求解常微分方程常用matlab中的ode函数，该函数采用数值方法用于求解难以获得精确解的初值问题。ODE是一个包含一个独立变量（例如时间）的方程以及关于该自变量的一个或多个导数。...在时域中，ODE是初始值问题，因此所有条件在初始时间t=0指定。 Matlab有几个不同的函数（内置）用于ODEs的解决方案。...ICs,options)计算步骤： 1.在一个文件中定义tspan、IC和选项（例如call_dstate.m） ，用来设置ode45 2.在另一个文件中定义常量和求导数（例如dstate.m）或作为调用内的函数...方法1：在列向量中预先分配空间，并填充导数函数 function dydt = osc(t,y) dydt = zeros(2,1) dydt(1) = y(2); dydt(2) = 1000*...到3000的时间间隔内求解。
将超平面方程中的多个变量化为单个变量，例如将x1, x2, x3化为x1，将y1, y2, y3化为y1。 将超平面方程表示为一个关于x1的单变量函数f(x1)，使得f(x1) = 0。...对于每个变量xi，分别求解f(xi) = 0，得到一组单变量方程。 对于每个单变量方程，求解其根xi，如果xi同时满足C和D的定义域，则将xi代入超平面方程中得到超平面方程中的常数项a。...将超平面方程中的常数项a表示为多个变量的函数g(x1, x2, …, xn)，其中每个变量对应一个单变量方程。...这种方法在凸优化理论中有重要的应用，因为它可以将多变量问题转化为多个单变量问题，从而简化问题的求解。...在推导过程的步骤4.中，谈到的牛顿迭代公式是如何代入得切线曲率?
这两个问题凸优化都可以帮我们回答。 在开始之前，我们先来回顾一下支持向量机（SVM）的推导过程。 SVM的任务就是寻找这样一个超平面H把样本无误地分割成两部分，并且使H1和H2的距离最大。...而拉格朗日方程的构造规则是：用约束方程乘以非负的拉格朗日系数，然后再从目标函数中减去。于是得到拉格朗日方程如下： 为什么可以这样做？看完本文你就能理解了。...其中supporting定理通过函数上镜图的概念和凸函数联系起来了，这构成了凸优化中对偶性duality的基石。在凸优化中的对偶，和信号处理里的傅里叶变换一样重要。...拉格朗日对偶：拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier）在中学就学过了，用来求解有约束情况下的极值问题。比如一个人从家M点到公司C点，中间要去小河边打一桶水，在小河的哪个位置打水最近？...河流的曲线方程g(x,y)就是这个问题的约束，要求的就是在这个约束条件下，到M和C点的距离和最近。直接套公式很容易求解，但相信很多人不明白为什么拉格朗日乘数法为什么起作用。
二维空间的直线方程已经推导完成，将其推广到n为空间，就变成了超平面方程。...(一个超平面，在二维空间的例子就是一个直线)但是它的公式没变，依然是： 不同之处在于： 我们已经顺利推导出了"决策面"方程，它就是我们的超平面方程，之后，我们统称其为超平面方程...这是为了在进行最优化的过程中对目标函数求导时比较方便，但这绝对不影响最优化问题最后的求解。...在凸几何中，凸集(convex set)是在)凸组合下闭合的放射空间的子集。看一幅图可能更容易理解： 左右量图都是一个集合。...如果集合中任意2个元素连线上的点也在集合中，那么这个集合就是凸集。显然，上图中的左图是一个凸集，上图中的右图是一个非凸集。
为准确快速评定线轮廓度误差,提出了一种基于分割逼近法与MATLAB相结合的用于计算平面线轮廓度误差的新方法,该方法符合最小条件原理;它根据平面线轮廓度误差的定义…… 细想一下, 只做误差分析和数据处理好像内容过于...插值– –––– Lagrange插值 Hermite插值 Runge…… 自然科学学科研究NaturalScience Disciplineresearch Matlab在DFT频谱误差分析中的应用吴炎波邓冠群...武汉430079)摘要研究数字信号最有效的方法…… ③误差方程的求解 ④精度计算实习原理 2、掌握间接平差原理和计算①间接平差方程的建立 ②误差方程的建立 ③误差方程的求解 ④精度计算 3、掌握 MatLab...… 分析了常用的近似评定 法 (三点法、 对角线法、 最小二乘法等) 存在的局限性, 根据最小区域法的定义, 给出了基准平面方程及平面度误差评定目标 函数数学模型…… 基于 MATLAB 探讨舍入误差对数值计算的影响...求传感器非线性误差、灵敏度(matlab)选用matlab 对实验数据进行处理: 在实验过程中通过差值的计算可以…… 给图形加上误差范围 stem 柄图(又称针状图) polar 极坐标图 hist 频数累计柱状图
分类超平面即图中的直线的方程为 ? 将正样本的点代入上面的方程，计算出的值为正。将负样本的点代入，计算出来的结果为负。但如果我们将方程两边同乘以-1，得到如下的方程 ?...显然上面的超平面方程有冗余，将方程两边都乘以不等于0的常数，还是同一个超平面，利用这个特点可以简化求解的问题。可以对w和b加上如下约束 ? 消掉此冗余，同时简化点到超平面距离计算公式。...将w的值代入超平面方程，得到分类决策函数为： ? 这和线性可分时是一样的。这个预测函数是线性函数，因此这种SVM还是一个线性分类器。同样可以证明，此时的对偶问题是凸优化问题。...在极小值点处必须满足该条件，由于对偶问题是凸优化问题，KKT条件是取得极值的充分条件。在后面的求解过程中将使用这一结论。...算法的核心思想是每次在优化变量中挑出两个分量进行优化，让其他分量固定，这样能保证满足等式约束条件，这是一种分治法的思想。 下面先给出这两个变量的优化问题（称为子问题）的求解方法。
那么在优化中，我们也会关注它们，通过介绍他们来了解优化在运筹中的应用，也能够让大家更好的了解为什么“运筹优化”一般都放在一起来说。 那么我们开始吧。...而对应到 ，那就会变成我们解析几何中学过的平面方程，再往上因为人脑无法再直观想象出来这种结构了，就给了它一个超平面的名字，但是我们如果把它投影到一个低维的空间上（比方说三维空间），其实依然是满足平面的结构的...定义超平面的原因在于，我们的最终的约束 ，是一个线性方程组，也就是说可以视为是一系列超平面的交集。而这样的几何图形也是有自己的名字的。...这个可以在Numerical Optimization中的Thm 13.4中找到。 内点法 刚刚我们介绍完了单纯形法，但是单纯形法并非是一个速度很让人满意的方法。...所以最终算法需要求解的问题，就是 当然了，对这个方程组，我们不会真的构造这样的一个大矩阵，而是会考虑把它化为下面这样的等价形式来求解。 其中 , , 。
在微积分中我们学习过，带等式约束的最优化问题可以用拉格朗日乘数法求解，对于既有等式约束又有不等式约束的问题，也有类似的条件定义函数的最优解-这就是KKT条件。对于如下优化问题： ?...上面的分类超平面方程有冗余，如果将方程两边都乘以不等于0的常数，还是同一个超平面。利用这个特点可以简化问题的表述。对w和b加上如下约束： ? 即离超平面最近的正、负样本代入超平面方程之后绝对值为1。...转化成对偶问题之后，不等式和等式约束都很简单，求解更为容易。可以证明，上面这个问题是也凸优化问题，可以保证求得全局最优解，在SIGAI后续的文章中我们将给出证明，请大家关注我们的微信公众号。...可以证明，这个对偶问题同样是凸优化问题，这是由核函数的性质保证的，在SIGAI公众号SVM系列的后续文章中我们会介绍。下图是使用高斯核的SVM对异或问题的分类结果： ?...这个算法的思路是每次在优化变量中挑出两个分量进行优化，而让其他分量固定，这样才能保证满足等式约束条件，这是一种分治法的思想。 下面先给出对于这两个变量的优化问题（称为子问题）的求解方法。
一、线性可分支持向量机的概念 线性可分支持向量机是用于求解线性可分问题的分类问题。...对于给定的线性可分训练数据集，通过间隔最大化构造相应的凸二次优化问题可以得到分离超平面： 以及相应的分类决策函数 称为线性可分支持向量机。...二、线性可分支持向量机的原理 1、原始问题 支持向量机学习的基本想法是求解能够正确划分训练数据集并且几何间隔最大的分离超平面，这里的间隔最大化又称为硬间隔最大化。 ...则上述的优化问题就可以转化为： 可以将上述的最大化问题转化为最小化问题： 这样的问题是一个凸二次规划的问题。...： 分类决策平面： 四、实验的仿真 我们通过二次规划来求解上述的带约束的优化问题，对于一个实例：(选自：《统计学习方法》)正例点为 ， ，负例点为 ，图像为： (正例点和负例点) MATLAB代码
============= 问题描述： 给定二维平面上任意点集，计算包围这些点集的最小凸包，并绘制折线图显示凸包多边形。...分治法思路与使用行列式计算三角形面积从而寻找距离直线最远点的实现见：Python使用分治法高效求解任意点集的凸包（源码+动画演示） 本文代码核心思路为借助于点到直线的距离计算公式寻找距离直线最远的点。...设直线方程为y-kx-b=0，则任意点坐标带入直线方程后，值大于0表示在直线上方，小于0表示在直线下方，等于0表示恰好在直线中。更多算法优化与代码优化详见注释。 几次运行结果：
二维空间的直线方程已经推导完成，将其推广到n为空间，就变成了超平面方程。...(一个超平面，在二维空间的例子就是一个直线)但是它的公式没变，依然是： 不同之处在于： 我们已经顺利推导出了”决策面”方程，它就是我们的超平面方程，之后，我们统称其为超平面方程。...这是为了在进行最优化的过程中对目标函数求导时比较方便，但这绝对不影响最优化问题最后的求解。...在凸几何中，凸集(convex set)是在)凸组合下闭合的放射空间的子集。看一幅图可能更容易理解： 左右量图都是一个集合。如果集合中任意2个元素连线上的点也在集合中，那么这个集合就是凸集。...这就是使用拉格朗日方程的目的，它将约束条件放到目标函数中，从而将有约束优化问题转换为无约束优化问题。 随后，人们又发现，使用拉格朗日获得的函数，使用求导的方法求解依然困难。
一、线性可分支持向量机的概念 线性可分支持向量机是用于求解线性可分问题的分类问题。对于给定的线性可分训练数据集，通过间隔最大化构造相应的凸二次优化问题可以得到分离超平面： ?...二、线性可分支持向量机的原理 1、原始问题 支持向量机学习的基本想法是求解能够正确划分训练数据集并且几何间隔最大的分离超平面，这里的间隔最大化又称为硬间隔最大化。 ...这样的问题是一个凸二次规划的问题。在线性可分情况下，训练数据集的样本点中的分离超平面距离最近的样本点的事例称为支持向量，即满足： ?...3、求分离超平面： ? 分类决策平面： ? 四、实验的仿真 我们通过二次规划来求解上述的带约束的优化问题，对于一个实例：(选自：《统计学习方法》)正例点为 ? ， ? ，负例点为 ?...(正例点和负例点) MATLAB代码 %% 基于凸二次规划的线性可分支持向量机 % 清空内存 clear all; clc; %简单的测试数据集 X = [3,3;4,3;1,1]; x_1 = X
于是我们便可以列出方程组求解切点的坐标(x,y)，进而得到函数f的极值。 在梯度为零的情况下取得最小值，既满足两个函数的导数相加等于零；满足的梯度公式如下： ? 用图表现出来则如上图所示。...用偏导数方法列出方程： ? ? ? 求出x,y,λ的值，代入即可得到目标函数的极值 例子：求函数： ? 在约束条件： ? 下的最小值。...任何原始问题约束条件无非最多3种，等式约束，大于号约束，小于号约束，而这三种最终通过将约束方程化简化为两类：约束方程等于0和约束方程小于0。 上述的二维优化问题，则多了一个不等式： ? ?...（2）对于参数β的取值而言,在等值约束中,约束函数和目标函数的梯度只要满足平 行即可,而在不等式约束中,若β≠0,则说明可行解在约束区域的边界上,这个时候可行解应该尽可能的靠近无约束情况下的解,所以在约束边界上...对偶问题具有以下几个特性 （1）.对偶问题的对偶是原问题; （2）.无论原始问题是否是凸的,对偶问题都是凸优化问题 （3）对偶问题可以给出原始问题的-—个下界 （4）.当满足一定条件的时候,原始问题和对偶问题的解是完美等价的
优化问题，在本例中是最小化问题，可以用以下方式表示 给定:一个函数f:一个{\displaystyle \to}\to R，从某个集合a到实数 搜索:A中的一个元素x0，使得f(x0)≤f(x)对于A中的所有...在连续优化中，A是欧氏空间Rn的某个子集，通常由一组约束、等式或不等式来指定，这些约束、等式或不等式是A的成员必须满足的。在组合优化中，A是离散空间的某个子集，如二进制字符串、排列或整数集。...ANTIGONE 一个确定性全局优化MINLP求解器。 APMonitor -面向大规模、非线性、混合整数、微分和代数方程的建模语言和优化套件，具有MATLAB、Python和Julia接口。...MINTO采用分枝定界算法求解整数规划问题;个人使用的免费软件。 MOSEK -一个大规模的优化软件。解决线性、二次、圆锥和凸非线性、连续和整数优化问题。...PottersWheel-常微分方程参数估计(学术用免费MATLAB工具箱)。 SCIP -免费给非商业和学术机构的成员，用于研究目的。 WORHP
同时，得明白以下两点： 凸优化的概念： 为一凸集， 为一凸函数。...Z1=X1, Z2=X21, Z3=X2, Z4=X22, Z5=X1X2，那么显然，上面的方程在新的坐标系下可以写作： 关于新的坐标 Z ，这正是一个 hyper plane 的方程！...当然，你我可能无法把 5 维空间画出来，不过由于我这里生成数据的时候就是用了特殊的情形，具体来说，我这里的超平面实际的方程是这个样子（圆心在 X2 轴上的一个正圆）： 因此我只需要把它映射到 这样一个三维空间中即可...，下图即是映射之后的结果，将坐标轴经过适当的旋转，就可以很明显地看出，数据是可以通过一个平面来分开的(pluskid：下面的gif 动画，先用 Matlab 画出一张张图片，再用 Imagemagick...所以，我们在原来的目标函数后面加上一项，使得这些 的总和也要最小： 其中C是一个参数，用于控制目标函数中两项（“寻找 margin 最大的超平面”和“保证数据点偏差量最小”）之间的权重。
# 1.给出现实生活中需要排序的一个例子或者现实生活中需要计算凸壳的一个例子。 文心一言： 现实生活中需要排序的一个例子： 在一个商店里，顾客需要购买一些商品。...现实生活中需要计算凸壳的一个例子： 在一个建筑工地上，工人需要计算一个凸壳的面积。他们需要知道凸壳的高度和宽度，以便计算它的面积。凸壳的面积是指它的底面积加上它的凸出部分的面积。...这些例子都是现实生活中需要排序或计算凸壳的例子。在实际应用中，排序和计算凸壳的问题可能会更加复杂，需要更多的数学知识和计算技能。...另一个现实生活中需要计算凸壳的例子是在工业生产中对零部件进行检测和分类。在工业生产中，需要对大量的零部件进行检测，以保证其符合质量标准。...为了方便处理，可以将这些零部件表示为平面上的点，并利用计算凸壳的方法对它们进行分类和筛选。凸壳可以帮助我们快速地找到最外层的零部件，并进行进一步的检测和处理。
在包含两类事项的比较研究中，按两个标志所作的分类。 如在研究学生的智力与性别的关系时，按智力与性别两个标志分类，即为二元分类。...也就是它的目的是寻找一个超平面来对样本进行分割，分割的原则是间隔最大化，最终转化为一个凸二次规划问题来求解。...而这个真正的最优解对应的两侧虚线所穿过的样本点，就是SVM中的支持样本点，称为"支持向量"。 1、数学建模 求解这个"决策面"的过程，就是最优化。...(一个超平面，在二维空间的例子就是一个直线)但是它的公式没变，依然是： 不同之处在于： 我们已经顺利推导出了"决策面"方程，它就是我们的超平面方程，之后，我们统称其为超平面方程。...此时，求解超平面的问题就变成了求解分类间隔W最大化的为题。W的最大化也就是d最大化的。
上面的超平面方程有冗余，将方程两边都乘以不等于0的常数，还是同一个超平面，利用这个特点可以简化求解的问题。对w和b加上如下约束 ? 可以消掉这个冗余。这样对分类超平面的约束变成 ?...分类超平面与两类样本之间的间隔为 ? 目标是使得这个间隔最大化，这等价于最小化下面的目标函数 ? 加上前面定义的约束条件之后，求解的优化问题可以写成 ?...求偏导数并令它们为0，得到如下方程组 ? 解得 ? 将上面的解代入拉格朗日函数中，得到关于α和β的函数 ? 接下来调整乘子变量求解如下最大化问题 ? 由于 ? 并且 ? ，因此有 ? 。...将三种情况合并起来，在最优点处，所有的样本都必须要满足下面的条件 ? 8.SVM预测函数中的值如何计算？ 根据KKT条件，在最优解处有 ? 根据第二种情况可以计算出b的值。...的初始值是多少，通过上面的子问题求解算法得到是在可行域里的最小值，因此每次求解更新这两个变量的值之后，都能保证目标函数值小于或者等于初始值，即函数值下降，所以SMO算法能保证收敛。
在学习感知机算法的时候，我们知道，最后学得的分类器不是唯一的，因为能够把正负样本点分开的超平面很可能不止一条。在SVM中，我们会改进这一点，方法就是使用最大间隔的原则来寻找最优的分割超平面。...之前在感知机中，不就是使用误分类样本的和超平面的距离之和的最大化作为损失函数吗？首先想想为何感知机的超平面可能有多个，因为当我没有误分类点的时候，感知机的损失就为0了，我就不更新了。...上面这个方程，可以经过一系列的简单转化，具体我用下图来展示： ? 总之就转化成了这个方程： 这是一个凸二次规划问题，只要是凸优化，就代表很好（用现成的软件）求解。 2....然而，在SVM中，一般的书上都会做进一步的讨论，把上面这个问题（这里称为原问题）继续转化成对偶问题求解，这样做的好处主要有两个： 转化之后更容易求解 方便后面非线性SVM中核函数的引入 转化的思路就是通过...于是优化问题就变成了： 求解方法依然是转化成对偶问题求解，此处实在不想赘述了。 在软间隔SVM中，我们还可以使用一个新的损失函数——合页损失函数（hinge loss），来从另一个角度描述这个问题。
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