile-2上的继续预训练提高了两个正式定理证明任务的少样本性能。 数据混合 在训练语言模型时，经常会根据混合权重提高训练数据中高质量子集的样本频率。...研究揭示，LLEMMA在开放权重模型的数学问题解决标准测试上的表现尤为出众，它不仅能通过Python代码娴熟地调用外部工具，还在定理证明中展示了少样本策略预测的高效实用性。
实验结果显示，自动证明器在 miniF2F 上解决的问题比例从 20.9% 提高到了 38.9%。 自动证明数学定理是人工智能的一个初衷，也是一直以来的难题。...然而，它们经常产生错误的证明，而自动检测这些证明中的错误推理是很有挑战性的。...在最近的一项工作中，剑桥博士江乔楚、谷歌的吴宇怀 (Yuhuai Tony Wu)等研究者设计了一种叫做 DSP（Draft, Sketch, and Prove ）的新方法，将非形式化的数学证明转化为形式化的证明...在第一种情况下，研究者假设有一个「真实的」非形式化证明（即由人写的证明），这是现有数学理论形式化实践中的典型情况。...DSP 几乎将证明器的成功率提高了一倍，并在使用 Isabelle 的 miniF2F 上产生了 SOTA 性能。此外，更大的 Minerva 模型在指导自动形式化证明器方面几乎和人类一样有帮助。
计算机被用来验证数学证明已经有一段时间了，但它们只有在使用专门设计的证明语言准备问题时才能做到这一点，而无法处理数学符号和数学家使用的书面文本的混合体。...在最近的一项研究中，谷歌的 Yuhuai Wu 与其合作者使用 OpenAI Codex 的神经网络进行自动形式化工作。...它能够将四分之一的问题转换为与形式证明求解程序 Isabelle 兼容的格式。 Wu 表示，许多不成功的转换是系统不理解某些数学概念的结果。...这项工作探讨了大语言模型的自动形式化的前景，研究者发现大型语言模型已经在一个交互式定理证明器中具备相当好的形式化自然语言数学的能力。 下图 1 是一个完美的自动形式化示例。...He 说，因为用户可以在 LaTeX 中定义自己的函数和符号，这些函数和符号可能只在一篇数学论文中使用，这对于仅在纯文本上训练过的神经网络来说可能很棘手。
定理证明TP 即问题是通过一连串的逻辑论证来证明一个数学主张的真理。最近，人们对于交互式定理证明器 （ITP）中使用语言模型来进行定理证明的关注越来愈多。...为了在ITP中证明一个定理，首先需用编程语言来陈述，然后通过生成 “证明步骤 “来简化，直到它被简化为已知事实。其结果是一个步骤序列，构成一个验证的证明。...其数据源包括与ITP对接的交互式学习环境，从ITP库证明中得到的数据集，比如CoqGym、Isabelle、Lean、Lean-Gym、miniF2F等。...数学问答MathQA 数字推理是人类智力中的一种核心能力，在许多NLP任务中发挥着重要作用。除了定理证明、数学应用题之外，还有一系列围绕数学推理的QA基准。...在特定任务中，有使用擅长空间推理的GNN，用于几何问题解析；WaveNet被应用于定理证明，由于其能够解决纵向时间序列数据；还有Transformer生成数学方程等。
这与霍金在1971年提出的“宇宙中黑洞的总面积总是不会缩小”，完全重合。 而且，这也是科学家们首次从实际观测中论证这一原理，研究成果已在《物理评论快报》上发表。 ?...宇宙中黑洞总面积不会减小 所以，被证实的霍金黑洞面积定理，到底是在讲什么呢？...而这一定理在黑洞研究史上非常重要，在此之后物理学家们开启了黑洞热力学的研究，此后提出了非常多黑洞领域重要的概念，比如黑洞熵、霍金辐射等等。...但此后很多年，物理学家们只是在理论上多次论证了黑洞面积定理是合理的，但始终没能在现实中得到验证。...是不是可以通过探测到的数据，证实霍金黑洞面积定理了呢？ 甚至连霍金本人，都曾与LIGO取得联系，询问他们的探测结果是否能用于证明。 但受限于当时的技术，信号中的许多信息还不能被提取出来。
关于RSA的基础过程介绍 下文中的 k 代表自然数常数，不同句子，公式中不一定代表同一个数 之前接触RSA，没有过多的思考证明过程，今天有感而发，推到了一遍 假设公钥 (e, N) , 私钥 (d, N...R 和 明文 M 模N 同余，也就是 R = k * N + M (k 为自然数) 很简单的一种情况是 明文 M 和 N 是互质的，因为根据欧拉定理 ： 如果 下图的 a 和 n 互质，则有 ?...那么 g 就应该是 这四个因子中的一个，前提已经假设 g 非1，那么 g 可能是剩下三个中的一个。 ...再用一次欧拉定理，下面假设 M = k * p (k * p) ^ (g(q)) ?...1 (mod q) （公式2） 推到： 由公式1得到 A = k * q + 1 , 将 A 代入公式2， ( k * q + 1 ) ^ h 在展开后，只有最后一项是1，不带 k * q，其他都带
据卡内基梅隆大学SEI博客中的AI专家在2023年10月的一篇文章称，开发人员越来越认为生成式人工智能是一个有用的工具。...更加困难的过程是机器检查：创建一个数学证明来展示代码是否符合预期，然后使用定理提供者确保证明的正确性。...然后，Baldur生成了整个证明，使用Isabelle，一个定理证明器，对整个世界进行检查。...进入 Thor 布伦及其团队（当时还包括在Google工作的Markus Rabe和伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的助理教授Talia Ringer）研究了Thor，一个用于集成语言模型和自动定理证明器的框架...独立运行时，Thor能够在57%的情况下生成证明，他说。 将其与 Baldur 结合——在北欧神话中是托尔的兄弟——他们成功地在65.7%的时间内创建了证明。这两种方法相互补充。
开放式对话或指令跟踪等应用要求在整个自然文本分布中实现均衡的性能，因此更倾向于通用模型。...证明了 LLEMMA 能够使用计算工具来解决数学问题，即 Python 解释器和形式定理证明器。 4. 与之前的数学语言模型（如 Minerva）不同，LLEMMA 模型是开放式的。...数值模拟、计算机代数系统和形式定理证明器等计算工具对数学家的重要性与日俱增。...形式数学 Proof-Pile-2 的 AlgebraicStack 数据集拥有 15 亿 token 的形式数学数据，包括提取自 Lean 和 Isabelle 的形式化证明。...结果如下表 4 所示，LLEMMA 在 Proof-Pile-2 上的持续预训练在两个形式定理证明任务上提升了少样本性能。
自变量趋于有限值时函数的极限 极限的描述： 极限的定义： 推论： 极限的实际含义： 左极限 右极限 单侧极限 极限存在的定理 课后例题 例题4、例题5 例题4： 自变量趋于无穷大时函数的极限 描述性定义...: 极限的定义： 可以推导出： 定理： 函数极限的性质 定理一 定理二 注意函数的有界性是局部的 定理二的证明： 定理三 定理三的证明： 定理三推导一： 定理三推导二： 定理四 定理四的证明：...例题： 复合函数的极限运算法则 定理： 注意点： x区域无穷大时的极限结论： 例题： 极限的两个重要准则 夹逼准则 夹逼准则1: 例题： 夹逼准则2: 夹逼准则的重要证明 课后题例1、例3...单调数列的准则 重要极限 课后例题 重要的等价无穷小 等价无穷小的函数形式 函数的间断点 定义： 第一类间断点 第一类间断点的可去间断点 第二类间断点 例题1： 例题2： 连续函数的运算 连续函数的四则运算法则...重要推论 最大值和最小值 零点定理 介值定理
最近Meta在NeurIPS 2022上发布了一个神经定理证明器（neural theorem prover），成功解决了10道国际数学奥林匹克（IMO）的问题，比之前最强的AI系统高5倍。...专家们长期以来一直认为，想要建立一个可以在IMO中与人类抗衡的AI系统是一个巨大的挑战。 总体来说，定理证明比下围棋、国际象棋这样的棋盘游戏更具挑战性。...并且在国际象棋或围棋比赛中，即便某一步没有找到最优解，最终仍然有可能赢得对局；而对于定理证明来说，死胡同就是死胡同，一步做错，满盘皆输，之前的所有计算工作全是白费力气。...同时数学题中也可能存在特殊的解题方法，对于人类来说，可能属于最简单的一类问题，但从AI的角度来看，这种方法因为其特殊性，在标准训练数据中很少出现，所以AI很难学会。...这样就可以使用在线训练程序，从而大大提高最初预训练的模型在某一类问题上的表现，即可以解决类似于IMO竞赛中的问题。
从费马小定理到欧拉定理 在讲欧拉定理前，我们先来看其更特殊而简单的形式：费马小定理。...显然，以上序列中任意两个的差的绝对值也仍然是序列中的元素，因此也不可能被p整除，故序列{r(p - 1)}的任意两个值不相等，该序列为1:(p - 1)上的双射，即排列。...如果你还记得我们在《序列周期性与魔术（四）——周期序列数学性质深入探秘》系列文章里所提到的Residues Module A Prime定理的相关内容，会发现它就是费马小定理证明所用的引理，只不过那里是直接在数牌的时候用上了...我们先来看看a ^ p是什么，在排列组合中，乘方一般计算的是给定集合大小为底数a，放回采样地取指数p那么长的序列的方法总数。...首先，我们有一类运算，叫做带模运算，即在普通的整数加法，乘法基础上，再取某个正整数的mod值，再这样一个运算下来构建一个数学结构。此时它们的逆运算，减法和除法，也都是在新的运算意义下来定义的。
在中国，同样是由数 学家翻开了人工智能研究的第一页。在1979 年，无论是机器证明中的“吴方法”走向世界，还是堪比达特茅斯会议的计算机科学暑期讨论会的举办，其背后都有着数学家的身影。...言归正传，王浩此前对《数学原理》中命题逻辑定理的证明和吴文俊想要实现的几何定理机器证明之间还存在着鸿沟，前者符号逻辑的成分更多，后者则有推理的成分在内。...吴文俊在不借助现代数学中的三角函数、微积分、因式分解法、高次方程解法等“现代工具”的情况下，按古人当时的知识和惯用的思维推理复原了《周髀算经》《数书九章》中的“日高图说”“大衍求一术”“增乘开方术”的证明方法...而最严谨的表达则来自数学家：“在苏格兰至少存在着一块天地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。”还有一个段子，说数学问题分两类：一类是“这也要证？”，一类是“这也能证？”。...在早期阶段，研究者们往往试图找到一个超级算法去解决所有问题，而吴文俊则将中国古代数学思想应用于几何定理的机器证明领域，做到了“一类一证”。
中心极限定理（Central Limit Theorem，CTL），是指概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。。...概述 定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。...在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。...——百度百科 中心极限定理（CLT）指出，如果样本量足够大，则变量均值的采样分布将近似于正态分布，而与该变量在总体中的分布无关。...：Y_n的概率分布函数F_n(x)对于任意x满足： image.png 证明 通过观察某个分布的采样均值可以发现近似服从正态分布，我们的目标就是证明这个变量与正态分布的特征函数相同 引入一些特征函数的结论
然而，陶哲轩解释说，这种技术实际上是为了减轻数学家在证明过程中的繁琐工作，让他们可以专注于更具创造性和复杂性的任务 尽管陶哲轩对 AI 在数学中的应用持乐观态度，他也承认当前技术尚未完全准备好。...虽然目前的技术尚未实现完全形式化验证，但这一示例展示了 AI 在协助数学证明方面的潜力。 陶哲轩昨日在博客中，对自己在采访中的观点进行了进一步解释。...他谈到自己在《科学美国人》中谈到的观点：我认为在未来，我们将不再需要手动输入证明，而是将它们讲解给某种 GPT。这个 GPT 会在你讲解的过程中尝试将其形式化为 Lean 语言。...例如，应该在开始证明过程之前先形式化结果的陈述，而不是在之后。我们还可以半自动或自动地对陈述进行各种「合理性检查 」或 「单元测试」，例如测试定理的琐碎或非常简单的情况，以及已知的更强版本定理的反例。...(例如，在我的例子中，我加入了对该定理反例的验证作为一种合理性检查，尽管实际上目标并不需要它）。 可见 AI 在数学领域的潜力巨大。在 AI 技术的辅助下，数学家的角色也将变得更加多样化。
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